安徽省蚌埠二中高三上学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年安徽省蚌埠二中高三(上）期中数学试卷（文科)一．选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0，1，2},B={x|x（x﹣2)＜0}，则A∩B（）A．{0,1，2} B．{1，2｝ C．｛0，1} D．｛1}2．已知复数（其中i是虚数单位,满足i2=﹣1）,则复数z等于（)A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i3．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是（）A．小赵 B．小李 C．小孙 D．小钱4．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为(）A． B． C． D．5．在等差数列{an}中，a1=﹣2011，其前n项的和为Sn．若﹣=2，则S2011=（)A．﹣2010 B．2010 C．2011 D．﹣20116．设函数f（x)=，若f（x)是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣17．如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．88．曲线y=2cos(x+）cos（x﹣)和直线y=在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2,P3,…，则｜P3P7｜=（)A．π B．2π C．4π D．6π9．如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位:km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5,且∠B与∠D互补，则AC的长为(）km．A．7 B．8 C．9 D．610．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（)A． B． C． D．11．若函数f（x）=x3﹣(1+）x2+2bx在区间[﹣3,1］上不是单调函数,则函数f(x）在R上的极小值为（)A．2b﹣ B．b﹣ C．0 D．b2﹣b312．已知函数f(x）满足f（x+1）=f（x﹣1)，且f（x）是偶函数，当x∈［0，1］时，f（x）=2x﹣1,若在区间[﹣1，3］内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（)A． B． C． D．二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩(单位:环)，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定(方差较小）的那位运动员成绩的方差为．14．若tanα=,则=．15．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．16．已知△ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设，则4m+9n的最小值是．三。解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=,B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．已知函数f（x）=cosx•sin(x+)﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣,］上的最大值和最小值．19．某高校从2016年招收的大一新生中,随机抽取60名学生，将他们的2016年高考数学成绩(满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段［90，100)，［100，110）…［140，150）,后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值;（2）若该校2016年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数;（3)若用分层抽样的方法从数学成绩在［90,100）与［140,150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人,求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．20．已知数列｛an｝满足a1=，an=(n≥2）．（1）求证：{﹣1｝为等比数列，并求出｛an}的通项公式；（2）若bn=,求｛bn}的前n项和Sn．21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+(2a+1）lnx(1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0,求f（x）的单调区间;(2）对任意的a∈[，］,函数g（x）=f（x)﹣在区间［1，2]上为增函数，求λ的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请注意题号．22．在极坐标系中，已知三点O（0,0），A（2，),B（2，）．（1）求经过O,A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．23．设函数f（x)=｜x+2|﹣|x﹣1｜．（1)求不等式f(x）＞1解集;（2）若关于x的不等式f（x)+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．

2016-2017学年安徽省蚌埠二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=｛0,1，2}，B=｛x|x（x﹣2）＜0｝，则A∩B(）A．{0，1,2} B．{1，2} C．｛0，1} D．{1｝【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：B={x|x(x﹣2）＜0｝=(0，2）,∵A=｛0，1，2},∴A∩B=｛1｝,故选：D．2．已知复数（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1),则复数z等于(）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：A．3．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过;小李说:我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A．小赵 B．小李 C．小孙 D．小钱【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用3人说真话，1人说假话,验证即可．【解答】解：如果小赵去过长城,则小赵说谎，小钱说谎,不满足题意；如果小钱去过长城,则小赵说真话,小钱说谎，小孙，小李说真话,满足题意;故选:D．4．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】2个红球分别为a,b，设3个白球分别为A,B,C，从中随机抽取2个,利用列举法求出基本事件个数和既有红球又有白球的基本事件个数，由此能求出既有红球又有白球的概率．【解答】解:设2个红球分别为a，b，设3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，则有（a,b),（a，c）,（a,A）,（a，B），（b，A）,（b,B)，（b，C）,(A，B），（A，C），（B,C）,共10个基本事件，其中既有红球又有白球的基本事件有6个,∴既有红球又有白球的概率=，故选:D．5．在等差数列{an｝中，a1=﹣2011，其前n项的和为Sn．若﹣=2，则S2011=（）A．