全国中考数学试卷解析分类汇编点直线与圆的位置关系解析

学大教育学大教育学大教育学大教育点直线与圆的位置关系（2015•江苏南京涕6题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与。O相切于E,F,G三点，过点D作。O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为()13 9 4 厂A. B.- C.-V13D.2拈-3 J【答案】A.【解析】试题分析：连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中，•//A=ZB=90°,CD=AB=4,VAD,AB,BC分别与。O相切于E,F,G三点，.../AEO=ZAFO=ZOFB=ZBGO=90°,・•.四边形AFOE,FBGO是正方形，AF=BF=AE=BG=2,ADE=3,VDM是。O的切线，DN=DE=3,MN=MG,ACM=5-2-MN=3-MN,在Rt△DMC中，UUf3=O)3+CMf3,4 413A.0+JfiV)3=O_JfW)3+43,ANM=—,ADM=3+—=—，故选A.考点：1.切线的性质；2.矩形的性质.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在^ABC中，AB=CB，以AB为直径的。O交AC于点D.过点C作CF//AB,在CF上取一点E,使DE=CD,连接AE.对于下列结论:①AD=DC；②^CBA-△CDE；③BD=AD；④AE为。O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）

EAFC.①④D.①②④A.C.①④D.①②④考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质..分析： 根据圆周角定理得/ADB=90°,则BD±AC于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC,则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明N1=N2=N3=N4,则根据相似三角形的判定方法得到△CBA-△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定N1等于45°,则不能确定BD与AD相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断NAEC=90°,即CE±AE，根据平行线的性质得到AB±AE，然后根据切线的判定定理得AE为。O的切线，于是可对④进行判断.解答：解：：AB为直径，•・/ADB=90°,•・BD±AC,而AB=CB,•・AD=DC,所以①正确；,?AB=CB,.•・N1=N2,而CD=ED,.•・N3=N4,VCF//AB,.•・N1=N3,AZ1=Z2=Z3=Z4,•・△CBA^ACDE，所以②正确；・•△ABC不能确定为直角三角形，，N1不能确定等于45°,

，BD与AD不能确定相等，所以③错误;・•DA=DC=DE,••点E在以AC为直径的圆上，AZAEC=90°,•・CE±AE,而CF//AB,AAB±AE,AAE为。O的切线，所以④正确.故选D.CEF点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定.经过圆心.若ZB=20°,则ZC的大小等于（）3A20° B25° C40° D50°・ ・ ・ ・考点： 切线的性质.分析： 连接OA,根据切线的性质，即可求得ZC的度数.解答：解：如图，连接OA,B\^~）cVAC是。O的切线，AZOAC=90°,VOA=OB,AZB=ZOAB=20°,AZAOC=40°,AZC=50°.故选：D.点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键.（2015•广东广州涕3题3分）已知。O的半径为5,直线l是。O的切线，则点O到直线l的距离是（）A2.5 B3 C5 D10考点： 切线的性质.分析： 根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5.解答：解：V直线l与半径为r的。O相切，A点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5.故选C.点评： 本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设。O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,直线l和。O相交T<r；直线l和。O相切Cd=r；当直线l和。O相离Cd>r.（2015•浙江衢州，第10题3分）如图，已知等腰"BC = ,以工£为直径的圆交工C于点。，过点。的曰□的切线交BC于点E,若］。=5,虑=4,则相口的半径学大教育学大教育学大教育学大教育【答案】D.【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接口白，过点B作于点尸VAB=BC,.♦・/月=/C.••工0二。0一,・ZZ=&口。.：.£C=&D0；OatBC.是e0的切线，.•・。WLOD.：.DE工BC.•・/出。=90口，且四边形0区5尸是矩形..♦CO=5,霞=4,.♦.由勾股定理，得。豆=3.设e门的半径是，则0B=x,BF=3,OF=x-BE=x-[2x-A')=A-x.•・由勾股定理，得^^二口^+反/，即M=33+（4—耳，解得工二—.025•・匕的的半径是.O故选D.（2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tanZOAB=-，则AB的长是（ ）

A.4 B.2出 C.8 D.4出1解析】试题分析：连接0C,由切线的性质可得口C_LAB,又因口D=0C=2,t311/0细=1,彳以虹=4，再根据垂径定理2可得AB=2M=&故答案选C.考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理（2015•浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，。O是^ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD,BC上，连结OG,DG,若OG±DG,且。O的半径长为1,则下列结论不成立的是（）A.CD+DF=4B.CD-DF=2君-3C.BC+AB=2出+4 D.BC-AB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设。O与BC的切点为M连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证△OMG/△GCD，所以OM=GC=1,CD=GM=BC—BM—GC=BC—2.又因AB=CD，所以可得BC-AB=2.设AB=a,BC=b,AC=c,。O的半径为r,。O是Rt△ABC的内切圆可得r=-(a+b2—c)，所以c=a+b-2.在Rt△ABC中，由勾股定理可得>=(。+8—为？，整理得2ab—4a—4b+4=0,乂因BC—AB=2即b=2+a，代入可得2a(2+a)—4a—4(2+a)+4=0,解得%+ —出造去)，所以b=14■馅为=34■出，即可得BC+AB=2出+4.再设DF=羽在Rt△ONF中,FN=3+<5-1-x,OF=羽ON=14■百一1二出，由勾股定理可得。士出—月4G5『=，，解得*=4—d，所以CD-DF=^+1-(4-4)=动—3,CD+DF=加4144—出=5.综上只有选项A错误，故答案选A.d第g题考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；(2015•浙江嘉兴，第7题4分)如图，_.三;中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则。C的半径为(▲)(A)2.3 (B)2.4(C)2.5 (D)2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理•.分析：首先根据题意作图，由AB是。C的切线，即可得CD±AB，又由在直角△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC与。BC=^B•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长.解答：解：在△ABC中，,?AB=5,BC=3,AC=4,

・•・AC2+BC2=32+42=52=AB2,AZC=90°,如图：设切点为。，连接CD,*/AB是。C的切线，ACD±AB,:S△ABC当°BC与"CD，AAC•BC=AB•CD,即cA^BC^2£4^2即CD=AB=5=5'12AOC的半径为专，故选B.点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法.此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用.（2015•四川省内江市，第10题，3分）如图，在OO的内接四边形ABCD中，AB是直径，ZBCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则ZADP的度数为（ ）30°45°30°45°考点：切线的性质..分析： 连接DB，即ZADB=90°,又ZBCD=120°,故ZDAB=60°,所以ZDBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果.解答：解：连接BD,

