导数及其运用学案-北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《导数及其运用》知识点总结1.1导数的概念及其意义1.1.1变化率问题一、物理中的变化率问题1.平均速度：设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为ΔsΔt=2.瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)一般地，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，ΔsΔt的极限是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度v=lims(t二、几何中的变化率问题1.抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点P0(x0,f(x0))，P(x0+Δx,f(x0+Δx))的割线的斜率为ΔyΔx=f(2.抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于某个常数k，我们就说当Δx趋近于0时，ΔyΔx的极限是k，这时k就是抛物线在点P0(x0，f(x0))处切线的斜率，即切线的斜率k=limΔx→0三、求瞬时速度1.求运动物体瞬时速度的步骤(1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0)；(2)求平均速度v=ΔsΔt(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近的常数v即为瞬时速度，即v=lim四、求抛物线的切线方程1.求二次函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0))处的切线方程的步骤(1)求切线的斜率k=limΔx→0ΔyΔx(2)利用点斜式求出切线方程.1.1.2导数的概念及其几何意义一、函数在某点处的导数1.函数平均变化率的定义对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率)如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f'(x0)或y'|x=x0，即f'(x0)=lim二、函数在某点处的导数的几何意义1.切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.2.函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0=limΔx→0f(x相应地，切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).三、导函数的定义1.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=limΔx→0四、函数的平均变化率1.函数的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比，其作用是刻画函数值在区间[a，b]上变化的快慢.它的几何意义是指P1(a,f(a))，P2(b,f(b))两点割线的斜率.五、导数概念的理解1.函数y=f(x)在x=x0处可导，必须满足两个条件(1)f(x)在x0处及其附近有定义；(2)当Δx→0时，ΔyΔx2.Δx是自变量x的改变量，且Δx≠0；Δy是函数值y的改变量，可以为0.3.导数定义的等价形式

