专题5 四边形相关性质

学习数学领悟数学应用数学专题5四边形相关性质专题5剑冲废穴——四边形相关的性质内家心法中，以三角形和四边形为基本中心，向量和正余弦定理为基本方法，三角函数和几何性质为基本武器，对圆锥曲线小题进行速解．三角形过后，四边形也带来了自己的风采，平行，平分，垂直，相等，带着这些关系，和圆锥曲线糅合在一起，顶点，焦点，准线，交点，从此处就产生了无限的题目类型．于是有了极化恒等式，辅助角公式，中线定理，矩形大法等破解之法，思维就此打开，无数解法如狂风暴雨般出现，漫天飞舞，凌厉无敌，蔚为奇观．第一讲平行四边形对角线性质及梯形相关性质四边形也是平面几何中非常重要的一个图形．考察主要是以平行四边形为代表的一类图形，它一定满足对边平行且相等且对角线互相平分，这些性质可以帮助我们快速解题，有时候还会会结合一些三角函数的知识．除此之外，还有梯形的一些性质有时候也会很有用处，我们接下来就通过一系列的题目来看一下四边形的一些平面几何性质如何发挥巨大功效的．【例1】（南岗区模拟）已知双曲线的右焦点为，和为双曲线上关于原点对称的两点，且在第一象限．连结并延长交于，连结，，若△是以为直角的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【例2】（盐城期中）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长小于焦距长．以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个内角为且面积为的菱形，为该椭圆上的动点，、坐标分别是，，则最大值为．【例3】（厦门模拟）已知双曲线的左、右焦点分别、，过的直线交双曲线右支于，两点．的平分线交于，若，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【例4】（金凤期末）椭圆与抛物线相交于点，，过点的直线与抛物线相切于，点，设椭圆的右顶点为，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例5】（全国模拟）已知为双曲线的左焦点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．【例6】（浙江期中）如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例7】（焦作期末）已知椭圆的右焦点和坐标原点是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆上，则椭圆的离心率不可能为（）A． B． C． D．【例8】（岳阳一模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则四边形面积的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．64第二讲极化恒等式与矩形大法我们先介绍一个式子在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：定理1在中，若M是BC的中点，则有定理2平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．以此类推到三角形，若AM是的中线，则在下图中利用中线定理可得且又，所以，这一结论称之为“矩形大法”【例1】（南岗区模拟）已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则A． B．4 C．3 D．1【例2】（东湖区模拟）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，若取得最小值和最大值时，△的面积分别为，，则A． B． C． D．【例3】（山东模拟）已知双曲线的左右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限内的交点为，若，则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C． D．【例4】已知圆，直线与圆交于，两点，，若，则弦的长度的取值可以是A．2 B． C．3 D．【例5】（南京模拟）已知圆，点，直线与圆交于，两点，点在直线上且满足．若，则弦中点的横坐标的取值范围为．【例6】已知点为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程．【例7】已知两动点A，B在椭圆上，动点P在直线上，若恒为锐角．则椭圆离心率的取值范围是．第三讲 辅助角公式辅助角公式，其中，除了在三角函数解三角形中，解析几何中有时候也会发挥重要作用．当坐标原点为平行四边形中心时可以考虑利用角度的相关式子来表示离心率，此时辅助角公式就可以发挥重要作用，在另外一些题目当中也可以利用圆锥曲线的参数方程，将要求的量转化为两个三角函数值之和或差，再利用辅助角公式，即可解决问题．尤其是圆和椭圆当中，效果尤其明显．【例1】（泉州期末）已知为椭圆的左焦点，直线过椭圆的中心且与椭圆交于，两点．若以为直径的圆过，且，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】（武昌区期中）设椭圆上的一点到两条直线和的距离分别是，，则的最小值（）A．5 B．6 C．7 D．8【例3】（罗湖区期末）抛物线上一点，到抛