第二章一元函数微分学

第二章一元函数微分学第1页，课件共54页，创作于2023年2月一、函数导数的概念第一节函数的导数1.函数在点处的导数第一步：求改变量第二步：作比值第三步：取极限例2-1.已知函数，求第2页，课件共54页，创作于2023年2月等价定义：(结论：极限式分子的被减数与减数中对应符号内的表达式之差恰好等于极限的分母，则该极限等于函数在指定点处的导数.）第3页，课件共54页，创作于2023年2月（1）设函数，求例2-2.（2）设函数，求（3）设函数，讨论m在什么条件下连续与可导？第4页，课件共54页，创作于2023年2月例2-3.设函数在点可导，求例2-4.（1）设，求（2）若，求第5页，课件共54页，创作于2023年2月（2008-2）设函数可导，则下列式子中正确的是第6页，课件共54页，创作于2023年2月(2005-13)设函数在内连续，并满足：,，求.第7页，课件共54页，创作于2023年2月2.左导数和右导数左导数右导数导数存在性定理（求分段点的导数必须要用此定理）例2-5.用导数定义求在点处的导数.第8页，课件共54页，创作于2023年2月3.导数的几何意义几何意义：切线方程：法线方程：（2007-8）若直线是曲线的一条切线，则常数（2008-21）求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.

第9页，课件共54页，创作于2023年2月4.导数与连续的关系若函数在点可导，则在连续.可导连续连续可导不连续不可导?连续不一定可导！第10页，课件共54页，创作于2023年2月（1）设函数在点处可导，求的值.例2-6.（2）设，其中在处连续，求.5.导函数第11页，课件共54页，创作于2023年2月二、函数导数的计算1.基本初等函数的导数公式第12页，课件共54页，创作于2023年2月2.导数的四则运算第13页，课件共54页，创作于2023年2月例2-7.求下列函数的导数第14页，课件共54页，创作于2023年2月3.复合函数的导数（1）复合函数求导法中间变量第15页，课件共54页，创作于2023年2月例2-8.求下列函数的导数第16页，课件共54页，创作于2023年2月（2）抽象复合函数的导数例2-9.（1）设函数，求注意：对自变量求导对

求导对自变量求导对

求导第17页，课件共54页，创作于2023年2月（3）已知，求（2）设函数可导，，求第18页，课件共54页，创作于2023年2月4.隐函数的导数由方程所确定的函数称为是的隐函数，其导数的求法为：对方程两边同时对求导，要记住是的函数，则的函数是的复合函数，对求导应该按复合求导法则求解.例2-10.（1）设方程，求（2）设，求（3）设，求第19页，课件共54页，创作于2023年2月（2007-14）设函数由方程所确定，求第20页，课件共54页，创作于2023年2月5.幂指函数的导数（再利用隐函数求导法）（再利用复合函数求导法）第21页，课件共54页，创作于2023年2月例2-11.求下列函数的导数第22页，课件共54页，创作于2023年2月6.参数方程的导数若参数方程确定是的函数，则有例2-12.已知，求第23页，课件共54页，创作于2023年2月(2008-14)设函数由参数方程所确定，求(2006-14)设函数由参数方程所确定，求(2005-14)设函数由参数方程所确定，求第24页，课件共54页，创作于2023年2月7.高阶导数例2-13.设，求第25页，课件共54页，创作于2023年2月8.函数的微分微分公式：第26页，课件共54页，创作于2023年2月一、罗尔定理第二节中值定理条件如果函数满足结论：（1）在闭区间连续；（2）在开区间可导（3）则至少存在一点使得第27页，课件共54页，创作于2023年2月（2007-3）设函数

，则方程的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4（2006-3）下列函数在上满足罗尔定理条件的是()A.B.C.D.第28页，课件共54页，创作于2023年2月二、拉格朗日定理条件如果函数满足结论：（1）在闭区间连续；（2）在开区间可导则至少存在一点使得（2005-8）函数在区间上满足拉格郎日中值定理的

