数学苏教版必修4导学案2.5向量的应用

2.5向量的应用学习目标重点难点1．会用向量方法解决简单的物理问题．2．会用向量方法解决简单的平面几何问题．3．会用向量方法解决涉及直线与圆的问题.重点：用向量方法解决物理及平面几何问题．难点：用向量方法解决物理问题及其他实际问题.1．向量在物理中的应用：向量在研究物理问题时经常用到以下结论．(1)力、速度、加速度、位移等都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；(3)功即是力F与所产生位移s的数量积．预习交流1向量可以解决哪些物理问题？提示：可以解决求力、速度、方向、位移等问题．2．向量在平面几何中的应用：平面几何中的共点、共线、平行、垂直等问题都可以用向量解决．(1)对线共点问题，常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再借助于向量知识说明其他直线也过这点．(2)对平行问题，往往转化为与其相关的向量共线问题．(3)对于垂直问题常转化为相关向量的数量积问题解决．预习交流2用向量方法解决平面几何问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决几何问题，一般分如下三步：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系．3．向量在解析几何中的应用：(1)若直线l的斜率为k，倾斜角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ≠\f(π,2))).向量a＝(m，n)平行于l，则k＝tanα＝eq\f(n,m).(2)直线l：y＝kx＋b的方向向量是(1，k)．(3)过点P(x0，y0)且与a＝(m，n)平行的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0.(4)过点P(x0，y0)且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0.预习交流3(1)设A，B，C，D四点坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD为__________．(2)直角坐标系中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝4，则点P的轨迹方程是__________．提示：(1)因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，－2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－4，－1)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|.所以四边形ABCD为平行四边形．(2)x＋2y－4＝0一、向量在物理中的应用在重为300N的物体上系上两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°，如图所示，求物体平衡时，两根绳上拉力的大小．思路分析：由题目知两根绳子的夹角为90°，因此可以把问题转化为解直角三角形．解此类力的平衡问题，主要是运用向量之和为零向量去求解，通过运用化归思想和数形结合思想及数学建模将物理问题转化为向量问题．解：如图所示：两根绳子的拉力之和eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°.从而|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos30°＝150eq\r(3)N，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|sin30°＝150N，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150N.答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力为150N.1．某人用50N的力(与水平方向成30°角，斜向下)推动一质量为8kg的木箱沿水平平面运动了20m，若滑动摩擦系数μ＝，取g＝10m/s2，则摩擦力f所做的功为__________．答案：－42J解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f的大小，及它与位移的夹角即可．|f|＝(80＋50sin30°)×(N)，又f与位移所成的角为180°，∴W＝f·s＝|f||s|cos180°＝－1××20＝－42(J)．2．一条小船以10km/h的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图所示，eq\o(OM,\s\up6(→))表示小船垂直于对岸行驶的速度，eq\o(ON,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OP,\s\up6(→))表示船的实际速度．则由题意知∠NOP＝60°，eq\o(OM,\s\up6(→))＝10km/h，又∵四边形OMPN是矩形，∴|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|sin60°＝10.∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(10,sin60°)＝eq\f(20\r(3),3).∴|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(20\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(10\r(3),3).∴水流速度为eq\f(10\r(3),3)km/h，船的实际速度为eq\f(20\r(3),3)km/h.用向量法研究物理问题(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．二、向量在平面几何中的应用如图所示，ABCD是菱形，AC，BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD.思路分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件．证明：∵ABCD为菱形，AC，BD为两对角线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AC⊥BD.1．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝__________.答案：－eq\f(2,3)解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)．∵A，B，C三点共线，∴eq\o(BA,\s\up6(→))∥eq\o(CB,\s\up6(→)).∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝(k－4,7)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(4＋k，－5)，∴－5(k－4)－7(k＋4)＝0.∴k＝－eq\f(2,3).2．在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明：方法一：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.方法二：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．因为eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.1．对于两个非零向量a，b，a·b＝0⇔a⊥b，在具体证明平面几何中的线段垂直时可先将线段转化为向量，计算向量的数量积，在此过程中，数量积的两种求解方法即向量法和坐标法可适当地选取．2．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．三、向量在解析几何中的应用已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，Aeq\o(M,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(MQ,\s\up6(→))，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．思路分析：一般要先设出动点坐标即M(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(MQ,\s\up6(→))，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．解：设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y－b)，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(a－x，－y)．∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(MQ,\s\up6(→))，∴(x，y－b)＝－eq\f(3,2)(a－x，－y)．∴a＝eq\f(x,3)，b＝－eq\f(y,2)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(y,2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，0))，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(y,2)))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,2)y)).∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,2)y))＝0.∴3x－eq\f(3,4)y2＝0，∴所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．1．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为__________．答案：2x＋y－1＝0解析：任取直线上两点如(－3,0)，(1,2)，则直线的方向向量a＝(1,2)－(－3,0)＝(4,2)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，则(x＋1，y－3)·a＝0，∴(x＋1，y－3)·(4,2)＝4(x＋1)＋2(y－3)＝0.∴2x＋y－1＝0，即为所求的直线方程．2．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，求点N的轨迹方程．解：设M(x0，y0)，N(x，y)，由eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))得(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3－2x，,y0＝3－2y.))代入圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，得x2＋y2＝1．∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，则向量a＝(A，B)即为直线l的法向量，b＝1，k或c＝－B，A为直线ll1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2n1＝A1，B1，n2＝A2，B2，则n1·n2＝0⇔n1⊥n2⇔l1⊥l21．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为__________．答案：2eq\r(7)解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．∴Feq\o\al(2,3)＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2|F1||F2|cos60°＝28.∴|F3|＝2eq\r(7).2．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC边上的高所在直线方程为__________．答案：3x－5y－4＝0解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为eq\o(AC,\s\up6(→))·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.3．点O是△ABC所在平面内一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则点O是△ABC的三条__________的交点．答案：高解析：由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))得eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq