三角函数间的关系

初中总复习二一．二次函数的应用1.用二次函数解决实际问题。建模：把问题中各个量用两个变量来表示，并建立两种量的二次函数关系，在求二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题。注意:实际问题中，自变量的取值往往受到制约，不要忽略自变量的取值，要在允许取值的范围内。2。建立平面直角坐标系，用二次函数图像解决实际问题。注意：建立平面坐标系时，遵循“就简避繁”的原则，这样求解析式就比较方便。二：相似形1：相似形定义：具有相同性状的图形称为相似图形。2.。比例线段定义：在四条线段a、b、c、d中，如果________的比等于另外_________的比,即=(或a:b=c:d),那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。注意：（1）、线段a、b、c、d成比例是有序的，表示=(或a:b=c:d);（2）、要统一四条线段的长度单位才能求他们的比。.黄金分割：在线段AB上，，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），如果________,那么线段AB被点C黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的黄金分割点，ＡＣ与ＡＢ的比叫做黄金分割比，即＝________.注意：一条线段的黄金分割点有______个。3、比例的基本性质性质：基本性质：如果a:b=c:d(或=），那么ad=______;特别地，如果a:b=b:c(或=），那么b=_______.4、相似多边形定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应边角相等的两个多边形不一定相似，如矩形。B相似比：相似多边形对应边的比叫做__________.注意：相思比为1的两个多边形全等。ac性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。（2）相似多边形周长的比等于__________.(3)相似多边形面积的比等于__________。CbA5、相似三角形定义：对应角________，对应边_______的三角形叫做相似三角形。判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交。所够成的________与原三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应的比__________，那么这两个三角形相似。(3)如果两个三角形的二组对应的比__________，并且相应的夹角______.那么这两个三角形相似。(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应________,那么这两个三角形相似。(5)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边的比_________.那么这两个三角形相似。注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形彼此相似。性质：（1）相似三角形的对应角__________,对应边_______.(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_________.(3)相似三角形周长的比等于____________.(4)相似三角形面积的比等于____________.注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时，要注意对应关系。相似性的应用1、相似性应用中的相关概念。视点与视角：观察者眼睛的位置叫做视点，从视点出发经过观察点的射线叫做视线，两条视线的夹角叫做视角。盲区：观察者看不到的地方叫做盲区。2、相似三角形的应用应用：（1）几何图形的证明与计算，主要包括线段的数量关系、求线段的长度、图形的面积大小等等，解决这类问题首先根据题中条件，寻找出相似的三角形，再利用相似三角形的性质来解答。（2）生活中与相似三角形有关的实际问题，如A利用投影、平行线、标杆等构造相似形求解问题：B测量底部可以到达的物体的高度;C测量底部不可以到达的物体的高度；D测量不可以到达对岸的河宽等。锐角三角函数1、锐角三角函数的概念定义：如图所示，在RtABC中(1)锐角A的____________的比叫做A的正弦，记作sinA,即sinA==;(2)锐角A的____________的比叫做A的余弦，记作cosA,即cosA==;(3)锐角A的____________的比叫做A的正切，记作tanA,即tanA==;(4)锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的____________.注意：（1）、、三个比值的大小与RtABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的三个三角函数值也是固定的，且不可能取负值；（2）sinA是一个整体，它是三角函数的记写符号，而不是sin与A的乘积，cosA,tanA也都是一样。特殊角的三角函数函数值：方法：、、、、、、的角的正弦值是；分母为2，分子分别为，，，，，即0，，，，1，它们的余弦值的特点是；分母为2，分子分别为，，，，，即1，，，，0；只要用一个角的正弦值除以余弦值，便可得出它的正切值，取某角正切值的倒数，便可得出这个角的余切值；三角函数值的变化规律；（1）当A为锐角时，0sinA1，0cosA1，tanA0；(2)一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦随着角度的增大而减小；（3）对于特殊角的三角函数值可以通过查表或利用计算器求得；反之，已知锐角的某种三角函数值，也可以通过查表或利用计算器求出此锐角的大小A读数三角函数值SinA0cosA1tanA013、三角函数间的关系互余关系:sinA=cosA(--A)cosA=sin(--A);同角关系：（1）+=1（2）tanA=规律：（1）互余关系主要作用就是改变锐角三角形的名称，把不同名的三角函数化为同名的三角函数；（2）同角关系主要作用就是已知锐角的某个三角函数值去求其他三个三角函数值，同时常用来证明某种关系。解直角三角形的应用1、解直角三角形的概念定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由这些元素中的两个已知元素（直角除外且其中至少有一条是边），求出其余未知元素的过程叫做____________.2、直角三角形的解法A依据：如图（1）三边关系：___________;(2)两锐角关系_________.Bc(3)边与角关系：sinA=cosB=_________,cosA=sinB=__________.tanA=_______=____________.CaB一般方法：（1）已知斜边和一直角边（如斜边c,直角边a)解法一般是：由sinA=求A，进而求B=-A，b=;(2)已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角A)其解法一般是：B=-A,a=csinA,b=CcosA;(3)已知两直角边（如直角边a，锐角A），其解法一般是：B=-A，b=,c=;(4)已知两直角边（如直角边a和b），其解法一般是：由tanA=求A，进而B=-A，C=.注意：（1）当已知条件或是待求量中有斜边时，就用正弦或余弦求解；无斜边时，应用正切；当所求元素中即可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；当原始数据和中间数据均可选择时，尽量使用原始数据。（2）当已知直角三角形中线、高、角平分线、周长、面积等时，一般将这些元素化为三角形中的元素或元素间的关系式，再通过解直角三角形的基本方法进行求解。铅垂涎3、解直角三角形的应用视线铅垂涎应用：（1)仰角与俯角：在进行观察时，仰角从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角，俯角水平线从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。视线（2)坡度与坡角：坡角时破面与坡度i==tan平面所成的角；坡度是斜坡上两点______与__________之比。常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，破面越陡。---------------坡角-----------L(3)方位角：方位角是指北或指南方向线与目标方向线所组的小于的水平角。北偏西北北偏东注意：（1）应用解直角三角形知识解决实际问题，关键在于将实际问题转化为西东直角三角形这一数学问题。