分数槽永磁同步电机气隙磁场的解析解

分数槽永磁同步电机气隙磁场的解析解

0永磁同步电机负载谐波分布的数值研究低阶力波是由定波和旋转轴声波相互作用产生的，或者频率与定州固定频率相似的力波，是引起电机声波振动和噪声的主要原因。确定定、转子磁密谐波次数及幅值,是计算电磁噪声及确定噪声源的关键。分数槽永磁同步电机中,定子侧产生磁密的基波及谐波计算公式与普通电机的公式相同,而永磁体产生磁密的谐波分布相对复杂。运用有限元的方法可以计算出永磁体产生的磁密分布,并通过谐波分析获得谐波分布,但不能明确各量之间及其与谐波次数与幅值间的解析关系,不便于噪声抑制。针对永磁同步电机空载气隙磁场解析表达式的研究几近成熟[5,6,7,8,9,10,11,12],并且在考虑定子开槽的影响时,一致认为磁场的谐波次数为|np±iNs|,p为电机极对数,Ns为定子槽数,n=1,3,5…,i=1,2,3,…。本文将采取简化的手段证明多极少槽永磁同步电机,其空载谐波磁场的分布次数在单元电机定子槽数为奇数及偶数时不同。采取的方法是首先分析定子不开槽情况永磁体磁密方波的谐波分布,然后分析定子开槽对气隙磁密的影响。通过该表达式能更清楚地分析出谐波产生的原因,及各参量与谐波分布的关系,有利于噪声的分析与抑制。1分析永磁体磁密分布的公式1.1转子表面电角度及直径的确定本文采用的模型及推导的公式适用于径向充磁的径向结构永磁同步电机磁场分布、及轴向充磁盘式永磁同步电机中的单边结构、外转子结构,及内转子NS磁路结构电机某一半径处的磁场分布。以单元电机为研究对象,p1表示其极对数,Z1为定子槽数,本文分别讨论Z1为奇数及偶数情况。分析时,在定、转子的某一相对位置处,将电机沿转子表面展开,相对位置及坐标原点的确定以计算方便为准则。设定子不开槽时,电机为均匀气隙,定子开槽后,总气隙长度变成随位置变换的周期函数,δ、δ1(x)分别为定子不开槽及开槽时总气隙长度随位置的变化。在某一时刻,定子开槽情况永磁体产生磁密的表达式可以表示为:B0(x)=Brδ(x)δ/δ1(x)(1)式中,Brδ(x)为定子不开槽时,永磁体产生的方波磁密表达式。首先忽略漏磁及饱和,在导出表达式后,分别以漏磁系数δ0和饱和系数ks来表示漏磁和磁路饱和的影响。设转子表面光滑,定子开槽,b0、h0、t1、bt、、δ分别代表槽口宽、槽深、齿距、齿顶宽、极距及总气隙长度(永磁体磁化方向长度hm与气隙长度δ0之和)。定义单元电机电角度为2π,t11、bt1、1及b01分别为t1、bt、及b0的电角度值,如式(2)所示。Dc为单元电机气隙平均直径。首先推导p1为偶数情况。定子不开槽时,永磁体产生气隙磁密方波分布及坐标选取如图1所示。此时可得Brδ(x)的表达式如(3)所示。Brδ(x)={Bδ2k1+1-αi21≤x≤2k1+1+αi21-Bδ2k1+3-αi21≤x≤2k1+3+αi21(x∈[0,π],k=0,1,⋯,p12-1)(3)式中,αi为计算极弧因数;Bδ为永磁体产生方波磁密的幅值(T),Bδ=Brhm/(hm+δ0);Br为永磁体剩磁(T)。将Brδ(x)进行傅里叶变换,得气隙磁密表达式如式(4)所示。Brδ(x)=∞∑n=1bnsinnx=∞∑k1=04Bδ(-1)k1π(2k1+1)sin(αi(2k1+1)π2)sin((2k1+1)p1x)(x∈[-π,π])(4)经推导,p1为奇数时气隙磁密表达式与p1为偶数时相同。