﹣2010 B．2010 C．2011 D．﹣2011【考点】等差数列的前n项和．【分析】Sn是等差数列的前n项和,可得数列是首项为a1的等差数列，利用通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn是等差数列的前n项和，∴数列是首项为a1的等差数列；由﹣=2，则该数列公差为1，∴=﹣2011+=﹣1，∴S2011=﹣2011．故选:D．6．设函数f(x）=,若f（x)是奇函数,则g(3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】函数f（x）=，f（x）是奇函数，可得f(﹣3）=﹣f（3）,代入即可得出．【解答】解：∵函数f(x）=，f（x）是奇函数,∴f（﹣3）=﹣f(3），∴log2(1+3)=﹣[g（3）+1］，则g（3）=﹣3．故选：C．7．如图所示程序框图,输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构第1次循环:S=0+1=1,i=2,a=1×2+1=3；第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13;第3次循环：S=4+13=17，i=4,a=13×4+17=69;第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431;第5次循环:S=86+431=517，i=6,a=431×6+517≥500；跳出循环，输出i=6．故选B．8．曲线y=2cos（x+)cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2,P3，…，则|P3P7|=（)A．π B．2π C．4π D．6π【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数的诱导公式化简曲线解析式，由此得到去下为周期函数，得到｜P3P7｜的距离．【解答】解：∵y=2cos（x+）cos(x﹣)=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y为周期函数，T=π，∵曲线y和直线y=在y轴右侧的每个周期的图象都有两个交点∴P3和P7相隔2个周期,故｜P3P7|=2π．故选：B9．如图,为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位:km）：AB=5,BC=8，CD=3，DA=5,且∠B与∠D互补，则AC的长为（)km．A．7 B．8 C．9 D．6【考点】解三角形的实际应用．【分析】分别在△ACD，ABC中使用余弦定理计算cosB,cosD,令cosB+cosD=0解出AC．【解答】解：在△ACD中,由余弦定理得:cosD==，在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∵B+D=180°，∴cosB+cosD=0，即+=0，解得AC=7．故选:A．10．设f(x）在定义域内可导，其图象如图所示,则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x)的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降,即有y轴左侧导数小于0,右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0,对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降,f（x）递减,即有导数小于0，可排除C,D;再由y轴的右侧,图象先下降再上升，最后下降,函数f（x）递减，再递增,后递减,即有导数先小于0，再大于0,最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．11．若函数f（x)=x3﹣（1+）x2+2bx在区间［﹣3,1］上不是单调函数，则函数f（x）在R上的极小值为（)A．2b﹣ B．b﹣ C．0 D．b2﹣b3【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到f（2）是函数的极小值即可．【解答】解：f′(x)=（x﹣b)(x﹣2)，∵函数f(x）在区间[﹣3，1］上不是单调函数,∴﹣3＜b＜1，由f′（x)＞0，解得：x＞2或x＜b,由f′（x）＜0,解得：b＜x＜2,∴f（x）极小值=f(2）=2b﹣，故选：A．12．已知函数f(x）满足f（x+1)=f(x﹣1),且f（x）是偶函数，当x∈[0，1］时，f（x）=2x﹣1，若在区间［﹣1,3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数g(x）=f（x)﹣kx﹣k有4个零点可化为函数f（x）与y=kx+k在[﹣1，3］内的图象有四个不同的交点,从而作图求得．【解答】解:∵f(x+1)=f（x﹣1），∴函数f（x）的周期为2，∴作函数f（x）与y=kx+k在[﹣1，3]内的图象如下,,直线y=kx+k过点（﹣1,0）;当过点（3，1）时,直线的斜率k==，故结合图象可知，0＜k≤；故选C．二．填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环）,若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差的定义得出乙的方差较小,求出乙的方差即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲、乙二人的平均成绩相同，即×(87+89+90+91+93）=(88+89+90+91+90+x），解得x=2，所以平均数为=90；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小)，且乙成绩的方差为s2=[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2．故答案为：2．14．若tanα=，则=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数关系式求出sinα和cosα，再由=，能求出结果．【解答】解：∵tanα=，∴sinα=，cos，或,cos，∴=﹣sin2α===．故答案为:．15．已知实数x,y满足:，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是［﹣,5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1)，此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5,可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由,得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．16．已知△ABC的重心为O,过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设,则4m+9n的最小值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义；向量在几何中的应用．【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到等式，利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD,CF∥AD，交PQ于点E,F，则BE∥AD∥CF，∵点D是BC的中点，△ABC的重心为O,可得AO=2OD．∴OD是梯形的中位线，∴BE+CF=2OD，，可得：，,∴﹣2===1．可得=34m+9n=（4m+9n）（)=(4+9+)≥（13+2)=．当且仅当2m=3n，=3时取等号．故答案为:．三。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．