2022-2023学年广东省汕头市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省汕头市高一下学期期末数学试题一、单选题1．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察出图中阴影部分表示的集合为，结合交集的定义即可求解.【详解】由得，图中阴影部分表示的集合是，故.故选：A2．设复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解.【详解】因为，所以．故选：A．3．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】B【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设乙独立解出该题的概率为，由题意可得，∴．故选：B.4．如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的运算，利用基底向量表示即可.【详解】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，所以.即.故选：C.5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据图像判断函数是一个偶函数，再根据图像趋势知道区间一开始是单调递减的，由此判断选项中哪个符合即可.【详解】由图可知，该函数是一个偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，是偶函数，根据，可知BD错误；在区间先是单调递减的，在区间是单调递减的，因此符合图形先单调递减.故选:C6．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设易知，利用诱导公式、倍角余弦公式有，即可求值.【详解】由题设，由.故选：A7．已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】举反例判断充分性，再证明必要性得解.【详解】若∥，，如果，则“”不一定成立.如图所示，所以“，”是“”非充分条件.如果“”，又，所以，因为，所以，所以“，”是“”的必要条件.所以“，”是“”的必要非充分条件.故选：B8．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.【详解】解：对任意的，都有，在上是增函数，令，则，为偶函数，在上是减函数，且，，当时，，即，解得：，当时，，即，解得：，综上所述：的解集为：.故选：A.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势．如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比．就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是（

）A．12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%B．12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0C．图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大D．共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值【答案】AC【分析】根据题意结合相关概念逐项分析判断.【详解】由折线图可得增速百分比（%）由小到大依次为：，对于A：12个月的月度同比增速百分比的中位数为，故A正确；对于B：因为，所以12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B错误；对于C：由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，所以前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C正确；对于D：因为，可知大于的有，共有6个，所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D错误；故选：AC.10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（

）

A．的图像关于点对称B．的图像关于直线对称C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】BCD【分析】根据图中的信息求出，再根据正弦函数的性质逐项分析.【详解】由图可知：，的周期，当时，，，；对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，将向右平移：，正确；对于D，的大致图像如下：

欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；故选：BCD.11．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（

）A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为【答案】AB【分析】对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于C，圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解.【详解】对于A，设圆锥的母线长为，以S为圆心，为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积为，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则，所以圆锥的母线长为，故A正确；对于B，圆锥的表面积，故B正确；对于C，圆锥的底面圆周长为，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为，则，解得，即，故C错误；对于D，圆锥的高，所以圆锥的体积为,故D错误.故选：AB.12．已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为，即，解得或，所以或，故A错误；对于选项B：，因为a＞b＞0，则，即，且，所以，即，故B正确；对于选项C：因为a＞b＞0，且，可得同号，则有：若同正，可得，则，可得；若同负，可得，则，可得；综上所述：，又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；对于选项D：因为a＞b＞0，则，可得在内单调递增，可得，且，所以，故D正确；故选：BCD.三、填空题13．若，且，则的取值范围为.【答案】【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.【详解】由于，所以，解得，故答案为：14．已知向量，则下列说法正确的是.（1）（2）（3）向量在向量上投影向量的模长是（4）与向量方向相同的单位向量是【答案】（1）（4）【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，向量的投影向量的计算，单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，向量，由，则，所以，故（1）正确；由，可得，故（2）错误；由向量在向量方向上的投影向量为，故其模长为，故（3）错误；由，所以与向量方向相同的单位向量是，故（4）正确；故答案为：（1）（4）.15．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为．【答案】【分析】令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，由该二十四等边体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，可得，解得，再根据正方体的体对角线就是外接球的直径可以求得，从而可求表面积.【详解】令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，因为该二十四等边体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，所以.解得，即，因为正方体的体对角线就是外接球的直径，所以，即，所以则原正方体的外接球的表面积为.故答案为：16．已知，则的取值范围是.【答案】【分析】根据与的关系，换元得二次函数，根据正弦函数的性质可得，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，则，由于，故，故，则，，整理得；，，由于在单调递增，故，故.故答案为：四、解答题17．已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?【答案】(1)，(2)宣传费用为万元时，利润最大为万元．【分析】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式；（2）利用基本不等式求最值.【详解】（1），；（2），，，当即宣传费用为万元时，利润最大为万元．18．记的内角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)点在线段上，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理、三角函数的和差角公式将条件变形可得答案；（2）由可得，然后由余弦定理可解出，即可得答案；

或利用正弦定理结合结合条件求，然后再利用余弦定理及三角形面积公式即得.【详解】（1）由正弦定理得：．所以所以．所以，因为，所以；（2）法1；因为，即，又，所以，即．在中，由余弦定理得，，所以，所以，所以.法2：设，在中，由正弦定理得：，同理，在中，，所以，所以，所以，又，所以，即.在中，由余弦定理得，得，所以.所以.19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20．如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，连接，∵且，∴四边形为平行四边形，∵，，∴平行四边形为正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，作于，连接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以为直线与平面所成角，在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，在直角中，，，∴，则直线与平面所成角的正切值为.21．已知函数的图象经过点.(1)若的最小正周期为，求的解析式；(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点