2021-2022学年新教材人教B版必修第一册一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案

2．1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系内容标准学科素养1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集．2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用．逻辑推理数学抽象3.理解一元二次方程根与系数的关系.授课提示：对应学生用书第21页[教材提炼]知识点一一元二次方程的有关概念形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项项系数和一次项系数．知识点二一元二次方程的解法直接开平方形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程．法把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形配方法式，再用直接开平方法求解.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝公式法－b±b2－4ac求解．2a一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即(x＋m)(x因式分解法＋n)＝0(a≠0)的形式，可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n.知识点三一元二次方程根与系数的关系bc一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x，x，则x＋x＝－a，xx＝.a121212[自主检测]1．已知一元二次方程x＋k－3＝0有一个根为1，则k的值为()2A．－2C．－4B．2D．4解析：把x＝1代入方程得1＋k－3＝0，解得k＝2.故选B.答案：B2．关于x的一元二次方程x－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是()2A．有两不相等实数根C．无实数根B．有两相等实数根D．不能确定解析：Δ＝(k＋3)2－4×k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8，∵(k＋1)2≥0，∴(k＋1)2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A.答案：A3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．答案：k≤5且k≠1授课提示：对应学生用书第21页探究一配方法求方程的解集[例1]利用配方2x－4x－30＝0.]∵2x2－4x－30＝0，法解方程2[解析∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16，∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3.故方程的解集为{－3,5}.用配方法解一元二次方程的步骤(1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数；(2)移项：把常数项移到方程的右边；(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式；(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程；(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．34一元二次方程y－y－＝0配方后可化为()211y22A.＋＝y21B.－＝1213y13yC.＋＝2D.－＝224243434141y－22解析：2由y－y－＝0，得y2－y＝，所以y2－y＋＝1，即＝1，故选B.答案：B探究二一元二次方程根的判别式及其应用[例2]关于x的一元二次方程x－(k＋3)x＋2k＋2＝0.2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．](1)证明：依题意，得Δ＝[－(k＋3)]2－4(2k＋2)[解析＝(k－1)2，∵(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)由求根公式，得x＝－[－k＋3]±k－1，2∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一个根小于1，∴k＋1＜1.∴k＜0.即k的取值范围是k＜0.根的判别式的三个应用(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况．(2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或范围)．(3)证明一个一元二次方程根的情况．若一元二次方程x－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是()2A．m≥1C．m＞1B．m≤1D．m＜1解析：∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，∴Δ＝(－2)2－4m＞0，解得：m＜1.故选D.答案：D探究三一元二次方程根与系数的关系[例3]已知关于x的一元二次方程x＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x，x.212(1)求k的取值范围；11(2)若＋＝－1，求k的值．xx12[解析](1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，34∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－.(2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，∴x1＋x2＝－2k－3，xx12＝k2，11x＋x＝－2k＋3＝－1，∴＋＝xx12xxk212123解得k1＝3，k2＝－1，又∵k＞－，∴k＝3.41．利用根与系数的关系的两个前提条件(1)二次项的系数a≠0.(2)方程有实数根．2．根与系数关系的三个应用(1)已知方程的一根求另一根及未知的一个系数．11(2)求某些固定代数式的值．(如求x＋x，＋…)2221xx12(3)与