(Ⅰ）求b的值；（Ⅱ)求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ)利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ)∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣,sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．18．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;(Ⅱ）求f（x)在闭区间［﹣，］上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinxcosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．(Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x)=，由x∈［﹣，］得,2x∈[﹣，],则∈[，],∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x)取到最大值是:，所以，所求的最大值为,最小值为．19．某高校从2016年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2016年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段［90，100），[100，110）…[140，150)，后得到如图所示的频率分布直方图．(1）求图中实数a的值；（2）若该校2016年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数；(3）若用分层抽样的方法从数学成绩在［90,100）与[140,150］两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段［90,100）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数．（3)用分层抽样的方法从数学成绩在［90，100）与［140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在［90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在［140,150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140,150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段［90，100）内的概率．【解答】解:（1）由频率分布直方图得：（0.005+0。01×2+0。02+0。025+a）×10=1，解得a=0.03（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于1的人数为：（0.03+0。025+0.01）×10×960=624（人)．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在［90，100)与［140，150］两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，∵数学成绩在［90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0。05，数学成绩在[140，150］分数段内的学生频率为0。010×10=0。10,∴数学成绩在［90，100)分数段内的学生抽取2人,数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n=15,至少有1人在分数段[90,100)内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内,∴至少有1人在分数段[90,100)内的概率：P=．20．已知数列｛an｝满足a1=，an=（n≥2)．(1)求证：{﹣1}为等比数列，并求出｛an｝的通项公式；（2）若bn=，求{bn｝的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】(1）由已知得=,从而,n≥2，由此能证明｛﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，从而能求出{an｝的通项公式．（2）由bn==（2n﹣1）（2n﹣1+1)=（2n﹣1)•2n﹣1+2n﹣1，利用分组求和法和错位相减求和法能求出{bn}的前n项和Sn．【解答】证明：（1）∵数列｛an｝满足a1=，an=（n≥2），∴=，n≥2∴，n≥2,又，∴{﹣1｝为首项为1,公比为2的等比数列，∴，，∴．解:（2）∵bn===（2n﹣1）(2n﹣1+1）=(2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1，∴{bn}的前n项和:Sn=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2（1+2+3+…+n)﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2×﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1)•2n﹣1+n2,①2Sn=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1)•2n+2n2,②②﹣①，得Sn=﹣1﹣(22+23+…+2n）+（2n﹣1)•2n+n2=﹣1﹣+（2n﹣1）•2n+n2=（2n﹣3）•2n+3+n2．∴{bn}的前n项和Sn=（2n﹣3）•2n+3+n2．21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2)x+（2a+1）lnx(1)若曲线y=f（x)在点（2,f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈［，］,函数g（x)=f(x）﹣在区间[1，2]上为增函数,求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数,并分解因式，由题意可得f′（2）＜0，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0,可得减区间，注意定义域；（2）求出g（x）的导数，问题转化为x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈［1，2］恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，求出导数，求得单调区间和最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+(2a+1）lnx，（x＞0），f′（x)=x﹣（2a+2）+=，x＞0，由题意可得f′（2）=＜0，可得a＞,2a+1＞2＞1，由f′(x）＞0,可得x＞2a+1或0＜x＜1;f′(x）＜0，可得1＜x＜2a+1．即有f（x）的增区间为(0,1)，（2a+1,+∞）;减区间为（1，2a+1）；（2）∵函数g（x）=f（x)﹣在区间［1，2］上为增函数，∴g′（x）≥0对任意的a∈［,]，x∈[1，2]恒成立,即x﹣（2a+2）++≥0，即为x3﹣（2a+2）x2+(2a+1）x+λ≥0，则（2x﹣2x2)a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[,］，由x∈［1，2］,可得2x﹣2x2≤0，只需（2x﹣2x2）+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈［1,2］恒成立,令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′(x）=3x2﹣1