VZDAB=180°-ZC=60°,,?AB是直径，AZADB=90°,AZABD=90°-ZDAB=30°,VPD是切线，AZADP=ZABD=30°,故选：C.点评：本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解.3(2015•四川乐山，第10题3分)如图，已知直线，=二二一3与1轴、y轴分别交于A、B4两点，P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则^PAB面积的【答案】C21C.D【答案】C21C.D.17【解析】3试题分析：:直线？=— 3与左轴7•轴分别交于aB两点，「上点的坐标为（4,<0,8点的坐标为CL4-3）,3x-4y-n=0,即“工=4,03=3?由勾股定理得：.一=5,，点,C（11）到直线士c—4尸一12=0的距离是="，，圆灯上, 点到直线v=-x-3的最大距离是1+竺=4,「.△E由TOC\o"1-5"\h\zJ支+4- 5 4 551 71 71面积的最大值是二M5K二二X,故选C.1？（2015•广东梅州，第6题，3分）如图，AB是。O的弦，AC是。O的切线，A为切点，BC经过圆心.若/B=20°,则NC的大小等于（ ）A.20°B.25° C.40° D.50°考点：切线的性质.分析：连接OA,根据切线的性质，即可求得/C的度数.解答：解：如图，连接OA，VACVAC是。O的切线，・•・/OAC=90°,VOA=OB,・•・/B=NOAB=20°,・•・/AOC=40°,AZC=50°.故选：D.点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键.（2015•山东潍坊第7题3分）如图，AB是。O的弦，AO的延长线交过点B的。O的切线于点C,如果ZABO=20°,则ZC的度数是（ ）

50°C50°C. 45°D. 20°考点：切线的性质..分析： 由BC是。O的切线，OB是。O的半径，得到NOBC=90°,根据等腰三角形的性质得到NA=NABO=20°,由外角的性质得到NBOC=40°,即可求得NC=50°.解答：解：•・•BC是。O的切线，OB是。O的半径，ANOBC=90°,•・•OA=OB,ANA=NABO=20°,ANBOC=40°,ANC=50°.故选B.点评：本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键.二.填空题（2015•浙江宁波，第17题4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,过点A,D两点的。O与BC边相切于点E，则。O的半径为 ▲【答案】-.【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接EO并延长交AD于点H，连接AO,答图•・•四边形ABCD是矩形，。O与BC边相切于点E,EH±BC,即EH±AD..,.根据垂径定理，AH=DH.,?AB=8,AD=12,・•・AH=6,HE=8.设。O的半径为r，则AO=r,OH=8-r.25在RtAOAH中，由勾股定理得（8-r»+62=r2，解得r=.4AOO的半径为25.4（2015•江苏徐州，第14题3分）如图，AB是OO的直径，点C在AB的延长线上，CD与OO相切于点D，若NC=20°,则NCDA=125°.考点：切线的性质..分析： 连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD,可求得NODA=36°,从而根据NCDA=NCDO+NODA计算求解.解答： 解：连接OD，则NODC=90°,NCOD=70°；AZODA=ZA=JZCOD=35°,AZCDA=ZCDO+ZODA=90°+35°=125°,故答案为：125.点评：本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解.（2015湖北荆州第18题3分）如图，OA在％轴上，OB在y轴上，OA=8,AB=10,点C在边OA上，AC=2,。P的圆心P在线段BC上，且。P与边AB,AO都相切.若反比例函k 27数y=（原0）的图象经过圆心P，则k=-丹.x 4一考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征.专题：计算题.分析：作PD±OA于D,PE±AB于E,作CH±AB于H，如图，设。P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r,AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明^ACH-△ABO,利用相似比计算出CH岸，接着利用勾股定理计算5TOC\o"1-5"\h\zQ Q49出AH=-,所以BH=10--==-,然后证明△BEH^^BHC,利用相似比得到即5 55\o"CurrentDocument"10-（2+r）r q=6,解得r\，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征T 石 2求出k的值.解答：解：作PD±OA于D,PE±AB于E,作CH±AB于H，如图，设。P的半径为r,V0P与边AB,AO都相切，APD=PE=r,AD=AE,在用△045中，V0A=8,AB=10,；.0B=J在用△045中，V0A=8,AB=10,；.0B=J102-S2=6,'：AC=2,：.0C=6,•••△03C为等腰直角三角形，••.△PCD为等腰直角三角形，：.PD=CD=r,.AE=AD=2+r,ZCAH=ZBAO,：.AACH^AABO,•CHACgn_Q^一之解得ch—

.•比一研’即6一10'解何0"一5'•••AH=7aC2-CH2^^22-(-|)2=|，：.BH=10-^=^,55'：PE//CH,ABEP^ABHC,解得后，,BEPE'bh'chOD=OC-CD=6-5393、 27一"了点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征.3（2015•福建泉州第14题4分）如图，AB和。O切于点B,AB=5,OB=3,则tanA=-一-5―解：•・•直线AB与。O相切于点B,贝UNOBA=90°.,?AB=5,OB=3,一人33..tanA=LT■，=「.AB53故答案为：春（2015•四川成都，第24题4分）如图，在半径为5的口O中，弦AB=8,P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP,过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当APAB是等腰三角形时，线段BC的长为.图（1）图（图（1）图（2）图（3）【答案】：BC=8或56或空15 3【解析】：（1）当AB=AP时，如图（1）,作OH1AB于点H，延长AO交PB于点G；AP易知PC

