辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学文摸底试卷含解析

辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．2.已知向量a与b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝1，则向量a与a＋2b的夹角等于（A）30°

（B）60°

（C）90°

（D）150°

参考答案：A略3.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略4.设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；

④若其中，真命题的序号是(

)A．①③

B．①④

C.②③

D．②④参考答案：B略5.函数的定义域为（

）A.(,1)

B(,∞)

C（1，+∞）

D.(,1)∪（1，+∞）参考答案：A略6.如图所示,为所在平面上一点，且在线段的垂直平分线上，若()A．5 B．3 C． D．参考答案：C略7.已知全集U=R，集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由补集的运算求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合，则，根据集合的并集运算，可得，故选B．【点睛】本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8..已知全集U=R，若集合，则（

）．A.或 B.或C. D.参考答案：A分析：先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义得结果.详解：∵集合，∴或，故选．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．9.若是任意实数，且,则下列不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D用特殊值法，可以排除A，B，C，由函数的性质可知，D正确。10.设，双曲线与圆相切，（，），B（，），若圆N上存在一点P满足，则点P到x轴的距离为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去，可得的一元二次方程，由判别式为0，求出的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。【详解】联立与，消去得，又易知点分别为双曲线的左、右焦点，又，故由双曲线的定义可知在双曲线上，且为右切点，由韦达定理得点到轴的距离为，故选D。【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学生的数学运算能力。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点的直线与曲线：

相交于两点,若点是弦的中点，则直线的方程为______________________.参考答案：12.等比数列的公比为，前项的积为，并且满足，给出下列结论①；②；③是中最大的；④使得成立的最大的自然数是4018.

其中正确结论的序号为

（将你认为正确的全部填上）.参考答案：①②④略13.如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则BC=．参考答案：3考点： 余弦定理的应用．专题： 综合题；解三角形．分析： 先求出cos∠ABC=，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得；由∠ADB与∠CDB互补，可得3b2﹣a2=﹣6，即可得出结论．解答： 解：∵sin=，∴cos∠ABC=，在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得①，∵∠ADB与∠CDB互补，∴cos∠ADB=﹣cos∠CDB，∴，∴3b2﹣a2=﹣6②解①②得a=3，b=1，∴BC=3．故答案为：3．点评： 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14.我国古代数学家赵爽利用“勾股圈方图”巧妙的证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．他是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为θ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则=．参考答案：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】根据四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，从而解得x，y的值，sinθ=【解答】解：由题意，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，解得x=3，y=4，则sinθ==，∵锐角记为θ，那么：令=M＞0．则1+sinθ=M2，∴M2=，∴M=，即=故答案为：．【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，半角公式的灵活运用，是中档题．15.已知数列{an}满足.记，则数列{Cn}的前n项和=

．参考答案：n·2n由得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，记，则

（1），式子两边都乘以2得

（2），两式相减得：所以，故答案为.

16.设向量，，且，则x=________.参考答案：1【分析】直接利用向量平行的坐标表示求解.【详解】由题得2x-(x+1)=0,所以x=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

17.某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一950人，髙二1000人，高三1050人.现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），求出切线斜率，即可求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴f′（x）=，∴f′（0）=0，f（0）=1∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（Ⅱ）证明：当x＜1时，由于＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于（1﹣x）ex﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）ex﹣，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）ex﹣＜0．∴?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线方程、函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．19.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．可得四边形ABOD是平行四边形，由于AD⊥DC，可得四边形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M为EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．【解答】（I）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四边形ABOD是平行四边形，∵AD⊥DC，∴四边形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足=﹣﹣…+（﹣1）n+1，求数列{bn}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合．【分析】（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an﹣1．即可得出．（2）==﹣﹣…+（﹣1）n+1，n≥2时，=﹣﹣…+，相减可得：bn=（﹣1）n．当n=1时，=，解得b1=．（3）cn=2n+λbn，n≥3时，cn=2n+λ，cn﹣cn﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n?λ＞﹣．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．【解答】解：（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1．∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为2．∴an=2n．（2）∵==﹣﹣…+（﹣1）n+1，∴=﹣﹣…+，∴=（﹣1）n+1，∴bn=（﹣1）n．当n=1时，=，解得b1=．∴bn=．（3）cn=2n+