2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第二讲2.4弦切角的性质 Word版含解析

第二讲直线与圆的位置关系2.4弦切角的性质A级基础巩固一、选择题1．如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠PQM＝70°，则∠NMP等于()A．20°B．70°C．110°D．160°解析：根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.答案：B2.如图所示，过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D等于()A．45° B．50°C．55° D．60°解析：因为AD是圆的切线，所以∠DAC＝∠B＝35°.又因为∠D＋∠DAC＝∠ACB，所以∠D＝∠ACB－∠DAC＝80°－35°＝45°.答案：A3.如图所示，AB为圆的直径，弦AC与AB成30°角，DC切圆于点C，AB＝5cm，则BDA．10cm B．5C.eq\f(5,2)cm D．1cm解析：连接BC(如图)，则∠ACB＝90°，∠BCD＝30°＝∠D，故BD＝BC＝eq\f(5,2)cm.答案：C4．如图所示，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于()A．14°B．38°C．52°D．76°解析：因为EC为⊙O的切线，所以∠BCE＝∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝38°.答案：B5.如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如图所示∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()A．55° B．90°C．110° D．120°解析：延长AO交⊙O于D，连接BD(如图)，因为AC切⊙O于A，AB是弦，所以∠D＝∠CAB.又∠D＝eq\f(1,2)∠AOB，所以∠AOB＝2∠CAB＝110°.答案：C二、填空题6．如图所示，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D是圆O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A＝____．解析：连接OB，OC，AC(如图)，根据弦切角定理，∠A＝∠BAC＋∠CAD＝eq\f(1,2)(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.答案：99°7．如图所示，已知圆O的直径AB＝5，C为圆周上一点，BC＝4，过点C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD＝________．解析：由弦切角定理，有∠ACD＝∠B，所以eq\f(CD,AC)＝cos∠ACD＝cosB＝eq\f(BC,AB).所以eq\f(CD,\r(52－42))＝eq\f(4,5).故CD＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)8．如图所示，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．解析：由弦切角定理，有∠ACD＝∠ABC＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC即AB＝4，圆O的面积S＝π·(eq\f(4,2))2＝4π.答案：4π三、解答题9．如图所示，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，在PC上截取PD＝PA，求证：∠1＝∠2.证明：因为PA＝PD，所以∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠C＋∠1，∠PAD＝∠PAB＋∠2，所以∠C＋∠1＝∠PAB＋∠2.又PA切⊙O于点A，AB为弦，所以∠PAB＝∠C.所以∠1＝∠2.10.如图所示，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．解：因为CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，所以CD＝5.连接BD(如图)．因为DE切⊙O于点D，所以∠EDC＝∠DBC.又因为BC为⊙O的直径，所以∠BDC＝90°.所以Rt△BDC∽Rt△DEC.所以eq\f(CD,BC)＝eq\f(CE,CD)＝eq\f(DE,BD)，即eq\f(5,BC)＝eq\f(4,5)＝eq\f(3,BD).所以BC＝eq\f(25,4)，BD＝eq\f(15,4).又因为AB与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC.所以AC＝eq\f(125,16).所以AB＝eq\f(75,16).B级能力提升1.如图所示，已知AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于点B，C的一个动点，则∠BPC的度数是()A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°解析：当点P在优弧eq\o(BC,\s\up10(︵))上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.因为AB是⊙O的切线，所以∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧eq\o(BC,\s\up10(︵))上时，∠BPC＝115°.答案：C2.如图所示，已知AB和AC分别是⊙O的弦和切线，点A为切点，AD为∠BAC的平分线，且交⊙O于点D，BD的延长线与AC交于点C，AC＝6，AD＝5，则CD＝________．解析：由弦切角定理，有∠CAD＝∠B.又∠C＝∠C，则△ACD∽△BCA，所以eq\f(CD,AC)＝eq\f(AC,BC)，又∠BAD＝∠CAD＝∠B，则BC＝CD＋BD＝CD＋AD.设CD＝x，则eq\f(x,6)＝eq\f(6,x＋5)，x＝4或－9(舍去)，故CD＝4.答案：43.如图所示，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E.(1)试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数据是________；②写出求解过程(结果用字母表示)．解：(1)AE与⊙O相切．理由：连接OC(如图)．因为CD∥OA，所以∠AOC＝∠OCD，∠ODC＝∠AOB.又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.所以∠AOB＝∠AOC.在△AOC和△AOB中OA＝OA，∠AOC＝∠AOB，OC＝OB，所以△AOC≌△AOB，所以∠ACO＝∠ABO.因为AB与⊙O相切，所以∠ACO＝∠ABO＝90°.所以AE与⊙O相切．(2)①选择a、b、c，或其中2个．②解答举例：若选择a、b、c，法一：由CD∥OA，eq\f(a,c)＝eq\f(b,r)，得r＝eq\f(bc,a).法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b＋2r)2＋c2＝(a＋c)2，得r＝eq\f(a2＋2ac－b,2).法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，eq\f(