L=AP易知PC

L=cos/APC=cos/AOH=OH=3nPC=5AP=竺AO5射影知P°—AP2 64PC射影知P°—AP2 64PC40T=24nBC=PC-2PG=胆-18=56(2)当PA=PB时如图（2）,延长PO交AB于点K，易知OK=3,PK=8,（3）当BA=BP时，如图(3),由/c=900-ZP=900-ZPAB=/CABnBC=AB=8.综上：BC=8或56或吟（2015•浙江省绍兴市，第14题，5分）在Rt△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA,PB。若PB=4,则PA的长为▲考点：点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理..专题：分类讨论.分析：连结CP,PB的延长线交。C于P',如图，先计算出CB2+PB2=CP2,则根据勾股定理的逆定理得ZCBP=90°,再根据垂径定理得到PB=P，B=4,接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3,然后在Rt△APP中利用勾股定理计算出P'A=.行，从而得到满足条件的PA的长为3或.林.解答：解：连结CP,PB的延长线交。C于P',如图，VCP=5,CB=3,PB=4,•・CB2+PB2=CP2,•・△CPB为直角三角形，ZCBP=90°,•・CB±PB,•・PB=P'B=4,VZC=90°,•・PB//AC,而PB=AC=4,・•・四边形ACBP为矩形，・•・PA=BC=3,在Rt△APP'中，•;PA=3,PP'=8,p[a= ='/73,・•・PA的长为3或；在.故答案为3或节i.点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了垂径定理和勾股定理.7.（2015•淄博第17题,4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为尸%2-2%分析：连接AC,BC,有抛物线的解析式可求出A,B,C的坐标，进而求出AO,BO,DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长.解答：解：连接AC,BC,・•抛物线的解析式为尸X2-2x-3,••点D的坐标为（0,-3）,•・OD的长为3,设尸0,则0=x2-2x-3,解得：x=-1或3,•・A(-1,0),B(3,0)・•・AO=1,BO=3,,/AB为半圆的直径，AZACB=90°,VCO±AB,ACO2=AO•BO=3,ACO='；'，ACD=CO+OD=3+不，故答案为：3+1且点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键.8.（2015•浙江省台州市，第16题）如图，正方形ABCD的边长为1,中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为一宗I7ZPFi【分析】当正六边形EFGEIJ的边长最大时，要使.YE最小，以点:T(E与0重合)为圆心，对角线EH为半径的圆应与正方形轴CD相切，且点三在线段M上，如图斯示，只需求出的值，就可解决问题.【解答1解：当这个正六边形的边长最大时，作正方形轴CD的内切图当正六边形EFGEIJ的顶点:｛与。重合，且点三在线段。也上时，捻E最小，如图所示.£ DE C「正方形ABCD的边长为L，QC•的半径。E为L，ACi=liC=-X1-"正,则AE的最小值为坐故簪案为在22匚点评】本题是有关正多边形与圆的问题，考查了正方形的内切圆、圆外一点与圆上点的最短距离、勾股定理等知识，正确理解题意是解决本题的关键.三.解答题1.(2015•四川省内江市，第27题，12分)如图，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.(1)试说明CE是。O的切线；(2)若^ACE中AE边上的高为九试用含h的代数式表示。O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD,当tCD+OD的最小值为6时，1^-1求。O的直径AB的长.考点： 圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值..专题：综合题.分析：(1)连接0C如图1,要证CE是。O的切线，只需证到/OCE=90°即可；(2)过点C作CH±AB于H，连接OC,如图2,在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；(3)作OF平分/AOC,交。O于F,连接AF、CF、OF,如图3,易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=OO.过点D作DH±OC于H，易得DH=^OC,从而有CD+O+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD(即三CD+OD)最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题.C—■解答：解：(1)连接OC,如图1,图1・•CA=CE,ZCAE=30°,•・/E=ZCAE=30°,ZCOE=2ZA=60°,AZOCE=90°,•・CE是。O的切线；(2)过点C作CH±AB于H，连接OC,如图2,由题可得CH=h.在Rt△OHC中，CH=OC•sinZCOH,AhAh=OC•sin60,2h273.OC;hV334Vs•・AB=2OCh；，（3）作OF平分NAOC,交。O于F,连接AF.CF、OF,如图3,鄙贝UNAOF=NCOF=^NAOC=^(180°-60°)=60°.乙 L・•OA=OF=OC,•・△AOF、△COF是等边三角形，•・AF=AO=OC=FC,•・四边形AOCF是菱形，•・根据对称性可得DF=DO.过点D作DH±OC于H,・•OA=OC,ANOCA=NOAC=30°,・•・DH=DC•sinNDCH=DC•sin30岩DC,C—■：ACD+OD=DH+FD.I^-I根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即^CD+OD）最小，V3止匕时FH=OF•sinNFOH=--OF=6,则OF=4?，AB=2OF=8'/且A当弓CD+OD的最小值为6时，。O的直径AB的长为8/飞.C-j点评： 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把,CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键.1^-1