y'=limΔx→0f(x)−f(x+Δx)−Δx；y'=lim注意：自变量之差与函数值之差要相互对应.六、求函数在某点处的导数1.利用定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤(1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx=f(x0以上三个步骤可简称为“差、商、极限”.2.求函数在某一点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算这点的导数值.七、由导数的几何意义求切线方程1.求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.(1)若“在”，则该点为切点；(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.2.求曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程的步骤(1)求出切线斜率k=f'(x0)；(2)利用点斜式求出切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.求曲线f(x)过点P(x0,f(x0))的切线方程的步骤(1)设出切点(x1,f(x1))；(2)求出函数y=f(x)在点(x1，f(x1))处的导数f'(x1)；(3)写出切线方程：y-f(x1)=f‘(x1)(x-x1)，将(x0,f(x0))代入，求得x1；(4)化简切线方程.1.2导数的运算一、基本初等函数的导数公式1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈R，且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0，且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0，且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=12.常用公式(1)1x'=-1x2；(2)(x二、导数的四则运算法则名称内容和、差的导数[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)积的导数[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[cf(x)]'=cf'(x)(c为常数)商的导数f(x)g(x)'=f'(x)g(x)−f(x)g'(x)三、复合函数的概念及其求导法则1.复合函数的概念一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.四、利用导数的四则运算法则求函数的导数1.利用导数的四则运算法则求函数的导数的策略(1)分析待求导的函数的结构特点，若符合导数公式的形式，则直接用导数公式和运算法则求导.(2)对于不能直接用公式的形式，一般遵循“先化简，再求导”的原则，如把乘积的形式展开，分式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂的形式等.五、利用导数的四则运算法则解决切线问题1.利用导数的四则运算法则解决切线问题，有以下几种常见题型(1)求曲线在某点处的切线方程；(2)已知切线的方程或斜率求切点；(3)切线问题的综合应用.2.切线问题的处理方法(1)对函数进行求导；(2)若已知切点，则求出切线斜率，利用点斜式写出切线方程；(3)若切点未知，则先设出切点，用切点横坐标表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.六、复合函数的导数及其应用1.复合函数求导的步骤 2.求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简单.1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性一、函数的单调性与导数的关系1.函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负的关系（1）在某个区间(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增；在某个区间(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减.（2）特别地，如果在区间(a，b)上恒有f‘(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.2.一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.二、导函数与原函数图象的关系 1.导函数的正负决定了原函数图象的变化，遵循“符号为正，图象上升；符号为负，图象下降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方，确定导函数的正或负.解决问题时，一定要分清是原函数图象还是导函数图象.2.由y=f(x)的图象判断f'(x)的图象，其思维方式是利用y=f(x)的图象的单调性得到函数f'(x)的正负；若由f'(x)的图象判断y=f(x)的图象，则利用函数f'(x)的正负来确定原函数y=f(x)的单调性.三、利用导数研究函数的单调性1.利用导数判断函数的单调性的步骤(1)求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)结合定义域求出导数f'(x)的零点；(3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，分析f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.2.含参数的函数的单调性问题解决含有参数的函数的单调性问题，要考虑到参数对单调性的影响，必要时要进行分类讨论，主要考虑：①含参数的方程f'(x)=0是否有根；②方程f'(x)=0的根是否在定义域内；③方程f'(x)=0不同根的大小.四、已知函数的单调性求参数的范围1.已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数的取值(范围)的步骤(1)求导；(2)将f(x)在(a，b)上单调递增(减)转化为不等式恒成立问题处理，即f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a，b)内恒成立；(3)利用最大(小)值解决不等式恒成立问题；(4)注意验证等号是否取到.五、构造函数，利用导数证明(解)不等式1.利用单调性解不等式的关键是构造函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.(1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x)，特殊地，若遇到f'(x)>a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构造h(x)=f(x)-ax.(2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x).(3)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=ex·f(x).