《高等应用数学》016-0（曾慧平）课件 05-第五章 定积分

高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07定积分第5章5.1定积分概述5.2微积分基本公式5.3定积分的积分方法5.4定积分的应用导学4本章将介绍积分学中另一重要内容——定积分。导学学习目标51．理解定积分的概念、几何意义，了解定积分的性质。2．理解积分上限函数的概念，会求其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。3．掌握定积分的换元积分法和分部积分法。4．理解微元法的概念，掌握定积分在几何上的应用。素质目标61．提高观察能力和归纳能力，加强数形结合意识。2．培养自主学习的良好习惯，加强数学知识运用于生活的意识。3．弘扬科学严谨、执着专注、精益求精、追求卓越的工匠精神。定积分概述5.15.1.1定积分的定义8引例曲边梯形的面积设y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)≥6则由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b及x轴所围成的图形，称为曲边梯形，如图所示。计算曲边梯形的面积呢？5.1.1定积分的定义9根据分析，可按下面的步骤计算曲边梯形的面积：（1）分割任取分点a=x0<x1<…xn-1<xn=b，把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2]，[x2,x3]，…，[xn-1,xn]每个小区间的长度为Δxi=xi–xi-1(i=1,2,…,n)相应地，曲边梯形被分成n个窄曲边梯形，每个窄曲边梯形的面积记作ΔAi(i=1,2,…,n)5.1.1定积分的定义10根据分析，可按下面的步骤计算曲边梯形的面积：（2）近似代替在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，得到以区间[xi-1,xi]的长Δxi为底、以f(ξi)为高的债矩形，如图所示。用窄矩形的面积f(ξi)Δxi近似代替窄曲边梯形的面积ΔAi

，即ΔAi

≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)。5.1.1定积分的定义11根据分析，可按下面的步骤计算曲边梯形的面积：（3）求和将n个窄矩形的面积相加，便得到曲边梯形面积的近似值，即

（4）取极限

5.1.1定积分的定义12根据分析，可按下面的步骤计算曲边梯形的面积：（3）求和将n个窄矩形的面积相加，便得到曲边梯形面积的近似值，即

（4）取极限

5.1.1定积分的定义13引例变速直线运动的路程设某物体做变速直线运动，其速度v=v(t)是时间t的连续函数,求该物体在时间段[T1，T2]内所经过的路程s。5.1.1定积分的定义14整个路程的近似值的极限便是所求路程的精确值：（1）分割任取分点T1=t0<t1<…xt-1<tn=T2，把[T1,T2]分成n个小时段[t0,t1],[t1,t2]，…，[tn-1,tn]每个小时段的时间长度为Δti=ti–ti-1(i=1,2,…,n)相应地，路程s被分成n段小路程，每段小路程记作Δsi(i=1,2,…,n)5.1.1定积分的定义15（2）近似代替在小时段[ti-1,ti]上任取一点ξi(i=1,2,…,n)，用速度v(ξi)来近似代替[ti-1,ti]各个时刻的速度，则有Δsi

≈v(ξi)Δti(i=1,2,…,n)。整个路程的近似值的极限便是所求路程的精确值：5.1.1定积分的定义16（3）求和将n个小时段上的路程近似值相加，便得到整个路程的近似值，即（4）取极限整个路程的近似值的极限便是所求路程的精确值：

5.1.1定积分的定义17定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界，任取分点a=x0<x1

<…<xn-1<xn=b，把区间[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi](i=1,2，…,n)，这些小区间称为子区间，其长度记作:

5.1.1定积分的定义18定义

其中，“∫”称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量,[a,b]称为积分区间，a，b分别称为积分下限与积分上限。5.1.1定积分的定义19

例1解:

任取分点

，把区间[0,1]

n等份，分点为

每个小区间的长度为:

作乘积得：

5.1.1定积分的定义20

例1

并作和得：

5.1.2定积分的几何意义21定积分的概念与几何意义

5.1.2定积分的几何意义22

5.1.2定积分的几何意义23

5.1.2定积分的几何意义24

例2

利用定积分表示如图所示阴影部分的面积例35.1.2定积分的几何意义25利用定积分表示如图所示阴影部分的面积例3解（1）如图所示，被积函数y=x2在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，由定积分的几何意义可知，阴影部分的面积为:

5.1.2定积分的几何意义26利用定积分表示如图所示阴影部分的面积例3

5.1.2定积分的几何意义27利用定积分的几何意义，求下列定积分例4（1）

5.1.2定积分的几何意义28利用定积分的几何意义，求下列定积分例4（2）

5.1.3定积分的性质29性质1被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

性质2两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即

5.1.3定积分的性质30性质3（区间可加性）性质4若在区间[a，b]上有f(x)≥0，则函数f(x)在[a，b]上的定积分等于f(x)在[a，c]和[c，b]上的定积分的和，即