2.(2015•四川省宜宾市，第23题，10分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，CE是。O的直径，BD切。O于点D,DE〃BO,CE的延长线交BD于点A。(1)求证：直线BC是。O的切线；(2)若AE=2,tanZDEO=/2,求AO的长.工分析】(L)连接。D，由口得到21=/4，Z2=Zj,通过△口05刍△匚如，得到问题得证：(2)根据三角函数tan/DEC=tan/£=JI，设；OC=r-K=巧r，得到BD=BC=Jir，由切割线定理得至此口=£『；，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果.1解答］解：（L）连接。。，■.'3E//B0，Z1=Z4,Z2=Z3-丫0口=。三，Zj=Z4?二21二2二，在△0四与△二0E中，OD=OC{/1=/2，OB=OBXADOB^ACOB，■,■20cm=2ODE，BD切。。于点D,■,■，■,■Z0CB=9D°，AC±BC-二直线sc是@c•的切线;(2)ZDE0=Z2,tanZDEO=tan/二二日，设5OC=r?EOgr，由门)证得△口口万丝△CUB,,-BD=BC=^21，由切割线定理由:AD±=AH(2+e)，',A.D=2,J1—5/DE/BO，,AD一上IE"bd~oe9.2^_2一必；，"■r=Ls,■M=3.【在评1本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质.切割线定理，平行线分线段成比例，室提定理是解题的关键.3.(2015•浙江省台州市，第22题)如图，四边形ABCD内接于。。，点E在对角线AC上，EC=BC=DC(1)若NCBD=39°,求NBAD的度数(2)求证：N1=N2【专题1计算题.1分析1（1）根据等腰三角形的性质由BC=3得到/CEC=/CnE=3g。，再根据圆周角定理得/3AC=/CDE=3&0，ZCAD=ZCBD=3&0，所以5BAD=CAD="0；（2）根据等腰三错形的性质由EC=即得/CEE=』CBE，再利用三角形外用性质得/CEE=，则/二-/3彩=2：1-/匚5二，加上/5处=/二BD，所以2L=/二.【解答1（1） ■,■BC=DC-,■ZCBD=ZCDB=39°，vZBAC=ZCDB=39°，ZCA3=ZCBD=39°，,■ZBAD=ZBAC+ZCAD=39°-39°=7£°；（2）证明：•••EC=BC，,■ZCEB=ZCBZ，而』CEB二2二-/EAE，ZCBE=Z1-ZCBD-,■Z2-ZBAE=Z1-ZCB2，/ZfiAE=Zt?B2，■.Z1=Z2.【点评1本题考查了圆周鬲定理：在同图或等圆中，同弧或等强所对的圆周鬲相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰三角形的性质.4.（2015•江苏泰州，第24题10分）如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF±AC于点F。（1）试说明DF是。O的切线；（2）若AC=3AE，求1311c【答案】（1）证明见解析；（2） .2【解析】试题分析：（1）连接OD，根据等边对等角得出/B=/ODB,ZB=/C,得出/ODB=/C,证得OD〃AC,证得OD±DF,从而证得DF是。O的切线；（2）连接BE,AB是直径，ZAEB=90°,根据勾股定理得出BE=2^AE,CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的试题解析：（1）证明：连接OD,•「OB=OD,AZB=ZODB,,?AB=AC,AZB=ZC,AZODB=ZC,AOD〃AC,•・•DF±AC,AOD±DF,ADF是。O的切线；(2)解：连接BE,,?AB是直径，AZAEB=90°,,?AB=AC,AC=3AE,AAB=3AE,CE=4AE,ABE= -AE2=,2AE- BE2^j2AEa在Rt△BEC中，tanC== =.CE4AE2考点：切线的判定.（2015•山东东营,第21题8分）（本题满分8分）已知在△ABC中，ZB=90。，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.（1）求证：AC-AD=AB-AE；（2）如果BD是。O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.【答案】（1）证明见解析；（2）AC=4.【解析】试题分析：门）连接DE,由题意可得/ADERO°,/ABCRO°,又是公共角，从而可得△仙Es△研C,由相似比即可得J（2）连接0E,由ED是切线，得0D1ED,有E为0E中点，则可得OE=EE=OD,从而可得/0ED=/EM=30°,所以AC=2BC=4j试题解析：（1）连接DE,.「AE是直径，.../ADERO：,，/ADE=/ABC,在Rt2kADE和Rt2kABC中，4是4Z）AE公共角，.'.AADEcoAABC,——=——，即M•AD=AB-AEABAC⑵连接⑪,,「后□是圆。的切线，则OD1ED,在Rt&OED中，OE=EE=OD...0E=20D, Z0BD=30°,同理ZBAC=30。，在RtAABC中,AC=2BC=2X2=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.（2015•山东聊城，第24题10分）如图，已知AB是。O的直径，点P在BA的延长线上，PD切。O于点D，过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长，交BE于点E.（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2,cosB=匕求。O半径的长.考点： 切线的性质；解直角三角形..分析： （1）本题可连接0。，由PD切。O于点D,得到OD±PD,由于BE±PG得到0D〃BE，得出NADO=ZE，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，0D〃BE,得到/POD=NB，根据三角函数的定义即可得到结果.解答： （1）证明：连接OD,「PD切。O于点D,•・OD±PD,・•BE±PC,•・OD//BE,•・ADO=NE,・•OA=OD,•・/OAD=NADO,•・/OAD=NE,•・AB=BE；（2）解：有（1）知，OD/BE,AZPOD=NB,3AcosZPOD=cosB=,二,5在Rt△POD中，cosZPOD3=,•••OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,2+uA5，AOA=3,・・・。O半径=3.点评： 本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键.7.（2015•山东临沂，第23题9分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的。O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.（1）求证：AD平分NBAC；（2）若NBAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积（结果保留=）.【答案】（2）【解析】试题分析：连接通，根据切线的性质可知20%=跋",因此可证得队40必然后根据平行的性质和圆的半径可证必是/CAB的平分线s⑵连接OE,ED,可证得△。妞是等边三角形，然后根据圆周角定理可得/ADE=30’，由（1）的结论可知ZDAO-3O0,可证得ED”轴，再由同底等高可知X皿=之血然后把求阴高部分的面积转化为求6商另8E得面机试题解析：（1）证明：连接OD.:BC是。O的切线，D为切点，

・•.OD±BC.又•:AC±BC,：.OD〃AC,AZADO=ZCAD.又•・•OD=OA,AZADO=ZOADAZCAD=ZOAD,即AD平分ZBAC.(2)方法一：连接OE,ED.VZBAC=60°,OE=OA,・•・△OAE为等边三角形，AZAOE=60°,AZADE=30°.XVZ<MD=|ZB4C=3(TAZADE=ZOAD,AED//AO,A阴影部分的面积=5『。“扇形ODEjc4=2360-3学大教育学大教育图图2学大教育学大教育方法二：同方法一，得ED#40?，四边形的DE为平行四边形，，近4=立启=-2式招=4jL°又3—也廿当梁一有=枭一"，阴影部分的面积=心三节由―Ah）十S二F二：在一J5十出=宁安.考点：圆的综合（切线的性质，角平分线，阴影部分面积，三角形的面积，扇形面积）（2015•四川广安，第25题9分）如图，PB为。O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C交。O于点A,连接PA、AO,并延长AO交。O于点E，与PB的延长线交于点D.（1）求证：PA是。O的切线；□C2（2）若岩等，且OC=4,求PA的长和tanD的值.H—'J1考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形..分析： （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO/△PBO,进而可得/PBO=ZPAO,然后根据切线的性质可得NPBO=90°,进而可得：ZPAO=90°,进而可证：PA是。O的切线；口「7（2）连接BE,由言若，且OC=4,可求AC,OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC,AO=OE,可得OC是^ABEpr-|pn-的中位线，进而可得BE〃OP,BE=2OC=8,进而可证4DBE^ADPO,进而可得：而力,从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值.解答： （1）证明：连接OB，则OA=OB,图1•・AC=BC,•・OP是AB的垂直平分线，•・PA=PB,在^PAO和^PBO中，"PA=PBIPO=PO,tOA=OB•・△PAO0APBO(SSS)AZPBO=ZPAO,PB=PA,「PB为。O的切线，B为切点，AZPBO=90°,AZPAO=90°,即PA±OA,APA是。O的切线；(2)连接BE,

