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文档简介
¥n=1⒉Sn
=
a1
+
a2
+
+
an若lim
Sn
=
S
,称级数收敛;否则称发散.第n个部分和⒈
an
=a1
+a2
+
+an
+
无穷级数nfi
¥⒊级数收敛的必要条件：¥nfi
¥n
=1若
an收敛，则
lim
an
=
0.¥n=1nfi
¥等价叙述为：
若lim
an
„
0,则
an发散.
¥
¥¥
¥
若
nn=1
n=1nn=1
n=1b
发散.a
发散，则⒈
比较法：设$N
,当n
>
N时,
0
£
an
£
bn
,
则
若
bn收敛，则
an收敛.¥n
=
1
a
n
,
a
n‡0
——正项级数{Sn
}有界.定理：正项级数
an收敛¥n=1２.比较法极限形式：a如lim
n
=
l,则nfi
¥
bn¥
¥①
若0
<l
<+¥
,则
an与
bn同敛散;n=1
n=1②¥
¥对两个正项级数
an和
bn
,n=1
n=1¥
¥若l
=
0,
则
bn收敛
an收敛;n=1
n=1③¥
¥若l
=
+¥
,
则
bn发散
an发散.n=1
n=1３.Cauchy
积分判别法设x
‡1时,f
(x)‡0且递减,1与无穷积分
+¥f
(x)dx同敛散.¥n=1则无穷级数
f
(n)常用于比较的个级数：⑴
等比级数¥r
‡1发散.r
<1收敛,n=1
r
n
,⑵1
,¥
n=1n
p⑶p
£
1发散,
p
>
1收敛.1,,
¥
n=k¥
n=2n
ln
n(ln
ln
n)
pn(ln
n)
p１P级数一、Cauchy
判别法⒈
设an
‡
0,若$0
<
q
<
1,
使n
>
N时有n
an
£
q
<
1.则
a
n收敛；若对无穷多个
n,有n
an
‡
1,则
an发散.⒉
极限形式n
nnfi
¥设a
‡
0,且lim
sup
n
a
=
q,
则
na
发散q
>
1,
q
<1,
an收敛⒊推论：
q
>1,发散
q
<1,收敛若lim
n
an
=
q,则
nfi
¥0nnnn
a
发散.
a
an+1
‡
1,
a
收敛.
a若n
‡n
时,
1.二、D'Alembert判别法设an
>
0,
n
=
1,2,
.
an+1
£
q
<
1,2.
极限形式：nnnfi
¥则
a
收敛.a若lim
sup
an+1
=
q
<
1,①②
若lim
infnfi
¥则
an发散.n+1
=
q'>
1,ana
q
>1,
发散
q
<1,收敛.an3.
推论：
若lim
an+1
=
q,nfi
¥三、Raabe
判别法①0nn+1n-1)‡r
>1,
则
a
收敛.aa若n
>
n
时,
n(②0nn+1n-
1)
£
1,
则
a
发散.aa若n
>
n
时,
n(设an
>
0,
n
=
1,2,
.取b
=
1
(
p
>
1)，npn极限形式
l
<1时发散.
l
>1时收敛.
an+1lim
n(
an
-
1)
=
l,nfi
¥naan),
n
fi
¥1+ +
o(设a
>
0,
满足
=
1
+n+11
bn n
ln
n n
ln
n¥
¥n=1
n=1则当b
>1时,
an收敛;b
<1时
an发散.等价形式为：
b
<1发散.nan+1lim
n
ln
n(an
-1
-1
)=b
,
b
>1收敛.nfi
¥1n(ln
n)
pn相比较(p
>1)四、Gauss判别法
用a
与⒈熟练掌握：比较判别法及其极限形式,
Cauchy判别法,D’Alembert判别法.⒉
掌握：Cauchy积分判别法⒊
了解Raabe和Gauss判别法.达
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