固体物理第一章

第一章晶体的结构1.1常见的实际晶体结构1.2晶体结构周期性及其描述1.3晶列晶面1.4晶体的宏观对称性及晶体结构分类1.5倒格子1.6晶体的X射线衍射1.1常见的实际晶体结构1.1.1简单立方晶体结构（sc）(sc：simplecubic)原子晶体结构—晶体中原子的具体排列形式1.1.2体心立方晶体结构（bcc）(bcc:body-centeredcubic)1.1.3面心立方晶体结构（fcc）、六角密堆积结构（hcp)密堆积结构

将原子看成同种等大刚性球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面，密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。AAAAAAAAAAAAAA密排面密排面按ABC\ABC\ABC…排列，

立方密堆积——面心立方晶体结构（fcc）（fcc:face-centeredcubic)六角密堆积结构（hcp)密排面按AB\AB\AB…堆积，B层原子与A层原子取向相差180度BAA

(hcp：hexagonalclose-packed)1.1.4金刚石结构

B顶角1/4对角线两个面心立方晶格沿体对角线相互移动1/4对角线长套构成金刚石结构。（或：金刚石结构是体对角线上原子构成的面心立方晶格与顶角、面心原子构成的面心立方晶格沿立方体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成）面心AAB

1.1.5闪锌矿（Zineblende)结构（立方硫化锌结构）BAAABBBZnS1/4体对角线原子体对角线上离子面心立方与顶角、面心离子面心立方沿体对角线相互移动1/4对角线长套构而成。1.1.6纤锌矿（六方硫化锌）型结构Ⅵ族硫离子六方硫离子和六方锌离子沿六方轴C移动3C/8长度套构形成Ⅱ族锌离子AB1.1.7氯化钠(sodiumchloride)晶体结构Na+Cl-

Na+和Cl-各自构成面心立方格子沿立方边长方向相互移动半个边长套构形成。1.1.8氯化铯(cesiumchloride)晶体结构

Cs+和Cl-各自构成简立方晶格，沿体对角线相互移动1/2对角线长套构而成。Cs+Cl-1.1.9钙钛矿(calsiumtitanate)（ABO3）晶体结构

A离子在立方顶角，B离子在立方体心(氧八面体中心），O1、OⅡ、OⅢ分别在立方面心，A、B、O1、OⅡ、OⅢ各自组成简单立方格子套构而成。AO1BOⅢOⅡ氧八面体（1）基元—构成实际晶体的一个最小重复结构单元Na+Cl-基元为一对钠离子-氯离子基元为一个大分子1.2晶体结构及周期性(平移对称性）的描述1.2.1晶体结构及周期性(平移对称性）的描述分子分子基元（2）格点—用几何点代表基元，该几何点称为格点格点格点基元（3）点阵（空间点阵、正格子、晶格）晶体结构=点阵+基元格点的集合称为点阵。（4）基矢(basisvector）、晶格周期性（平移对称性）以一个格点为起点，以三个独立方向上的最近邻三个格点为终点所形成的不共面矢量，称为基矢。

晶体由基元（格点）沿空间基矢方向重复堆积而成的性质称为晶格周期性（平移对称性）。

基矢选择不是唯一的。（5）晶格平移矢量(positionvectors)

基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量。晶格只对离散值的平移具有对称性，称为破缺的平移对称性。例、点阵空间密度分布的函数表示，（6）点阵空间密度函数

点阵空间密度函数是晶格平移矢量的周期函数，以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积成整个晶体。（7）原胞(元胞、固体物理学原胞)例、有8个顶点，每个原胞含一个格点；体积原胞的性质不同原胞中对应点的性质相同（平移对称性）；原胞选择不是唯一的，但不同原胞的体积相同；例、第一种基矢第二种基矢第三种基矢（8）晶胞（单胞、结晶学原胞）

以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞，称为晶胞基矢。体心立方晶胞面心立方晶胞简单立方晶胞例、

晶胞边长称为晶格常数；晶胞不一定是最小周期重复体积单元，体积是原胞的整数倍；格点可能在晶胞非顶点位置；反映晶体的宏观对称性；晶胞不能按平移矢量无交迭填满整个空间，因而不能完全反映点阵平移对称性；晶胞的性质以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。WS原胞含一个格点，体积与原胞体积相等。WS原胞避免基矢选择，既反映晶体平移对称性又反映晶体宏观对称性。（9）威格纳-赛兹原胞（WS原胞、对称化原胞）例、面心立方的WS原胞一个二维点阵的WS原胞（10）配位数(coordinationnumber)晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。