1.2inkb0cdsin模型(1)Z1为偶数假设定子槽形为开口槽。开槽后气隙长度分布及坐标选取如图2所示。δ1(x)是周期为2π的偶函数,其分布函数如式(5)所示。将δ1(x)的倒数进行分解并带入式(1),并写成B0(x)=B1(x)+B2(x)的形式,并考虑漏磁及磁路饱和的影响后,B1(x)、B2(x)的表达式如式(6)所示。δ1(x)={δx∈[kt11,kt11+bt12]δ+h0x∈[kt11+bt12,kt11+bt12+b01]δx∈[kt11+bt12+b01,kt11+t11](x∈[0,π],k=0,1,⋯,(Ζ12-1))(5){B1(x)=4Brπksσ0hmδ(1+Ζ1πb0Dc(11+h0/δ-1))∞∑k1=0(-1)k1(2k1+1)sin((2k1+1)αiπ2)sin((2k1+1)p1x)B2(x)=∞∑k1=0∞∑k2=1(-1)k1+k24Br(2k1+1)k2π2ksσ0hmδ(11+h0/δ-1)sin(k2Ζ1b0Dc)sin((2k1+1)αiπ2)→→sin([(2k1+1)p1±k2Ζ1]x)(6)式中,B1(x)等效成永磁体产生磁动势作用于气隙平均磁导引起的气隙磁密;B2(x)等效成永磁体产生磁动势作用于定子齿谐波磁导引起的气隙磁密。(2)Z1为奇数与Z1为偶数时推导过程相似,Z1为奇数时,B1(x)及B2(x)的表达式如式(7)所示。{B1(x)=4Brπksσ0hmδ(1+1Ζ1+b0πDc[3+(11+h0/δ-1)Ζ1])∞∑k1=0(-1)k1(2k1+1)sin((2k1+1)αiπ2)sin((2k1+1)p1x)B2(x)=∞∑k1=0∞∑n=1(-1)k12Br(2k1+1)nπ2ksσ0hmδsin((2k1+1)αiπ2){[(4-41+h0/δ)sin(nπΖ1-nb0Dc)+41+h0/δsin(nπΖ1)]→→2∑k=0cos(2knπΖ1+nπΖ1)-12sin(nπΖ1-nb0Dc)+(-1)n+12(1+h0/δ)(sin(nπΖ1-nb0Dc)-sin(nπΖ1))}→→sin([(2k1+1)p1±n]x)(7)将式(7)中B2(x)进一步化简,可得n为Z1的奇数倍时B2(x)=∞∑k1=0∞∑k2=0(-1)k12Br(2k1+1)(2k2+1)Ζ1π2ksσ0hmδsin((2k1+1)αiπ2)(2Ζ1-32)(11+h0/δ-1)→→sin((2k2+1)Ζ1b0Dc)sin([(2k1+1)p1±(2k2+1)Ζ1]x)(8a)n为Z1的偶数倍时B2(x)=∞∑k1=0∞∑k2=1(-1)k12Br(2k1+1)k2Ζ1π2ksσ0hmδsin((2k1+1)αiπ2)((2Ζ1-12)(11+h0/δ-1)+2)→→sin(2k2Ζ1b0Dc)sin([(2k1+1)p1±(2k2+1)Ζ1]x)(8b)n为不能被Z1整除的奇数时B2(x)=∞∑k1=0∞∑k2=0(-1)k13Br(2k1+1)(2k2+1)π2ksσ0hmδsin((2k1+1)αiπ2)[11+h0/δsin((2k2+1)πΖ1)-(11+h0/δ0-1)sin((2k2+1)πΖ1-nb0Dc)]sin([(2k1+1)p1±(2k2+1)]x)(2k