安徽省安庆市桐城中学高二下学期第一次月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2015-2016学年安徽省安庆市桐城中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导结果正确的是()A．（1﹣x2)′=1﹣2x B．(cos30°）′=﹣sin30°C．［ln（2x）]′= D．（）′=2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x)=2xf′（e)+lnx,则f′（e）=（）A．1 B．﹣1 C．﹣e﹣1 D．﹣e3．已知函数f（x）和g(x)在区间[a，b］上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈（a,b），函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g（x)在x=x0处的瞬时变化率D．存在x0∈（a，b）,使得函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x）在x=x0处的瞬时变化率4．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45° C．﹣45° D．135°5．如图是函数y=f(x）的导函数y=f′(x）的图象,则下面判断正确的是（）A．在区间(﹣2，1）内f（x）是增函数 B．在（1,3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x)是增函数 D．在x=2时f（x）取到极小值6．已知函数f(x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞,+∞）上既有极大值，也有极小值,则实数a的取值范围为（）A．a＞ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠07．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．1 B． C．2 D．8．若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈［﹣2，2］恒成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，7] B．(﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D．[﹣12，7］9．函数y=2x2﹣ln2x的单调递增区间是（）A． B． C． D．和10．已知函数f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2)等于（)A．11或18 B．11 C．18 D．17或1811．设f′(x）为函数f(x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx,f(e）=,则下列结论正确的是（)A．f（x）在(0,+∞）单调递增 B．f(x）在（0，+∞)单调递减C．f(x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞)上有极小值12．已知函数图象上任意两点A（x1，y1)、B（x2，y2）（x1＞x2），满足，则实数m的取值范围是（)A．[0，2］ B．（﹣∞，0) C．（0，2） D．[2,+∞]二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．一质点按规律s=2t3运动,则其在t=1时的瞬时速度为m/s．14．求（﹣x）dx=．15．若过点(0，0)的直线L与曲线y=x3﹣3x2+2x相切，则直线L的方程为．16．设函数（a∈R）．若存在x0∈［0,1]使得f（f（x0））=x0，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ax(x+1)﹣lnx．（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1)）处的切线方程；（2）若函数g（x)=f(x）+lnx﹣ax2+ex，当a＜﹣1时，求g（x）的极值．18．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时,函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式;（Ⅱ）若f(x）=k有3个解,求实数k的取值范围．19．已知f（x）=xlnx，g（x)=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在（0，+∞)上的最小值；（2)对一切x∈（0，+∞),2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．20．已知函数R．(1)若f（x）在定义域内为增函数，求a的值．（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为﹣2，求a的值．21．设f(x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）求证：当x≥1时，f（x）≤g(x）（2）若当x≥1时，f(x)﹣mg（x）≤0恒成立,求实数m的取值范围．22．已知，其中e为自然对数的底数（1）设g（x)=xf'（x)（其中f'（x)为f（x）的导函数),判断g（x）在(0，+∞）上的单调性（2)若F（x）=lnx﹣af（x）+1无零点，试确定a的范围．

2015—2016学年安徽省安庆市桐城中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导结果正确的是(）A．(1﹣x2)′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′= D．（)′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则,求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x,∴A式错误；对于B,（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，［ln（2x）]′=×（2x)′=,∴C式错误;对于D，===，∴D式正确．故选：D．2．已知函数f(x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′(e）+lnx，则f′（e）=（)A．1 B．﹣1 C．﹣e﹣1 D．﹣e【考点】导数的运算．【分析】首先对等式两边求导得到关于f'(e)的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）=2xf′(e）+lnx，两边求导得f'（x）=2f’（x）+，令x=e得f'（e）=2f'(e）+e﹣1，所以f'（e）=﹣e﹣1；故选:C．3．已知函数f(x）和g（x）在区间［a,b］上的图象如图所示,那么下列说法正确的是（）A．f(x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈（a，b)，函数f（x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x=x0处的瞬时变化率D．存在x0∈(a，b），使得函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x=x0处的瞬时变化率【考点】变化的快慢与变化率．【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数,即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，g（x）在a到b之间的平均变化率是，∴=，即二者相等；∴选项A、B错误；对于C、D，∵函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x）在x=x0处的导数，即函数f（x）在该点处的切线的斜率,同理函数g（x）在x=x0处的瞬时变化率是函数g（x)在x=x0处的导数，即函数g（x)在x=x0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．