第三讲印度与阿拉伯的数学

第三讲印度与阿拉伯的数学1第1页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学印度全称“印度共和国”。它位于亚洲南部，是亚洲大陆突出于印度洋的次大陆，形状像一个倒三角形，国土面积328.7万平方公里，居世界第七。它和古埃及、巴比伦、中国被称为世界四大文明古国。第2页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学公元前2000年前后创造了印度河文明。约在公元前14世纪，原居住在中亚的雅利安人中的一支进入南亚次大陆，并征服了当地土著。约公元前1000年，开始形成以人种和社会不同分工为基础的种姓制度。公元前4世纪崛起的孔雀王朝开始统一印度次大陆，前3世纪阿育王统治时期疆域广阔，政权强大，佛教兴盛并开始向外传播。中世纪小国林立，印度教兴起。自11世纪起，来自西北方向的穆斯林民族不断入侵并长期统治印度。1526年建立莫卧儿帝国，成为当时世界强国之一。1600年英国侵入，建立东印度公司。1947年6月，英将印度分为印度和巴基斯坦两个自治领。同年8月15日，印巴分治，印度独立。1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。第3页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学第4页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶，操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。此后，由于多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。第5页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学印度数学的发展可以划分为3个重要时期：Ⅰ雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（约公元前3000－前1400），史称河谷文化；Ⅱ吠陀时期（约公元前10世纪－前3世纪）；Ⅲ悉檀多时期（5世纪－12世纪）。由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期的印度数学的实际情况了解很少。第6页，课件共43页，创作于2023年2月在那些世界性的事务中，如在吠陀教等宗教事务中总要用到计算。在有关情感、财富分配、音乐话剧、烹饪艺术、医疗、建筑、韵律学、诗歌、逻辑学、语法学等学科中，计算的科学都受到高度重视。在涉及太阳和其它天体的运行、日月食和星星连珠等问题时数学也是十分有用的。有关计数，海岛、海洋、山脉的径周，大范围居民区的规划，和居民居所的设计等需要用到计算。第7页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学

古代《绳法经》婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。《绳法经》是关于祭台建筑的宗教法规，其中包含许多几何知识。第8页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学

“巴克沙利手稿”与零号1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码，其中用“点”表示0；表示零的点号后来逐渐演变为圆圈，即现在通用的0号，这一过程至迟于公元9世纪已完成。第9页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学

“巴克沙利手稿”与零号用圆圈符号“0”表示零，是印度数学的一大发明。特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个独立的数。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。零号的传播则要晚。印度数码和十进制位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色。零号的发明是对世界文明的杰出贡献。

第10页，课件共43页，创作于2023年2月表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚些又在意大利和欧洲出现。第11页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学

“悉檀多”时期的印度数学悉檀多时期是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗等。第12页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

阿耶波多阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，公元476年生于恒河南岸的拘苏摩补罗，卒年不详；23岁完成《阿耶波多历数书》。该书包括了《天文表集》、《算术》、《时间度量》与《球》等篇，最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。第13页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

阿耶波多在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕有弧度制的观念。阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法”（梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方程研究之先河。第14页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

阿耶波多32～33、余数粉碎法（库塔卡）对应于较大余数的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小，而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的数。……第15页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

阿耶波多第16页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆罗摩笈多婆罗摩笈多著有《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数学内容。《婆罗摩修正体系》全书24章，专论数学的有两章（第12章，“算术”；第18章，“代数”）。第17页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆罗摩笈多《婆罗摩修正体系》中比较完整地叙述了零的运算法则；同时，婆罗摩笈多是最早认识负数概念的数学家之一，并在历史上第一次提出负数的乘除法则。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出了佩尔方程的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。第18页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆罗摩笈多第19页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

马哈维亚马哈维亚的《计算方法纲要》可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：算术术语、算术运算、分数运算、各种计算问题、比例问题、混合问题、面积计算、土方工程计算、测影计算，基本是对以往数学内容的总结和推广。。因其有很多问题和方法与中国《九章算术》相同或相近，从而有人认为他受到过《九章算术》或中国其它算书的影响。第20页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆什迦罗婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家。生于公元1114年印度南部的比杜尔，长期在印度文化中心乌贾因工作，曾任乌贾因天文台主持人。他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》。第21页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆什迦罗婆什迦罗《莉拉沃蒂》全书13章，全面发展了自阿耶波多以来印度数学的各项成就。本书对传统的印度三角学与不定分析作出了前人未及的推进，其中还记载了婆什迦罗在排列组合方面的先驱性结果。第6章148平地上一枝竹，高32尺。在某处被风吹折，竹梢触地离根16尺。数学家，你说：竹离根何处折断？《九章算术·商股》第13题今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问：折者高几何？第22页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆什迦罗第23页，课件共43页，创作于2023年2月“悉檀多”时期的印度数学