2+1≠(2k3+1)Ζ1k3=0,1,2⋯)(8c)n为不能被Z1整除的偶数时B2(x)=∞∑k1=0∞∑k2=1(-1)k1Br2(2k1+1)k2π2ksσ0hmδsin((2k1+1)αiπ2)[(-5+31+h0/δ)sin(2k2πΖ1-nb0Dc)-31+h0/δsin(2k2πΖ1)]sin([(2k1+1)p1±2k2]x)(k2≠k3Ζ1k3=0,1,2,3⋯)(8d)以上的推导过程是在定、转子的某个相对位置处;实际的电机转子以角速度旋转,因此考虑转子旋转时,只需将(2k1+1)ωt加入B1(x)及B2(x)中表达式的正弦项。2永磁体谐波次数(1)Z1为奇数时,次数为(2k1+1)p1、频率为(2k1+1)f1的磁动势作用于气隙磁导,将产生以(2k1+1)p1次谐波为对称中心均匀分布的一组磁密谐波分量,该组谐波分量的频率均为(2k1+1)f1。谐波次数及分布如表1所示,从表中看出,谐波的次数将遍布整个实轴。(2)Z1为偶数时,永磁体产生的谐波次数与频率不是一一对应的。设永磁体产生的两种谐波次数分别为:μ1=(2k1+1)p1±k2Z1,μ2=(2k3+1)p1±k4Z1,ki(i=1,…,4)取值为0及所有正整数。令μ1=μ2,可得(k1-k3)/(±k4∓k2)=Z1/(2p1)(9)即,当ki(i=1,…,4)的取值满足式(9)时,谐波次数μ1与μ2相等,而频率分别为(2k1+1)f1及(2k3+1)f1。以22极24槽电机为例,Z1/(2p1)=12/11,所以满足(k1-k3)/(±k4∓k2)=12/11的两种谐波,其次数相同,而频率不同。(3)永磁体产生气隙磁密的谐波次数及幅值有正有负。谐波的幅值为正,表示波形形状与基波形状相同,为负,表示相反;谐波的次数为正,表示波形的旋转方向与基波旋转方向相同,为负,表示相反。(4)谐波次数由极对数p1及定子槽数Z1决定;谐波幅值由永磁体剩磁Br、永磁体磁化方向长度与总气隙长度的比值hm/δ、定子槽口宽与平均直径的比值b0/δ、定子槽深与总气隙长度的比值h0/δ、定子槽数Z1,及计算极弧因数αi决定。(5)式(6)、式(7)中Dc取不同值可代表盘式电机在不同半径位置处的磁密分布。3电机基谐波分布为了验证以上公式推导的正确性,本文以一台15kW盘式永磁同步电机为例,分别采用解析公式及有限元法计算了永磁体产生的气隙磁密谐波含量及幅值。该电机相数m=6,极对数p1=11,定子槽数Z1=24,计算极弧因数αi=0.856,电机为双定子单转子结构。图3～图4分别示出了运用有限元法计算出的磁力线分布、气隙磁密圆周分布;将有限元的计算结果进行谐波分析,同时运用本文推导的解析公式计算气隙磁密谐波分布,两种方法计算得到的幅值较大的谐波同时绘制于图5中。表2列出了运用两种方法得到的基波及部分谐波的幅值及误差分析,其中BAδ表示解析公式的计算结果,BFδ为有限元法的计算结果。本文将单元电机的极对数作为气隙磁密的基波,因此对于该15kW电机,其基波为11次,常规的3次、5次、7次等谐波分别为表2中的33次、55次及77次谐波。由于气隙磁密谐波次数的正负及频率是计算电磁噪声的重要信息,而解析法能够很清楚容易的获得,因此本文的解析公式是分析气隙磁密分布及计算电磁噪声的一种方便有效方法。