(4)对于f'(x)-f(x)>0，构造h(x)=f(x)e(5)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=x·f(x).(6)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)=f(x)x(7)对于f'(x)f(x)①若f(x)>0，则构造h(x)=lnf(x)；②若f(x)<0，则构造h(x)=ln[-f(x)].2.利用导数证明不等式的步骤(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a，b))移项，构造函数F(x)=f(x)-g(x)，转化为证明F(x)>0的形式.(2)确定函数的单调性，若F'(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数；若F'(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数.(3)将单调区间的端点值代入，若函数F(x)是增函数，且F(a)=f(a)-g(a)≥0，则当x∈(a，b)时，f(x)-g(x)>0，即f(x)>g(x)；若F(x)是减函数，且F(b)≥0，则当x∈(a，b)时，f(x)-g(x)>0，即f(x)>g(x).1.3.2函数的极值与最大(小)值一、函数的极值1.函数的极值与极值点（1）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，就把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.（2）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，就把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.求函数y=f(x)极值的方法解方程f'(x)=0，当f'(x0)=0时：(1)如果在x0附近的左侧f‘(x)>0，右侧f’(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极小值.二、函数的最大(小)值1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.2.一般地，求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y=f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.三、利用导数解决函数的极值问题1.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求函数的导函数f'(x)；(3)由f'(x)=0，求出全部的根；(4)列表：方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数，则需根据参数的范围分类划分区间)，把x，f'(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)得结论：若导数在根x0附近左正右负，则函数在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值.2.有关含参数的函数的极值问题(1)求含参数的函数的极值，要根据f‘(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要考虑以下几个方面：①方程f'(x)=0有无实数根；②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内；③方程f'(x)=0的实数根的大小.进而列表得到函数的极值.(2)由极值求参数的值或取值范围，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下：①求函数的导函数f'(x)；②由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.四、利用函数的极值解决函数的零点(方程根)问题1.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.利用导数解决函数问题中，函数的零点问题是比较复杂的综合问题，常常在高考压轴题中出现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用，分类讨论、数形结合等思想方法进行有效处理，解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.五、利用导数研究函数的最大(小)值问题1.求解函数在固定区间上的最大(小)值问题的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f'(x)，解方程f'(x)=0；(3)列出关于x，f(x)，f'(x)的变化表；(4)求极值、端点处的函数值，确定最大(小)值.注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.2.有关含有参数的函数的最大(小)值问题，一般有两类一类是求含有参数的函数的最大(小)值，对于此类问题，由于参数的取值范围不同会导致函数的单调性变化，从而导致最大(小)值变化，所以解决此类问题常常需要分类讨论，在分类讨论解决函数的单调性的基础上，比较极值与端点值的大小求解.另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围，此类问题是根据导数求函数最值问题的逆向运用，求解此类问题的步骤如下：(1)求导数f'(x)，并求极值；(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，则要对参数进行分类讨论；(3)利用最值列出关于参数的关系式，求解即可.六、利用函数的最大(小)值解决与不等式恒成立有关的问题1.利用函数的导数求函数的最大(小)值，可以处理有关函数图象、不等式等综合问题，特别是有关不等式恒成立问题，是近几年来高考的重点、热点和难点，经常以高考压轴题的形式出现.2.解决不等式恒成立问题的方法(1)取主元(给定范围内任意取值的变量)，结合参数分类，利用最大(小)值或数形结合解决有关不等式恒成立问题.(2)将主元与参数分离变量，将不等式恒成立转化为最大(小)值问题来解决.在定义域内，对于任意的x，都有f(x)≥a成立，转化为f(x)min≥a；对于任意的x，都有f(x)≤a成立，转化为f(x)max≤a.3.证明不等式问题，可以将不等式问题转化为最大(小)值问题，利用函数的最大(小)值加以证明.七、导数在解决实际问题中的应用1.利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境”翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.2.解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. 典型例题训练1．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则3．（2023·北京门头沟·统考一模）已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围（

）A．B．C． D．4．（2023·北京通州·统考三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023秋·北京通州·高三统考期末）“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·北京西城·高三统考期末）人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logisticmodel”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：①；②在上是增函数；③．其中所有正确结论的序号是．8．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：①函数有零点；

②a的取值范围是；③；

④．其中所有正确结论的序号是．9．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数，.给出下列四个结论：①当时，函数有最小值；②，使得函数在区间上单调递增；③，使得函数没有最小值；④，使得方程有两个根且两根之和小于.其中所有正确结论的序号是.10．（2023·北京平谷·统考一模）设函数，的值域是，设，若恰有两个零点，则a的取值范围为．11．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．12．（2023·北京通州·统考三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.13．（2023·北京东城·统考二模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.14．（2023·北京东城·统考一模）已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；(3)当时，设，，求证：.15．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的极值；(3)证明：当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.16．（2023·北京西城·统考二模）已知函数．(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求实数的值．17．（2023·北京西城·统考一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明：在上单调递增；(3)判断与的大小关系，并加以证明．18．（2023秋·北京西城·高三统考期末）已知函数,其中．(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,判断的零点个数,并加以证明;(3)当时,证明:存在实数m,使恒成立．19．（2023·北京朝阳·二模）已知函数.(1)当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）证明：；(2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围.20．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a的取值范围；(3)若，证明：．21．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．22．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是增函数，求a的取值范围；(3)证明：有最小值，且最小值小于．23．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数．(1)求函数的极值；(2)若函数有两个不相等的零点，．（i）求a的取值范围；（ii）证明：．24．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最小值；(3)证明函数只有一个零点．25．（2023·北京石景山·统考一模）已知函数.(1)当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.若在上恰有一个极值点，求的取值范围.26．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若和有相同的最小值，求a的值．27．（2023·北京海淀·统考二模）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围．28．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若存在，使得，求a的取值范围．29．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数.(1)判断0是否为的极小值点，并说明理由；(2)证明：.30．（2023·北京门头沟·统考一模）已知.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若在恒成立，求的取值范围.31．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)证明：32．（2023·北京房山·统考一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间；(3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.33．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知函数（）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数恰有一个零点，则的取值范围为______.（只需写出结论）34．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0.35．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的最大值和最小值；(3)设，证明：对任意的，有．36．（2023·北京顺义·高三统考期末）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间．37．（2023·北京昌平·统考二模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.38．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：对任意的恒成立.39．（2023·北京平谷·统考一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若对任意恒有，求a的最大值．40．（2023·北京密云·统考三模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.41．