婆什迦罗《算法本源》是一本代数书，其中包括有零的运算法则的完整论述，特别是对零作除数的问题给出了有意义的解释，认为分母为零的分数“表示一个无穷大量”；比较全面地讨论了负数，正确地叙述了负数的运算法则。对于一次和二次方程也讨论得较为详尽；他承认二次方程有两个根，但将负根弃去了。对于无理数，他与其他一些印度数学家一样，不仅广泛地应用，而且在运算中将无理数和有理数同样对待。第24页，课件共43页，创作于2023年2月印度数学由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。第25页，课件共43页，创作于2023年2月⑴正弦表的构造印度最早的三角学著作是成书于公元前5世纪的《毗坛摩诃悉昙多》，它也是世界上最早的天文学著作，其中与数学相关的内容流传了几个世纪。为了利用球面三角学知识解决天文问题，给出了一张“半弦表”。

第26页，课件共43页，创作于2023年2月⑵组合学虽然印度给出的组合规则没有证明，但它们是世界上组合规则的最早记录，比如苏斯塔鲁的医学论文（约写于公元前6世纪）中给出了从六种不同的味——苦、酸、咸、甜和辣中分别取1、2、3、4、5、6种的组合方法有63种。第27页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

阿拉伯概述阿拉伯世界幅员广大，国家众多，它共有23个国家和地区，其人口以信奉伊斯兰教的阿拉伯民族为主。因此，被称为“阿拉伯世界”。阿拉伯世界具有悠久的历史和灿烂的文化。第28页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

阿拉伯概述阿拉伯科学家比鲁尼论证了地球自转的理论，以及地球是绕太阳运转，并精确测定了地球的经纬度。白塔尼纠正了托勒密的许多错误，编制了萨比天文历表，后来哥白尼天体运行论多处引用其中的数据。在天文学方面，阿拉伯人创建了一系列天文台，制造了大量精密的天文仪器，他们测定了地球的圆周长48001公里，已经相当准确，他们制定的太阳历，每5000年才误差一天。第29页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

阿拉伯概述在7世纪的前半叶，出现了一个新的阿拉伯文明。在先知穆罕默德的感召下，一种新的神教宗教伊斯兰教发展起来，并很快得到了阿拉伯半岛上居民的忠诚和拥戴。故也有称这一时期的数学为“伊斯兰数学”。第30页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

阿拉伯概述“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8－15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面做出了巨大贡献。阿拔斯王朝在巴格达那里设立了“智慧宫”，吸引了大批学者，他们掀起了著名的翻译运动。

第31页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

主要成果代数方面①花拉子米《代数学》，代数方程求解问题；《印度计算法》（又译《依照印度人方法做加法和减法的书》），系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法，以一个圆圈代表了0，欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码，该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，现代术语“算法”即源于此。第32页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

主要成果代数方面《代数学》约1140年被英国彻斯特地方的罗伯特译成拉丁文，作为一种标准的数学课本在欧洲行用了数百年，引导了16世纪意大利数学家在三、四次方程求解方面的突破。第33页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

主要成果代数方面②奥马·海亚姆生于波斯，卒于同地。曾长期担任天文台台长，并负责改革历法。著有《还原与对消问题的论证》。1100年左右，奥马将代数定义为“解方程的科学”，进一步推进了代数方程理论，特别是借助于圆锥曲线的三次方程几何解法。第34页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

主要成果第35页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

主要成果三角学方面一方面由于天文学发展的需要，穆斯林数学家们致力于精密三角函数表的绘制。对希腊三角学加以系统化的工作是由9实际天文学家阿尔·巴塔尼做出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。其《天文论著》被译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。另一方面，球面三角形的发展。三角学不再仅仅是天文学的附属。纳西尔·丁《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著，对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用。第36页，课件共43页，创作于2023年2月阿拉伯数学

主要成果几何学方面几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。在评注《几何原本》的过程中，对第五公设引起了注意。对非欧几何的诞生产生了一定的影响。（无理量概念，确定立体体积的穷竭原理）第37页，课件共43页，创作于2023年2月⑴欧几里德的平行公设伊本·海塞姆在他的《对欧几里德原本中前提的评注》中，试图重新制定欧几里德的平行理论。他首先重新定义了平行线的概念。“如果一条直线使其一端总在第二条直线上并使它垂直于第二条直线易懂，则这条动直线的另一端就作出一条平行于第二条直线的直线。”第38页，课件共43页，创作于2023年2月奥玛·海亚姆也对平行性问题感兴趣。在他的《关于欧几里德书中有疑问的公设的评注》中，他以如下原理作为出发点，即两条收敛的直线相交，而它们在