专题3 轨迹方程求法

学习数学领悟数学应用数学专题3轨迹方程求法专题3天坤倒悬——轨迹方程的求法第一讲定义法回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：1．关于坐标轴对称的点；2．标记为F的点；3．圆心；4．题上提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．注意求出轨迹方程后，也要查漏补缺．【例1】（宝安期末）已知两圆，，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A． B． C． D．【例2】（江西模拟）如图在正方体中，是上底面内一动点，垂直于，，则点的轨迹为（）A．线段 B．椭圆一部分 C．抛物线一部分 D．双曲线一部分【例3】（宜昌期中）如图在圆内有一点．为圆上一点，的垂直平分线与，的连线交于点，则点的轨迹方程．【例4】（浙江二模）已知，是圆上的动点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则当运动时．点的轨迹方程是．【例5】（三亚月考）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；【例6】（陕西模拟）设一动圆过点，且与定圆相切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；第二讲直译法根据题上条件，直接表示轨迹方程．一般步骤为（1）建系设点建立适当的坐标系，设曲线上任意动点坐标M为；（2）等量关系根据条件列出与M有关的等式；（3）联立化简化成最简形式；（4）确定范围验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者曲线上是否有遗漏的点．要检查轨迹上是否所有的点是否都符合题干，常见的限制范围有：题干涉及三角形，轨迹里面不能构成三角形的点要去掉；题干有斜率关系，斜率不存在的时候要去掉；轨迹为双曲线的时候，要检查是否左右两支上的点都符合题意．注意审题看清楚题干问的什么，问题为方程的时候，给出轨迹方程即可；但是问题为轨迹时，要对图形进行描述，例如动点轨迹为圆，要回答是谁为圆心，谁为半径的圆．【例7】（通化期末）在平面内两个定点的距离为6，点到这两个定点的距离的平方和为26，则点的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段【例8】（湖北月考）已知点，，直线，的交点为，，的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A． B． C． D．【例9】已知点是圆内的一个定点，以为直角顶点作，且点、在圆上，试求中点的轨迹方程．【例10】（青羊期中）已知点，圆，过点的动直线与圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点．（Ⅰ）求的轨迹方程；【例11】（龙凤月考）已知两点，，直线和直线相交于点，且它们的斜率之积是．求动点的轨迹方程；【例12】（南关期中）已知两点，分别求满足下列条件的点的轨迹方程：（1）到两定点、的距离之和等于4；（2）直线、相交于点，且它们的斜率之和是2．【例13】（1994•全国）已知直角坐标平面上点和圆，动点到圆的切线长与的比等于常数．求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线．第三讲相关点法 若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代人法）．【例14】（湄潭月考）动点在圆上移动，求与定点连线的中点的轨迹方程（）A． B． C． D．【例15】（武汉模拟）已知双曲线关于直线对称的曲线为，若直线与相切，则实数的值为（）A． B． C． D．【例16】（如皋市月考）将椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，所得曲线的方程为．【例17】（咸阳模拟）设点是圆上的任一点，定点的坐标为．当点在圆上运动时，则线段的中点的轨迹方程是．【例18】（秦州月考）动点椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．则点的轨迹方程．【例19】（海淀期中）（1）已知点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为．（2）在平面直角坐标系中，，分别为轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则动圆圆心的轨迹为．【例20】（兰州期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率．【例21】（武汉期中）设点是圆上的任一点，定点的坐标为，若点满足，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程．【例22】（茂名一模）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；【例23】（宝安期末）已知圆上一定点，为圆内一点，，为圆上的动点．（1）求线段中点的轨迹方程；（2）若，求线段中点的轨迹方程．第四讲交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．【例24】（T8联考）已知椭圆C：与抛物线M：有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C的方程：（2）过椭圆C的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由．【例25】设，求两条直线与的交点的轨迹方程．【例26】已知，是椭圆的长轴的两端点，为椭圆上一动点，关于轴的对称点为，求直线的交点的轨迹方程．【例27】已知，，，、是上关于轴对称的两点，则直线与直线的交点的轨迹方程为（）A． B． C． D．【例28】（宜宾模拟）如图，矩形中，，，为坐标原点，，，，分别是矩形四条边的中点，，在线段，上，，，直线与直线相交于点，则点与椭圆的位置关系是（）A．点在椭圆内 B．点在椭圆上 C．点在椭圆外 D．不确定【例29】（邢台二模）如图，，是双曲线的左右顶点，，是双曲线上关于轴对称的两点，直线与的交点为．求点的轨迹的方程；【例30】（汕头期末）如图，动圆，，与椭圆相交于，，，四点，点，分别为的左，右顶点．椭圆的一个焦点为，，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）当为何值时，矩形的面积取得最大值？并求出其最大面积；（3）求直线与直线交点的轨迹方程．【例31】（岳麓模拟）如图，已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点，建立如图坐标系，求点的轨迹方程．第五讲参数方程法如果动点的坐标之间的关系比较复杂，第一步：将x,y用一个或几个参数来表示；第二步消去参数得轨迹方程；第三步，利用参数隐含的范围剔除不符合条件的点．另外，参数法中通常选变角、变斜率等为参数．【例32】（兰州期末）抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A． B． C． D．【例33】(丰台一模)过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，过原点作，垂足为，则点的轨迹方程是．【例34】(红岗期中)过抛物线的焦点作直线与此抛物线交于，两点，那么线段中点的轨迹方程是．【例35】(珠海期末)抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线、两点，再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程，并说明曲线的类型．【例36】(晋中一模)设、是椭圆上三个点，、在直线上的射影分别为、．若、不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为5，求中点的轨迹方程．【例37】(龙凤月考)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．求线段的中点的轨迹的方程；【例38】(咸阳模拟)已知圆．（1）直线