（2023·北京延庆·统考一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：有且只有一个极值点；(3)求证：方程无解．参考答案：1．【解】由函数，可得，设切点坐标为，可得切线方程为，把原点代入方程，可得，即，解得，所以切线方程为，即.故选：A.2．【解】对于A，易知，，所以，所以，错误；对于B，因为，所以，由知，错误；对于C，，，虽然，但是，故对，不恒成立，错误；对于D，函数，则，，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，正确.故选：D3．【解】由，可得，设函数，则在R上恒成立，所以单调递增，所以，则，，令，，则，当时，，令得：，令得：，所以，又，，其中，所以实数的取值范围是.故选：D.4．【解】①为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以恒成立，即无零点，所以不存在“倍值区间”，故①错误；对于②在上单调递增，若函数存在“倍值区间”，则，所以，解得.所以函数存在“倍值区间”，故②正确；对于③函数在定义域上单调递增，若函数存在“倍值区间”，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以在上存在一个零点，所以在定义域上存在两个零点，方程有解，其中，，所以函数存在“倍值区间”，故③正确；对于④，函数在上单调递增，若函数存在“倍值区间”，则，令，，则，所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点，所以函数不存在“倍值区间”，故④错误；故选：B5.【解】设函数，则，即为单调增函数，则，即得，所以当时，成立，当时，，但推不出成立，故“”是“”的充分而不必要条件，故选：A6．【解】由可得定义域为，则，且在上单调递减，令，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，当时，趋近于负无穷小，故，且，故可作出函数的图象如图：由此可知不等式的解集是，故选：C7．【解】①当，所以；②，因为均为正常数，且，所以，所以在上是增函数；③，等价于，即等价于，即等价于，等价于，而恒成立，且，所以恒成立，即．故选项③正确.故答案为：①②③.8．【解】由已知可得，定义域为，.对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确；对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解，则应满足，解得，故②错误；对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误；对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减.由③知，所以，故④正确.故答案为：①④.9．【解】对于①，当时，，则，由可得，由可得或，此时，函数的增区间为、，减区间为，当或时，，当时，，故函数在处取得最小值，①对；对于②，，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，，则，由可得，构造函数，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故当时，，则，即在上单调递减，，则，解得，②对；对于③，，，因为函数在上单调递增，，，所以，存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，对任意的实数，函数有最小值，③错；对于④，令，不妨令，即取，由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，则，，所以，存在，使得，此时函数的零点之和为，④对.故答案为：①②④.10．【解】当时，，当时，，所以函数的值域为；作出函数图象从图象上可以看出函数的值域为，因为恰有两个零点，则方程恰有两个解，从而函数与有两个交点，易知图象是恒过点（1,0）的直线，如图当时，函数与有一个交点，当时，函数与有一个交点，又当时，，则，所以，故在点处的切线为，即，故当时，函数与有一个交点，所以要使函数与有两个交点，则，即恰有两个零点时，a的取值范围为.故答案为：；.11．【解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.12．【解】（1）因为，所以.所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，所以，解得..（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.（3）定义域为当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.当时，在（0，）上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，函数存在两个零点的必要条件是，即，又，所以在（1，）上存在一个零点（）.当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.不妨设两个零点由，所以，所以，所以，要证，只需证，只需证，由，只需证，只需证，只需证，令，只需证，令，，∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，即成立，所以成立.13．【解】（1）因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以.（3）满足条件的的最大整数值为.理由如下：不等式恒成立等价于恒成立.令，当时，，所以恒成立.当时，令，，，与的情况如下：1所以，当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，所以的值域为，因为，所以的最小值小于且大于.所以的最大整数值为.14．【解】（1）当时，，故，令，则，即的单调递增区间为.（2）由，可得，即直线l的斜率为，设，则，因为，故，当时，，在上递减，当时，，在上递增，故，即，即，而，故的最小值为.（3）由已知，由（2）可知时，为单调增函数，由，，则，又时，为单调减函数，，故，由于，即，故，故.15．【解】（1），，则，故曲线在点处的切线方程为：，即；（2），当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，，故的极小值为，无极大值；（3）令，定义域为，，其中，令，则在上恒成立，在上单调递增，因为，，由零点存在性定理可知：，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，当时，，即，此时取得极小值，，因为，所以，故，当时，，此时在上，，则曲线：与曲线：无交点，当时，，此时，有且仅有一个，使得，当且时，都有，即，故当时，曲线：与曲线：存在一个交点，故当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.16．【解】（1）因为，