4气息磁密分析公式用于抑制噪声4.1电机的电磁噪声永磁体产生的谐波磁密如式(6)及式(7),当Z1为偶数时的B1(x)、及Z1为奇数时B1(x)与B2(x)均与αi成正比,即以上气隙磁密谐波幅值随αi的变化规律为正弦曲线u(αi)=sin((2k1+1)αiπ/2)/(2k1+1)。由此即可通过改变αi,达到改变谐波幅值的目的。当(2k1+1)αiπ/2=k3π/2,即αi=k3/(2k1+1)(10)k3分别取奇数及偶数时,|u(αi)|分别得最大值及最小值0。另外,令某次谐波达到最大或最小值时αi的取值不唯一。永磁同步电机中永磁体产生的不同次磁密谐密相互作用,是引起电机噪声的最主要因素之一,其中基波与气隙磁密谐波相互作用引起的电磁噪声尤为显著。低频段的噪声经A计权后,被大大地削弱,在1000Hz～5000Hz之间,噪声会被略微的加强,而后随着频率的增加,噪声又会被削弱。因此,计算电机的电磁噪声,尤其要注意1000Hz～5000Hz之间的噪声值。同样以15kW盘式永磁电机为例,介绍从降低噪声角度选取计算极弧因数的方法。该电机的基波频率为82.5Hz,永磁体产生的气隙磁密谐波次数为μ1=[11(2k1+1)±24k2],频率为f2=82.5×(2k1+1)Hz。表3列出了能够与基波相互作用并可能引起较大电磁噪声的气隙磁密谐波次数μ1、频率f2以及力波阶数r、频率fp。当k1取值为5～11时,使对应的谐波幅值为0的几种αi取值列于表4中。αi选取过小,会降低电机的效率,选取过大,会造成漏磁过大。观察表4,从降低噪声的角度出发,αi可以取值为8/11、10/13、12/15、14/17、16/19、18/21、20/23中的某个数值或与之相近的数值。αi分别取以上各值计算得到的电磁噪声如图6所示,从曲线看出,αi选取为20/23时,噪声最小。本台电机实际αi取值为0.856,与18/21相当接近,噪声声功率级的计算结果为63.3dB(A),亦相对较低,又αi选择过大会引起漏磁及正弦畸变率加大,因此该电机的αi选择是恰当的。4.2电磁力密度幅值由式(6)及式(7),气隙磁密的幅值与h0/δ相关。设h0/δ的比值改变,变化后的比值为(h0/δ),且(h0/δ)′>h0/δ。B1(x)与B2(x)中的齿谐波作用,是电磁噪声的主要原因之一,设两种谐波的幅值分别为B1、B2,则两者相互作用产生的电磁力密度幅值为Pn=B1B2/(2μ0),当h0/δ变为(h0/δ)时,新的电磁力密度幅值Pn(B1+ΔB1)(B2+ΔB2)/(2μ0),ΔB1、ΔB2分别为磁密的增量。改变前后电磁力密度幅值之比κ=P′n/Pn=(B1+ΔB1)(B2+ΔB2)/(B1B2)≈1+ΔB2/B2+ΔB1/B1由式(6)及式(7),B1(x)随h0/δ的增加而减小,而B2(x)中的齿谐波随之增加,因此ΔB2/B2>0,而ΔB1<B10。(1)h0/的-11+h0/-11+的计算经计算,ΔB2B2=(h0/δ)′/(h0/δ)-11+(h0/δ)=Δb2;而ΔB1B1=Ζ1b0πDc/(Ζ1b0πDc-1+h0/δh0/δ)⋅Δb2。(2)电磁力密度幅值的确定当n为Z1的奇数倍时,ΔB2/B2=Δb2;当n为Z1的偶数倍时,ΔB2B2=-(h0/δ)/(1+h0/δ)⋅(2Ζ1-1/2)⋅Δb2-(h0/δ)/(1+h0/δ)⋅(2Ζ1-1/2)+2ΔB1B1=Ζ1b0πDc/(-h0/