AC3,AC3,且OC=4,・•・AC=6,•・AB=12,在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=AC2+UC2=2'/'，，.AE=2OA=41~13,OB=OA=21~13,在Rt△APO中，AC±OP,•・AC2=OC•PC,解得：PC=9,•・OP=PC+OC=13,在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=.(jp2-0A2=3'/13,，.PB=PA=3：13,AC=BC,OA=OE,，.OC=^BE,OC//BE,•・BE=2OC=8,BE/OP,•・△DBE^ADPO,.•图理PDOP5明即3丁13+即13,解得：bd=24'_13,5在Rt△OBD中，OB 5tanD=BD=24/13=i2.5点评：本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键.要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.学大教育学大教育学大教育学大教育9. (2015•四川甘孜、阿坝，第20题10分)如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE±AC,垂足为点E.(1)判断DF与。O的位置关系，并证明你的结论；(2)过点F作FH±BC,垂足为点H，若AB=4,求FH的长(结果保留根号).考点：切线的判定..分析：(1)连接OD,由等边三角形的性质得出AB=BC,ZB=ZC=60°,证出△OBD是等边三角形，得出NBOD=ZC,证出OD〃AC,得出DE±OD,即可得出结论；(2)先证明△OCF是等边三角形，得出CF=OC=£BC=^AB=2,再由三角函数即可求出FH.d-j i^-a解答： 解：(1)DE是。O的切线；理由如下：连接OD，如图1所示：「△ABC是等边三角形，•・AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,「OB=OD,•・△OBD是等边三角形，AZBOD=60°,AZBOD=ZC,AOD〃AC,・•DE±AC,ADE±OD,ADE是。O的切线；(2)连接OF,如图2所示：・•OC=OF,ZC=60°,•・△OCF是等边三角形，

・，.CF=OC=zBC=zAB=2,C-jAZFHC=90°,・•・FH=CF•sinZC=2x-y=；lj点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.10.(2015•山东潍坊第21题10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的。O交BC于点D,交AB于点E，过点D作DF±AB，垂足为F,连接DE.(1)求证：直线DF与。O相切;(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.考点,

:八、、：考点,

:八、、：切线的判定；相似三角形的判定与性质..分析:分析:(1)连接OD，利用AB=AC,OD=OC,证得OD〃AD，易证DF±OD，故DF为oO的切线;(2)证得△BEDs'BCA,求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可.解答： (1)证明：如图，连接OD.,?AB=AC,AZB=ZC,・•OD=OC,AZODC=ZC,AZODC=ZB,AOD〃AB,;DF±AB,AOD±DF,・•点D在。O上，A直线DF与。O相切；(2)解：二•四边形ACDE是。O的内接四边形，AZAED+ZACD=180°,VZAED+ZBED=180°,AZBED=ZACD,VZB=ZB,A'BEDs'BCA,•现期AB=BC,VOD〃AB,AO=CO,ABD=CD=BcC=3,XVAE=7,.「工一理7+dE5,

・•・BE=2,・•・AC=AB=AE+BE=7+2=9.点评：此题考查切线的判定三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线点评：此题考查切线的判定三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.11.(2015过圆上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.11.(2015•广东梅州，第22题，9分)如图，直线l经过点A(4,0),B(0,3).(1)求直线l的函数表达式;(2(2)若圆M的半径为2,圆心M在y轴上当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式..分析：(1)把点A(4,0),B(0,3)代入直线l的解析式尸kx+b，即可求出结果.(2)先画出示意图，在Rt△ABM中求出sinZBAM,然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM,继而可得点M的坐标.解答：解：(1)•・•直线l经过点A(4,0),B(0,3),・•・设直线l的解析式为：产kx+b,J。=4k+b“I3=b.1 4.,b=3・.・直线l的解析式为：y=_jx+3；(2)二•直线l经过点A(4,0),B(0,3),・•・OA=4,OB=3,・•・AB=5,①如图所示，此时。M与此直线l相切，切点为C,连接MC,则MC±AB,AC…… ,f-OB3在Rt△ABM中，sinZBAM=—r=z,Ad5

在Rt△AMC中，•・•sinZMAC=,AM24K笥A,,AM=sinZMAC= =4，b・••点M的坐标为（0,0）.②此时。M与此直线l相切，切点为C',连接MC,则MC'±AB,AZM'CB=ZMCB=90°,在^M'CB与^CMB中，2pBMy=/CBM{/犷C'B=ZMCB,，犷C'=MCABM=BM=3,・••点M的坐标为（0,6）.综上可得：当。M与此直线l相切时点M的坐标是（0,0）,（0,6）.Ecm,现在FCEcm,现在FC(1)当B与O重合的时候，求三角板运动的时间;点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般.(2015・深圳，第22题分)如图1,水平放置一个三角板和一个量角器，三角板M边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm,OD=3cm,开始的时候三角板以2cmIs的速度向右移动。(2)如图2,当AC与半圆相切时，求AD；(3)如图3,当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE。【解析】【解析】（解析］⑴柑）-4cm,t=1=2s,赛玷白宜用卜则加尺&=44r二金口=扬卅=1五0AD：』。-凶="-忖.（3）连赛-FOi）=OF,.Z（MW^ZOFD为白13.-...£WJf+ZZW*=90工比t=士小卜十一£小卜=川,=LOtH=一削t）=At'FG££Hl一上"『.：.mi任或而后（T-=Y7CG(2015・南宁，第25题10分)如图14,AB是。O的直径，C、G是。O上两点，且AC=CG,过点C的直线CD±BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC,交OD于点F.图14(1)求证：CD是。O的切线.(2)若ODD=：,求/E的度数.(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD=V3，求AD的长.考点：圆的综合题..分析：(1)如图1,连接OCAC,CG,由圆周角定理得到/ABC=ZCBG,根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到/OCB=NOBC,等量代换得到NOCB=NCBG,根据平行线的判定得到OC〃BG,即可得到结论；(2)由OC//B。，得到△OCF-△BDF,△EOC-△EBD，得到• 一 俞不，DUUr3DUDED根据直角三角形的性质即可得到结论；(3)如图2,过A作AH±DE于H,解直角三角形得到BD=3,DE=3巧，BE=6,在Rt△DAH中，AD=/AH2+DH2=-,12+中卫)2=.13.解答：(1)证明：如图1,连接OC,AC,CG,VAC=CG,，AC二CG,•・/ABC=NCBG,OC=OB,•・/OCB=NOBC,•・/OCB=NCBG,•・OC/BG,CD±BG,•.OC±CD,•・CD是。O的切线；(2)解：VOC/BD,•・△OCF^ABDF,△EOC^AEBD,,3±BDDF3,.理。心•即BE丐OA=OB,•・AE=OA=OB,•.OC=^OE,VNECO=90°,AZE=30°；