所以在区间上单调递增．

所以的最小值为；的最大值为．（2）的定义域为．由（1）知，且在上单调递增，所以当时，；当时，．

设．若恒成立，则当时，；当时，．所以，即，解得．

下面证明：当时，恒成立．此时，，．当时，．所以在上单调递增，．

当时，设．因为，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．

且当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且，所以当时，恒成立．综上，．17．【解】（1）,所以，．

所以曲线在点处的切线方程为．（2）由题设，．所以．

当时，因为，所以．

所以在上单调递增．（3）．证明如下：

设．

则．

由（2）知在上单调递增，所以．

所以，即在上单调递增．

所以，即．18．【解】（1）解:由题知,,,,故在点处的切线方程为,即;（2）由题,,,,,故在上单调递增,,故有1个零点;（3）由题,,,令,,即在上单调递增,,且,故,使得,即在上单调递增,即,单调递减,即,单调递增,故,若恒成立,只需,即即可,故存在实数m,使恒成立.19．【解】（1），，，（i）在处的切线方向为；（ii）令，则，当时单调递减，当时单调递增，在处取得最大值，；（2）由题可知，则，

，，令，当时是减函数，当时是增函数，处取得极大值，也是最大值，，令，显然是增函数，欲使得，，即，解得，所以a的取值范围是.20．【解】（1），显然有，当时，，单调递增，当时，，单调递减；（2）由得：，，令，则有，令，显然是减函数，，当时，，单调递增，时，，单调递减；，a的取值范围是；（3）当时，，由（1）的结论作函数图像如下：，对于，得，不妨设，则有，由图可知当时，对应的自变量有2个值，其中，要证明，只需取中较小的数即可，，，，，要证明，只需证明，在时，单调递增，只需证明，，只需证明，即，构造函数，，，，是增函数，又当时，，即，命题得证；综上，（1）当时，单调递增，当时，单调递减；（2）.21．【解】（1）由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.（2）由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.22．【解】（1）当时，，，，故，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）定义域为，，若是增函数，则恒成立，故，即，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，a的取值范围是（3）定义域为，，结合（1）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，当时，令得，，该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，令得，，或，令得，，随着的变化，的变化情况如下：+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极小值为，故的最小值为，记为，当时，若，则，此时与矛盾，舍去，所以，则或，故，所以肯定小于，所以，当时，，所以，此时，，，即，故此时，综上，有最小值，且最小值小于23．【解】（1）因为，所以，因为，由有：，由有：，所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数无极大值，有极小值.（2）（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，若函数有两个不相等的零点，，则，解得，所以，因为当时，，所以，所以在上有1个零点，当时，，又“指数爆炸”，所以，所以在上有1个零点，综上，当时，函数有两个不相等的零点，.（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，不妨设，构造函数，因为，所以，因为，所以，当前仅当时取到等号，所以，所以在R上单调递减，又，所以，即，即，又，所以，又，所以，由(1)有：函数在单调递减，所以，即，结论得证.24．【解】（1）的定义域为，故，，所以曲线在点处的切线方程为：，化简得：（2）令，，当时，，所以在上单调递减，且，，所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为所以函数在区间上的最小值为.（3），，若，，所以在区间上单调递增，又，，结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，若，则，则，若，因为，所以，综上，函数在有且仅有一个零点.25．【解】（1）当时，（ⅰ），又，所以切线方程为.（ⅱ），，因为，所以,所以，所以所以在单调递增，所以；（2），当时，所以，,由（1）知，，所以在时，没有极值点，当时，，因为与在在，.所以使得.所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增.故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.26．【解】（1）解：因为，，所以，所以，，所以，曲线在点处的切线方程，即．（2）解：函数的定义域为，所以，，所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，当时，时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，增区间为，无减区间；当时，减区间为，增区间为.（3）解：由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.所以，因为，得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，因为和有相同的最小值，所以，即，令，，令，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，在上单调递增，因为，所以，等价于27．【解】（1），则，又，所以曲线在点处的切线方程为，（2）因为所以，要证明，只需要证明，即证.令，则，当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减，故在取极大值也是最大值，故，所以恒成立，即原不等式成立.（3），当时，，故当时，在区间上恒成立，符合题意；当时，，令，则在区间上恒成立，所以在单调递减，且，①当时，此时，在区间上恒成立，所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，②当时，此时，由于且，所以，所以，故存在使得，故当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，故时，取极大值也是最大值，故，由，可得，令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，综上可知，a的取值范围为.28．【解】（1）当时，，则，得，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，则，当时，恒成立，此时在R上单调递减；当时，令，解得，此时与的变化情况如下：

-0+↘极小值↗由上表可知，的减区间为，增区间为，综上，当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为．（3）将在区间上的最大值记为，最小值记为，因为存在，使得，所以，使得成立，即或，当时，，若，使得成立，只需，由（2）可知在区间上单调或先减后增，故为与中的较大者，所以只需当或即可满足题意，即只需或，解得或，

综上所述，的取值范围是．29．【解】（1）0是的极小值点，理由如下：定义域为，，其中，当时，，故，当时，，故，故在上单调递减，在上单调递增，故0是的极小值点；（2）等价于，即，令，则，当时，，所以在上单调递增，又，故当时，，当时，，则恒成立，故.30．【解】（1）解：当时，，则，则，，所以，函数在点处的切线方程为.（2）解：当时，，该函数的定义域为，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即.（3）解：，则，且，由题意可知，对任意的，.令，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，.①当时，即当时，，此时函数在上单调递增，故当时，，合乎题意；②当时，即当时，由可得，即，此时，解得，，则，由韦达定理可得，必有，当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.31．【解】（1）.所以，，所以在点处切线的方程为，即.（2）当时，，，令，则.当时，，所以在单调递减.所以.所以，函数在上单调递减.函数在上单调递减.所以，即函数的最小值为.（3）由（2）可知在上单调递减.又因为，所以.所以，即32．【解】（1）由可得，当时，，，在点处的切线方程为；（2）因为在处取得极值，所以，解得，检验如下：令，解得或，若或时，则；若，则.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，故在处取得极小值，满足题意，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；（3）由（1）知，由时，得，因，当时，当时，，即函数在上单调递减，则，因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，于是得在上的最大值为或，而，，，即，因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，所以当时，关于的不等式在区间上无解.33．【解】（1）由题设，则，所以，，故曲线在点处的切线方程为.（2）由，当时，，则时，时，所以在上递减，上递增；当时，令，可得或，若，即时，