故选:D．4．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45° C．﹣45° D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点(1,）处切线的倾斜角,我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点(1，）的斜率即该点的导数值,然后再计算倾斜角．【解答】解：∵∴y’=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点(1,）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1,）处切线的倾斜角为：135°故选D5．如图是函数y=f（x)的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数 B．在(1,3）内f（x）是减函数C．在(4，5）内f(x)是增函数 D．在x=2时f（x)取到极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．【解答】解：由图象知当﹣＜x＜2或x＞4时,f′（x)＞0，函数为增函数，当﹣3＜x＜﹣或2＜x＜4时，f′（x）＜0,函数为减函数,则当x=﹣或x=4函数取得极小值，在x=2时函数取得极大值，故ABD错误,正确的是C,故选：C6．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（）A．a＞ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求导函数，根据函数在区间(﹣∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根,可求实数a的取值范围．【解答】解:求导函数：f′（x)=3ax2﹣2x+1,∵函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣6既有极大值又有极小值，∴a≠0,且△=4﹣12a＞0，∴a＜且a≠0．故选：C．7．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．1 B． C．2 D．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积,最后转化成等价形式．【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积S==+sinx|=，故选：B8．若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈［﹣2，2］恒成立，则m的取值范围是(）A．（﹣∞,7］ B．（﹣∞,﹣20] C．（﹣∞,0] D．［﹣12，7]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题．【分析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x1=﹣1,x2=3(舍），由f(﹣2）=0，f(﹣1）=7，f(2)=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2］上的最大值为7，最小值为﹣20,由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈［﹣2，2］恒成立的m的取值范围．【解答】解：设y=x3﹣3x2﹣9x+2,则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3∉[﹣2，2］，∴x2=3(舍），列表讨论：x(﹣2,﹣1）﹣1（﹣1,2）f′（x）+0﹣f（x）↑极大值↓∵f（﹣2)=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1)=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈［﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20,∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈［﹣2,2］恒成立，∴m≤﹣20，故选B．9．函数y=2x2﹣ln2x的单调递增区间是（)A． B． C． D．和【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0【解答】解：根据导数大于0知，由，得，故选C．10．已知函数f（x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或18【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f′（x)=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将x=2代入求出答案．【解答】解:f′(x）=3x2+2ax+b，∴或①当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；②当时，f′(x）=3x2+8x﹣11=(3x+11）（x﹣1）∴x∈(,1)，f′（x）＜0,x∈(1，+∞）,f′(x)＞0，符合题意．∴，∴f（2)=8+16﹣22+16=18．故选C．11．设f′(x）为函数f(x）的导函数,已知x2f′(x）+xf（x）=lnx，f（e)=，则下列结论正确的是（)A．f（x）在（0，+∞）单调递增 B．f（x）在(0，+∞)单调递减C．f（x）在(0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有极小值【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】第一步:在x2f′（x)+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为[xf(x）]'；第二步：令g（x)=xf（x)，用g（x）表示f(x)，并写出f’（x）；第三步:对f'（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：判断f’(x）的符号,即可判断f（x）的单调性．【解答】解：由x2f′（x）+xf(x）=lnx，得xf′（x）+f（x）=,从而[xf（x）］'=,令g（x）=xf(x）,则f（x）=,∴=,令h(x)=lnx﹣g（x）,则h'(x）=（x＞0）,令h’（x）＞0,即1﹣lnx＞0，得0＜x＜e时，h（x）为增函数；令h'（x）＜0,即1﹣lnx＜0,得x＞e时,h(x）为减函数;由f（e)=，得g（e）=ef（e）=1．∴h(x）在（0，+∞）上有极大值h（e）=lne﹣g（e)=1﹣1=0，也是最大值，∴h（x)≤0，即f'（x）≤0，当且仅当x=e时，f’（x）=0,∴f（x）在(0,+∞）上为减函数．故选：B．12．已知函数图象上任意两点A（x1,y1）、B（x2,y2）（x1＞x2）,满足，则实数m的取值范围是（)A．［0,2] B．（﹣∞，0） C．（0，2） D．［2，+∞］【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意得x23﹣mx22+x2+x22＜x13﹣mx12+x1+x12，从而转化为证明g（x）=x3﹣(m﹣1）x2+x在R上是增函数,求导解出即可．【解答】解:由题意得，f（x1）=﹣x13+mx12+n,f（x2）=﹣x23+mx22+n，则(﹣x13+mx12+n）﹣(﹣x23+mx22+n）＜x1﹣x2+x12﹣x22，则x23﹣mx22+x2+x22＜x13﹣mx12+x1+x12，即x23﹣（m﹣1)x22+x2＜x13﹣（m﹣1）x12+x1，故g（x)=x3﹣(m﹣1）x2+x在R上是增函数，g′(x）=x2﹣2（m﹣1）x+1，故△=4（m﹣1)2﹣4×1×1≤0，解得0≤m≤2．故选A．二．填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．一质点按规律s=2t3运动，则其在t=1时的瞬时速度为6m/s．