(3)解：如图2,过A作AH±DE于H,VZE=30°AZEBD=60°,.•・ZCBD=1/EBD=30°,1^-1VCD='/年，ABD=3,DE=3不，BE=6,AAE=|BE=2,AAH=1,AEH='；1,ADH=2：W在Rt△DAH中，AD=AH2+DH2='112+(2与)2=.13-点评：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.14.(2015•甘肃武威，第21题6分)如图，已知在△ABC中，ZA=90°(1)请用圆规和直尺作出。P，使圆心P在AC边上，且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明).(2)若ZB=60°,AB=3,求。P的面积.考点： 作图一复杂作图；切线的性质.分析： (1)作NABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出。P；(2)根据角平分线的性质得到/ABP=30°,根据三角函数可得AP=..互，再根据圆的面积公式即可求解.解答：解：(1)如图所示，则。P为所求作的圆.VZB=60°,BP平分/ABC,・•・/ABP=30°,VtanZABP=r,AB/.AP=.:3,二S©P=3n-点评： 本题主要考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等.同时考查了圆的面积.15.(2015•甘肃武威，第27题8分)已知^ABC内接于。0,过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为©0的直径，要使EF成为©0的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：ZBAE=90°或者/EAC=ZAB^.(2)如图②所示，如果AB是不过圆心0的弦，且ZCAE=ZB,那么EF是©0的切线吗？试证明你的判断.图①图②考点： 切线的判定.分析：(1)求出ZBAE=90°,再根据切线的判定定理推出即可;(2)作直径AM，连接CM,根据圆周角定理求出ZM=ZB,ZACM=90°,求出

ZMAC+ZCAE=90°,再根据切线的判定推出即可.解答：解：（1）①ZBAE=90°,②ZEAC=ZABC,理由是：①•//BAE=90°,•・AE±AB,/AB是直径，•・EF是。O的切线；②.「AB是直径，AZACB=90°,AZABC+ZBAC=90°,「ZEAC=ZABC,AZBAE=ZBAC+ZEAC=ZBAC+ZABC=90°,即AE±AB,*/AB是直径，(2)EF是。O的切线.A(2)EF是。O的切线.EC证明：作直径AM,连接CM,则ZACM=90°,ZM=ZB,AZM+ZCAM=ZB+ZCAM=90°,「ZCAE=ZB,AZCAM-+ZCAE=90°,AAE±AM,*/AM为直径，AEF是。O的切线.点评： 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线.（206贵州六盘水，第24题12分）如图12,在Rt△ACB中，/ACB=90°,点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点。，连接OD.（6分）△ADO必ACB.（6分）若。O的半径为1,求证：AC=AD•BC考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质..分析：（1）由AB是。O的切线，得到OD±AB，于是得到/C=ZADO=90°,问题可证;由^ADOs^ACB列比例式即可得到结论.解答：（1）证明：•「AB是。O的切线，・•・OD±AB,AZC=ZADO=90°,VZA=ZA,・•・△ADOs△ACB；（2）解：由（1）知：△ADOs△ACB.・蚂逆ACBC'AAD•BC=AC•OD,VOD=1,AAC=AD•BC.点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键.17.（2015・黑龙江绥化，第24题分）如图，以线段AB为直径作。O,CD与。O相切于点E，交AB的延长线于点D,连接BE，过点O作OC//BE交切线DE于点C,连接AC.

(1)求证：AC是。O(1)求证：AC是。O的切线；(2)若BD=OB=4，求弦AE的长。专题：计算题.分析：(1)连接OE，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，再由OC与BE平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用^AS得到三角形AOC与三角形EOC全等，利用全等三角形对应角相等得到NOAC=/OEC=90°,即可得证；(2)根据题意得到EB为直角三角形斜边上的中线，求出EB的长，再由OE=OB=EB得至1」三角形OEB为等边三角形，求出NABE=60°,根据AB为圆O直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形AEB为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出AE的长即可.解答：(1)证明：连接OE,:CD与圆O相切，•.OE±CD,.•・NCEO=90°,・•BE//OC,.NAOC=NOBE,NCOE=NOEB,・•OB=OE,.NOBE=NOEB,.NAOC=NCOE,在^AOC和^EOC中，'OA=OE,ZAOC=ZCOE,QCOC.△AOC必EOC(SAS),.NCAO=NCEO=90°,则AC与圆O相切;