5.1.3定积分的性质31推论1推论2若在区间[a，b]上有f(x)≤g(x)，则

5.1.3定积分的性质32性质5性质6（估值定理）设M，m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则

定积分中值定理若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立：

即

中值定理的几何意义5.1.3定积分的性质33例5比较下列各组定积分的大小（1）

与

（2）

与

解：

≥

≤

5.1.3定积分的性质34例6估计

的范围。解：

再根据性质5，得

课堂小结35定积分的定义定积分的几何意义定积分的性质微积分基本公式5.25.2.1积分上限函数及其导数37

5.2.1积分上限函数及其导数38因为定积分与积分变量的记号无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他记号，如t则上面的定积分可以表示为

5.2.1积分上限函数及其导数39

这个函数称为积分上限函数或变上限函数。5.2.1积分上限函数及其导数40积分上限函数Φ(x)具有以下重要定理：定理1

定理25.2.1积分上限函数及其导数41

例1

例2解:

这个积分不是变上限，而是变下限，不能直接运用定理1，可先交换上下限，即

从而

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式42定理3设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则

此公式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。定积分可以通过以下两步来计算（1）先求f(x)的一个原函数F（x）

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式43求下列定积分。例3（1）

（2）

解：（1）

解：（2）

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式44

例4解：因为被积函数可化为

所以

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式45设例5解：

课堂小结46积分上限函数及其导数牛顿-莱布尼茨公式定积分的积分方法5.35.3.1定积分的换元积分法48定理1若f(x)在[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足下列条件，则有

该公式称为定积分的换元积分公式。（1）函数x=φ(t)在区间[α，β]上具有连续导数φ’(t);（2）φ(α)=

a，φ(β)=

b;（3）当t∈[α，β]时，x=φ(t)∈[α，β]。5.3.1定积分的换元积分法49求例1

求例2

5.3.1定积分的换元积分法50求例3

5.3.2定积分的分部积分法51定理2若u=u(x)与v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数，则有

该公式称为定积分的分部积分公式。5.3.2定积分的分部积分法52求例4

解：

5.3.2定积分的分部积分法53求例5

于是

所以

课堂小结54定积分的换元积分法定积分的分部积分法定积分的应用5.45.4.1定积分的微元法56将分割的一小区间[xi-1,xi]（i=1,2,…,n），记作[x,x+dx],区间长度Δx即为dx,取ξi=x，则dx段所对应的窄曲边梯形的面积近似于以点x处的函数值f(x)为高，dx为底的矩形的面积我们称f(x)dx为曲边梯形的面积微元，记作dA，即ΔA≈f(x)dx,dA=f(x)dx5.4.1定积分的微元法57通过微元作定积分来求某个实际量的方法称为微元法（又称元素法）。一般地，通过微元法求某个实际量U的步骤如下:(1）选取积分变量（如x)，并确定其变化区间（如x∈[a，b]。(2）将区间[a，b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记作[x,x+dx]，求这个小区间的微元dU=f(x)dx。

5.4.2定积分在几何上的应用581.平面图形的面积如图所示，设平面图形是由区间[a，b]上的连续曲线y=f(x)，y=g(x)及直线x=a,x=b围成的，试求该平面图形的面积。分析取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx]，对应的窄曲边梯形面积近似于以f(x)-g(x)为高、dx为底的矩形的面积，从而得面积微元为以dA=[f(x)-g(x)]dx。以[f(x)-g(x)]dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，便得到所求平面图形的面积，即

591.平面图形的面积

5.4.2定积分在几何上的应用60计算由抛物线y2=x，y=x2所围成的平面图形的面积。例1解：

这两条抛物线所围成的图形如图所示，为了确定平面图形所在的范围，解方程组

得到两个解x=0，y=0及x=1,y=1即这两抛物线的交点为(0,0)及(1，1)，从而知道该平面图形在直线x=0，x=1之间5.4.2定积分在几何上的应用61计算由抛物线y2=x，y=x2所围成的平面图形的面积。例1

5.4.2定积分在几何上的应用62例2求由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的平面图形的面积。解：所围成的图形如图所示。解方程组

得出抛物线与直线的交点坐标为（2,-2）和（8,4）5.4.2定积分在几何上的应用63例2求由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的平面图形的面积。

5.4.2定积分在几何上的应用642.空间立体的体积旋转体的体积类型1如图所示，设旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周形成的，试求它的体积。5.4.2定积分在几何上的应用652.空间立体的体积

5.4.2定积分在几何上的应用662.空间立体的体积旋转体的体积类型2如图所示，设旋转体是由连续曲线x=φ(y)、直线y=c、直线y=b及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周形成的，则可求得其体积为

5.4.2定积分在几何上的应用67例3求由y=x2+1,x=0,x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积，如图。解取x为积分变量，其变化区间为[0,1]则所求旋转体的体积为

5.4.2定积分在几何上的应用682.空间立体的体积平行