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】由已知中质点按规律S=2t3运动，我们易求出s′，即质点运动的瞬时速度表达式,将t=1代入s′的表达式中,即可得到答案．【解答】解：∵质点按规律S=2t3运动，∴s′=6t2∵s′|t=1=6×12=6∴质点在1时的瞬时速度为6m/s故答案为：6．14．求（﹣x）dx=π﹣2．【考点】定积分．【分析】根据定积分的运算法则以及几何意义求其定积分的值．【解答】解：（）dx表示以(2,0）为圆心,2为半径的个圆的面积，所以dx=，而（﹣x）dx=﹣2，所以（﹣x）dx=π﹣2;故答案为：π﹣2．15．若过点（0，0)的直线L与曲线y=x3﹣3x2+2x相切，则直线L的方程为2x﹣y=0或x+4y=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为(x0，y0），则y0=x03﹣3x02+2x0，一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k,另一方面，根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程．继而得出k的值,即可求l的方程．【解答】解：设直线l:y=kx．∵y′=3x2﹣6x+2，∴y′|x=0=2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x3﹣3x2+2相切于原点时,k=2．直线L的方程为2x﹣y=0若直线与曲线切于点（x0，y0)（x0≠0），则k=，∵y0=x03﹣3x02+2x0，∴=x02﹣3x0+2，又∵k=y′｜=3x02﹣6x0+2,∴x02﹣3x0+2=3x02﹣6x0+2,∴2x02﹣3x0=0，∵x0≠0，∴x0=，∴k=x02﹣3x0+2=﹣，直线L的方程为x+4y=0故答案为：2x﹣y=0或x+4y=016．设函数（a∈R)．若存在x0∈［0，1]使得f（f（x0)）=x0，则a的取值范围是[﹣1，2+ln2］．【考点】特称命题．【分析】由f（f(x0)）=x0得f﹣1（x0）=f（x0），根据f（x）与f﹣1（x）的对称关系可得f（x0)=x0,于是f（x0）∈[0，1],分离参数得到a的范围．【解答】解:∵f(f（x0）)=x0，∴f﹣1（x0）=f（x0），∵f﹣1(x）和f（x）关于直线y=x对称，∴f(x0）=x0，∵x0∈［0,1],∴0≤≤1，即0≤ln（x0+1）+2x0﹣a≤1．∴﹣［ln（x0+1)+2x0]≤﹣a≤1﹣[ln(x0+1）+2x0］∴［ln（x0+1）+2x0］﹣1≤a≤ln（x0+1）+2x0］∵存在x0∈[0，1]使f（f(x0））=x0，∴﹣1≤a≤2+ln2．故答案为：［﹣1，2+ln2]．三、解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ax（x+1)﹣lnx．（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）+lnx﹣ax2+ex，当a＜﹣1时，求g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得g（x)的导数，令导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间,进而得到极值．【解答】解：(1）当a=1，f（x）=x(x+1）﹣lnx=x2+x﹣lnx，f（1）=1+1﹣ln1=2，∴切点坐标为（1，2）,,∴k=f'（1）=2+1﹣1=2．根据直线的点斜式方程，切线方程为y﹣2=2（x﹣1），∴f(x）在(1,f（1)）处的切线方程2x﹣y=0;（2）依题意得，g（x)=ax2+ax﹣lnx+lnx﹣ax2+ex=ax+exg’（x）=a+ex，由ex＞﹣a，∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，解得x＞ln（﹣a），∴f（x）在(ln（﹣a)，+∞)上单调递增，在(0，ln（﹣a））上单调递减．∴，g（x）无极大值．18．若函数f(x)=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f(x）有极值为，(Ⅰ）求函数f（x）的解析式;（Ⅱ）若f（x）=k有3个解,求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1)先对函数进行求导,然后根据f（2）=﹣．f’（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．(2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．【解答】解:（Ⅰ)f′(x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x)=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0,得x=2或x=﹣2,∴当x＜﹣2时,f′（x)＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0,当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．19．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．(1）求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值；（2)对一切x∈（0,+∞），2f(x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出x＞0，f′（x)=lnx+1，利用导数性质能求出求函数f（x）在（0，+∞)上的最小值．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3恒成立，等价于恒成立，记，则，利用导数性质能求出实数a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x）=xlnx,∴x＞0,f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞，∴f（x）在上单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜,∴f（x）在上单调递减，∴f(x）在处取最小值，∴．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3恒成立,等价于恒成立，记,则=，当x∈(0，1）时,h′（x）＜0，当x∈(1,+∞）时，h′（x）＞0,∴h（x）在（0，1）内单调递减,在（1,+∞）内单调递增,∴h（x）min=h（1）=4,∴实数a的取值范围是(﹣∞，4］．20．已知函数R．(1）若f（x）在定义域内为增函数，求a的值．(2)若f（x）在[1，e］上的最小值为﹣2，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，根据f′（x）≥0，求出a的值即可；（2)求出函数f（x)的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，得到函数f（x)的最小值,从而求出a的值即可．【解答】解：（1）又f（x）在定义域内为增函数，∴∀x＞0，f'（x)≥0，∴a=1（2）由f’（x）=0得x=1或x=a，(i）a≤1,x∈[1，e]，f'（x）≥0∴f（x）在[1，e］↑∴fmin（x)=f（1）=1﹣a=﹣2∴a=3(舍）（ii)1＜a＜e,x∈（1，a),f'(x）＜0，x∈（a，e），f’（x）＞0,∴f（x）在[1，a]↓，（a,e］↑,∴fmin(x）=f（a）=a﹣1﹣（a+1)lna=﹣2，∴a=e（舍)（iii）a≥e，x∈[1,e]，f'（x）≤0，∴f（x）在[1，e］↓∴，综上,a=e．21．设f（x）=xlnx，g(x）=x2﹣1．（1)求证：当x≥1时，f（x)≤g(x）（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg(x）≤0恒成立,求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1）记,求出h′（x）=lnx+1﹣x，h’’