(2)在Rt△DEO中，BD=OB,，.BE=^OD=OB=4,・•OB=OE,:.△BOE为等边三角形，AZABE=60°,/AB为圆O的直径，AZAEB=90°,AAE=BE•tan60°=4/3.点评：此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.（2015-北京市，第24题，5分）如图，AB是口O的直径，过点B作口O的切线BM，弦CD//BM,交AB于点孔且DA=DC，链接AC,AD，延长AD交BM地点E。⑴求证：AACD是等边三角形。⑵链接OE，若DE=2，求OE的长。【考点】圆的性质【难度】中等【答案】A.i5±5.VJ/SMCD14落上口。■一19-CD-JC二一.WCD土号江三W号.工：：：：一.WCD±理二三盘与「.£5—8:,zni5«^存£加一*.即一0辽D= =寿；D£=2上5E".SD=2J5.15=30.玷三壬二05£二0£=3—亍=^f2<6=#【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.(2015•安徽省，第20题，10分)在。O中，直径AB=6,BC是弦，ZABC=30°,点P在BC上,点Q在。O上，且OP±PQ.第20题图1 第20题图2(1)如图1,当PQ〃AB时，求PQ的长度；⑵如图2,当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.考点：圆周角定理；勾股定理；解直角三角形..专题：计算题.分析：(1)连结OQ,如图1,由PQ〃AB,OP±PQ得到OP±AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=巧，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=.卫;(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= ，则当OP的长1 ?最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP±BC,则OP奇OB与，所以PQ长的最大C.■ C—■解答:解：(1)连结0。，如图1,・•PQ//AB,0P±PQ,•・0P±AB,……q..fOP在Rt△0BP中，.tanNB=tt,Ud•・0P=3tan30°=;'W在Rt△0PQ中，.0P=.飞,0Q=3,PQ=\;皿2-Op2=.6;(2)连结0Q,如图2,在Rt△0PQ中，PQ=".；0Q2-0P2=；;9-OP2,当0P的长最小时，PQ的长最大,1 ?止匕时0P±BC,贝U0P,0B=7，i£-i 乙条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.（2015湖北鄂州第22题9分）如图，在△ABC中，AB=AC,AE是NBAC的平分线，NABC的平分线BM交AE于点M,点0在AB上，以点0为圆心，0B的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.（3分）求证：AE为。0的切线.（3分）当BC=8,AC=12时，求。0的半径.（3分）在（2）的条件下，求线段BG的长.

【解析】试题分析：(1)连接5,可得根据/0皿+/日皿=/怔£+/6岫=9。"即可证明‘⑵由A啦Ms△轴邑根据相似三角形对度边成比例即可求解.(3)过点口作OH_LEG于点也则BG=2EH.易知匹边形OMEH是矩形,故可求BH的长.!JllJZOMB=ZOBM=ZMBEV.'AB=AC,AE是角平分线,J,ae_Lec,Z0MB+ZBME=ZMBE+ZBME=90°， ZM0=90°，AE与⑷。相切.（2）设00的芈径为R'.'OMZ/BE/.AOMA1^1ABEA.OM_AO''^E~14S加艮12-A即一= 4 12解得R=3，⑷。的半径为3（3）过点0作0H1BG于点旦则BG=2BHZOME=ZMEH=ZEHO=90°，四边形OMEH是矩形.■.HE=0M=3,-.BG=2BH=2考点：1.相似三角形的判定与性质；2.切线的判定.（2015•甘肃兰州，第27题，10分）如图，在RtkABC中，ZC=90°,ZBAC的平分线AD交BC边于点D。以AB上一点O为圆心作。O,使。O经过点A和点D。（1）判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由；TOC\o"1-5"\h\z（2）若AC=3,ZB=30°, 、、①求。o的半径； \②设。O与AB边的另一个交点为E，求线段BD,BE与劣弧性所 弋围成的阴影部分的面积（结果保留根号和兀）。 第27题图【考点解剖】本题考查圆与直线的位置关系，扇形面积计算【知识准备】过直径的端点，且与直径垂直的直线是圆的切线【思路点拔】（1）我们当然很容易就猜想到BC是。O的切线，为此，只要连结OD,证明OD±BC即可;（2）只要求出^OBD的面积和扇形ODE的面积，那么两者之差便为阴影部分的面积第27题解答图【解答过程】（1）连结OD,•:OA=OD,，Z2=Z3第27题解答图,?AD平分/BAC,AZ1=Z2,而N2=N3,AZ1=Z3,•.OD//AC（内错角相等，两直线平行），•・/ODB=NC=90°（两直线平行，同位角相等）即OD±BC,•・BC是。O的切线（过直径的一个端点，且与直径垂直的直线是圆的切线）；（2）①过点O作AC的垂线段OH，则OH/BC,ZAOH=/B=30°,1Rt△AOH中，AH=AO-sinZAOH=AO-sin30°=2AO,矩形CDOH中，CH=OD,而OD=OA,1VAC=AH+CH，即3=-AO+AO,AO=2,即。O的半径为2；②Rt△OBD中，ZBOD=90°—ZB=60°，则BD=DO-tan60°=2<3,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 - 60 2S=-BD-DO=—义2V3义2=2v3,S=兀-OD2.一二2兀,\o"CurrentDocument"gOD2 2 扇形ode 3603.・.s=S-S=2V3-2兀。阴影 NBOD 扇形ODE 3【题目星级】★★★★【解题策略】涉及到非常规图形的面积问题时，我们通常采用的是割补的方法，将问题转化为常规图形的面积问题来解决（2015辽宁大连，23,10分）如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分ZCAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F.求证：EF与圆O相切；若AB=6,AD=4a/2，求EF的长。

（第23题）【答案】【解析】解：（1）证明：联接OD如图，因为OA=OD，所以NOAD=/ODA又因为AD平分/5AC,所以/OAD=NCAD所以/ODA=NCAD。所以OD〃AE，又因为EF垂直于AE,所以OD垂直于EF,所以EF与圆O相切；（第23（第23题答图1）=2,所以CD=2.（2）如图联接OD、CD、BD、BC,则CD=BD，因为AB是直径，所以NACB=N=2,所以CD=2.又因为AB=6,AD=4<2，所以BD=、.AB2一AD2=(,62-因为NACB=NE，所以BC〃EF.因为AD平分NCAB,所以NOAD=NCAD，又因为NADB=NE,所以△ADE^AABD所以de所以de二殍ADDE在Rt△在Rt△CDE中，CE=yCD2—DE2=4y,223< 7二—所以DG=—.OG=3——=—.3 3 33在Rt在Rt△OGB中，GB='OB2—OG2=4、:’2