.第29页，课件共54页，创作于2023年2月8.利用罗比塔法则求极限(1)型的罗彼塔法则设函数满足条件：在点a的某空心邻域内可导，且则必有①②③第30页，课件共54页，创作于2023年2月例2-14.求下列函数的极限(2007-13)求极限

(2005-7)极限

第31页，课件共54页，创作于2023年2月(2)型的罗彼塔法则例2-15.求极限第32页，课件共54页，创作于2023年2月(3)型的罗彼塔法则如果，求解法：通过分母通分或根式有理化，将其化成型的不定式，然后再求极限.例2-16.求下列函数的极限第33页，课件共54页，创作于2023年2月(4)型的罗彼塔法则如果，求注意：当为对数或反三角函数时不下放，即不将写成例2-17.求极限第34页，课件共54页，创作于2023年2月例2-18.求下列函数的极限第35页，课件共54页，创作于2023年2月1.利用定义判断函数的增减性任取增函数增区间减函数减区间（变量x与y同方向变化）（变量x与y反方向变化）注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性第三节利用导数研究函数的性态一、函数的增减性(证明题)第36页，课件共54页，创作于2023年2月2.利用导数判断函数的增减性设函数在上可导，则（1）在上是递增的（2）在上是递减的其中使成立的点仅有有限个.第37页，课件共54页，创作于2023年2月小结：利用导数求函数的增减区间的步骤（1）求出的定义域；（2）令，求出全部驻点和导数不存在的点；（3）用驻点和导数不存在的点把定义域划分为若干个小区间，考察各小区间内的符号.例2-19.确定下列函数的单调区间驻点第38页，课件共54页，创作于2023年2月3.利用导数判断函数单调性的方法证明不等式证明过程如下：（1）移项使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数；（2）求并验证在指定区间的增减性；（3）求出区间端点的函数值，作比较即可.例2-20.当时，证明不等式：(2008-24)对任意实数，证明不等式：（2007-24）求证：当时，.第39页，课件共54页，创作于2023年2月二、函数的极值与最值1.函数极值的定义设函数在点的某领域内有定义，是该领域内的任意一点，若第40页，课件共54页，创作于2023年2月2.函数极值存在的条件（1）必要条件①函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在点.

②驻点或导数不存在的点不一定就是函数的极值点.注意：点是曲线的极值点，则有或不存在.第41页，课件共54页，创作于2023年2月(2005-2)若是函数的可导极值点，则常数()A.B.C.D.

第42页，课件共54页，创作于2023年2月（2）第一充分条件例2-21.

求下列函数的极值第43页，课件共54页，创作于2023年2月（3）第二充分条件(只适用驻点）设，存在①若有，则为的极小值.②若有，则为的极小值.例2-22.

求函数的极值.第44页，课件共54页，创作于2023年2月小结：利用导数求函数极值点和极值的步骤（1）求出驻点和导数不存在的点；（2）利用第一充分条件判断在点处是否取得极值；（3）求出极值（对于驻点还可以采用第二充分条件）第45页，课件共54页，创作于2023年2月3.函数的最大值和最小值（1）最值的定义任意是函数的最小值.是函数的最小值.第46页，课件共54页，创作于2023年2月（2）利用导数求函数在上的最值的步骤：②求出端点函数值

；①求出在内的驻点和导数不存在的点；③将比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.例2-23.求函数在上的最大值和最小值.（2006-21）证明：当时，.第47页，课件共54页，创作于2023年2月三、函数的凹性与拐点1.函数的凹性定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上（下）方，则称曲线在内是上（下）凹的.曲线上凹与下凹的分界点称为拐点.第48页，课件共54页，创作于2023年2月2.判断函数的凹性设函数在上二阶可导，则（1）在上是上凹的（2）在上是下凹的是递增的是递减的第49页，课件共54页，创作于2023年2月3.拐点存在的必要条件点是曲线