"I"因为NACB=NE,因为NACB=NE,所以BC〃EF,所以△OGB^AODF,OGGBODDF7 4<2所以3二丁，所以3DF12<2DF=——-（2015山东菏泽，18,8分）如图，在△ABC中，BA=BC,以AB为直径的。O分别交AC>BC于点D、E，BC的延长线于。O的切线AF交于点F.（1）求证：ZABC=2ZCAF；(2)若AC=2而，CE：EB=1：4,求CE的长.【答案】（1）证明见试题解析；（2）2.【解析】试题分析：首先连接54由上5为直径，可得一WD占又由/F是⑷口的切线f易证得/匚#=ZABD.然后由5G证得；ZASC=2ZCAF,（2）首先连接上工设匚Wr,由勾股定理可得方程：［2画）：=/十（3》1求得答案.试题解折】（建如图，连接5口.：.」3为电口的直径，，/一口光式产.，，2D4+乙步二式产，7工厂是。门的切姓…己3二支尸，即/2』3+/匚4期。，：.ZCAF=Z.4BD,'."BA=BC, ，工乙崂C二2乙』即，，乙!3"/匚，（2）如图，连接AE,Z.ZAEB=90°,设CE=x,*/CE：EB=1：4,，EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,在Rt△ACE中，,即（2^^=/ ，:.%=2.:.CE=2.产AA考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.（2015•四川凉山州,第23题8分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0,1,2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1,-2,0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y,确定点M坐标为（x,y）.（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x,y）在函数，=一*14的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，。O的半径是2,求过点M（x,y）能作。O的切线的概率.【答案】（1）答案见试题解析；（2）-；（3）-.【解析】试题分析：(1)用树状图法展示所有g种等可能的结果数m匕)根据一i■欠函数图象上点的坐标特征，从g个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；(打利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⑷口的切线，则可计菖出过点》03能作⑷口的切线的概率.试题解析：m,画树状图：o1 ?共有g种等可能的结果数，它们是:(口，-1)，(［，-2),(U,3),(1,-1),(1,-2),(b(D,(3-1),㈡-2),(3办㈡)在直线j=-工+1的图冢上的点有：「3g㈡-1),所以点㈠在函数j二t十1的图象上的概率=W9(3)在。O上的点有(0,-2),(2,0),在。O外的点有(1,-2),(2,-1),(2,-2),所以过点M(x,y)能作。O的切线的点有5个，所以过点M(x,y)能作。O的切线的概考点：1.列表法与树状图法；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.切线的性质.25.(2015•四川乐山，第25题12分)已知Rt△ABC中，AB是。O的弦，斜边AC交。O于点。，且AD=DC,延长CB交。O于点E.(1)图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图2,过点E作。O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF=CD时，求sinZCAB的值；②若CF=aCD(a>0)时，试猜想sinZCAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结果)【答案】(1)AE=CE；(2)①且；②恒23 a+2【解析】试题分析：(1)连接.正、环如图L根据圆周角定理可得品/结必加。，由于工ADG根据垂直平分线的性质可得AE=CEy(2)连接工7ED?如图，由乙西期加"可得.二是02的直径，根据切线的性质可得/工方=期L从而可证到雷，然后运用相似三角形的性质可得,小刀工力且已①当*6时，可得AE2=3CD2,从而有EC=AE=^3CD?在RtADEC中运用三角函数可得sm^CED=—=^-,根据圆EC3周角定理可得即可求出m/小3的值三②当仃XS.Q>0)时，同①即可解决问题.试题解析：(1)AE=CE.理由：连接上MDE,如图1,7乙.—E甑，乙山E=4EE=**,\'AD=DC,：.AE=CEi《办连接且用期如图,「乙1酩二期口…：生是日。的直径，;即是。。口的切线…:/金泊90。，ARAJ) ,，乙i0欧乙2EF=M0,又:"EE=二.逐，：./\ADE<^l\AEF,：.--=--,：.AE2=AD'AF.AFAE①当CF=CD时，且ADC=CF,且F=3DC,.'.AE1=r>C^DC=3DC1f：.AE=^3DCf,：EC=ASf:£C=出口C,出一金>变二等二旦EC®)C31 ，2②当CF=aCD(a>0)时，sin/CAB=——a4-2VCF=aCD,AD=DC,；.AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,^AE3=DC•(a+2)DC=(a+2) ,

，AE= DC, •・•EC=AE ,.. .ZJC_GC J口.2...sinNCAB=sinNCED=0c== =__= .，EC= Jo+2DC考点：1.圆的综合题；2.探究型；，EC= Jo+2DC考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在型.26.（2015•四川凉山州涕27题8分）如图，。O的半径为5,点P在。O外，PB交。O于A、B两点，PC交。O于D、C两点.（1）求证：PA•PB=PD•PC；45 19（2）若PA=—,AB=,PD=DC+2,求点O到PC的距离.4 4【答案】（1）证明见试题解析；（2）3.【解析】试题分析：（1）先庄接上4BC,由局内接四边形的性质可知故可得出色3口sAm匚3再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论,（2）由白・.%二?口■尸匕求出C4根据垂径定理可得点0到F厂的距离.试题解析：《11连接二。，5G：四边形上3次内接于⑷0,^PBA=ZPBC,，△旦口PAPDs△尸匚R ——=——，：.R4-PS=PC-PD,PCPB连接OD,作OE±DC,连接OD,作OE±DC,垂足为京：m4519一，二扉一，PEi=DC+l,.,.PB=l6,PC=lDC+lf'：R^?B=PD'PC,4;A—X16=(DC+2)(2DC+1),解得：DOS或口C=-11(舍去)，，口E=4, 即点04考点：1.相似三角形的判定与性质；2.圆周角定理.27.（2015•四川泸州，第24题12分）如图，△ABC内接于。O,考点：1.相似三角形的判定与性质；2.圆周角定理.27.（2015•四川泸州，第24题12分）如图，△ABC内接于。O,AB=AC,BD为。O的弦，且AB//CD，过点A作。O的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F。（1）求证：四边形ABCE是平行四边形;(2)若AE=6,CD=5,求OF的长。考点：切线的性质；平行四边形的判定..分析：（1）根据切线的性质证明NEAC=NABC,根据等代得到NEAC=/ACB,从而根据内错角相等两直线平行的AB//CD即可判定四边形ABCD是平行四边形;的性质和等量DljAE/BC,结合已知（2）作辅助线，连接AO,交BC于点H,双向延长OF分别交AB,CD于点N,M，根据切割线定理求得EC=4,证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFHs^DMFs^BFN,并由勾股定理列式求解即可.解答：（1）证明：*/AE与。O相切于点A,・•・/EAC=NABC,,?AB=AC,.•・NABC=NACB,.•・/EAC=NACB,・'.AE/BC,:AB〃CD，，四边形ABCE是平行四边形;(2)解：如图，连接40,交BC于点H，双向延长OF分别交AB,CD与点N,M,*/AE是。0的切线，由切割线定理得，A