晶体最大配位数为12，晶体可能配位数12，8，6，4，3，2。配位数6配位数8配位数12配位数4（11）致密度(packingfactor）晶胞中原子的最大体积与晶胞体积的比值例、金刚石晶胞含8个原子，设原子为球形，半径，顶角原子球心与1/4对角线长度处原子球心等于1/4晶胞对角线长，（12）布拉菲格子复式格子体心立方晶格简单立方晶格以原子为晶格格点，晶体结构分为布拉菲格子（简单格子）和复式格子。布拉菲格子（简单晶格）全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。例、底心立方晶格面心立方晶格底心立方晶格原子的全同性复式格子(complexcrystallattice)

不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格例1、两种原子一维复式格子PRQS例2、同种原子二维复式格子例3、金刚石结构三维复式格子B顶角1/4对角线面心AAABBB例4、石墨层中的碳原子排列为六角网状结构，是简单还是复式格子？标出这一结构的原胞。简单立方晶格晶胞基矢，晶胞含1个格点，体积，晶格常数，晶胞与原胞1.1.2常见晶体结构的基矢、原胞、晶胞、晶格常数原胞基矢，体积，体心立方晶格晶胞基矢，晶胞含2个格点，体积，晶格常数，晶胞与原胞原胞基矢，原胞体积，面心立方晶格晶胞基矢，晶胞含4个格点，体积，晶格常数，晶胞与原胞原胞基矢，原胞体积，金刚石结构顶角对角线1/4处体对角线原子面心立方晶格与顶角、面心原子面心立方晶格沿体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成面心立方格子（复式）。基元由面心（或顶角）原子和1/4对角线长度处原子组成。面心晶胞与元胞晶胞基矢，晶胞包含4个格点，晶胞体积，晶格常数，六角密堆积结构（hcp)BB层原子与A层原子成键方向相差180度（不全同），晶格由两个简单六方格子套构成复式格子，晶胞含6个原子，基元由两个不等价原子

、

构成，原胞是DFEGHIJK包围的体积。晶胞原胞DFEGHJKI1/61/21/61/61/61/61/6AABAA六次轴晶胞以直角坐标系Oxyz的x、z轴与重合，晶胞基矢，晶胞体积基元中两个不等价原子的坐标,氯化钠结构Na+Cl-

Na+和Cl-各自构成面心立方格子沿晶胞基矢方向相互移动半个晶格常数套构形成面心立方格子（复式）。基元包含一个Na+和一个Cl-。氯化铯结构

Cs+和Cl-各自构成简单立方晶格，沿体对角线相互移动1/2对角线长套构形成简单立方晶格（复式），基元含相距1/2对角线长的一对Cs+和Cl-。Cl-Cs+闪锌矿结构（立方硫化锌结构）体对角线上离子面心立方与顶角、面心离子面心立方沿体对角线相互移动1/4对角线长套构而成面心立方格子（复式）。基元由相距1/4对角线长度的面心（或顶角）离子和位于1/4对角线长度处离子组成。ZnS体对角线1/4处原子纤锌矿（六方硫化锌）型结构Ⅵ族硫离子

六方硫离子晶格和六方锌离子晶格沿六方轴C移动3C/8长度套构形成复式格子，在（001）面上按ABAB•••堆积。Ⅱ族锌离子c钙钛矿（ABO3）结构AO1BOⅢ氧八面体排列晶胞晶格由A、B、O1、

OⅡ、OⅢ各自组成的简单立方格子套构而成简单立方晶格（复式）,基元含5个离子。OⅡ

A离子在立方晶胞顶角，B离子在立方晶胞体心(氧八面体中心），O1、OⅡ、OⅢ分别在立方晶胞面心。典型晶体结构对应的点阵晶体结构类别基元中原子（离子）数点阵子格数sc简单1sc点阵1bcc简单1bcc点阵1fcc简单1fcc点阵1hcp复式2六方点阵2金刚石复式2fcc点阵2NaCl复式2fcc点阵2CsCl复式2sc点阵2立方ZnS复式2fcc点阵2六方ZnS复式4六方点阵2ABO3复式5sc点阵51.3晶列(crystaldirection)、晶面(crystalplan)1.2.1晶列、晶向指数(crystaldirectionindices)晶列、晶向过任意两格点的直线称为晶列，若一族平行直线把格点全部包含，这族直线称为同族晶列。晶列方向称为晶向。

同一晶格有无穷多种晶列。同族晶列的性质：晶向相同晶列上格点周期相同同平面相邻晶列间距相等晶向指数(晶列指数）设原胞基矢，格点为原点，沿着某一晶体方向，格点的平移矢量，将化成互质整数，晶列格点周期（格点距离）等于，就是晶向指数例1晶向指数晶向指数例2晶向指数晶向指数例3、立方结构晶体常用的晶向等效晶向指数（只画出水平面）例4、立方结构晶体的等效晶向全部格点用一族平行平面包含，该平行平面族称为晶面族，族中每个平面称为晶面.

同一晶格有无穷种不同晶面族。晶面晶面族性质：晶面方向相同相邻两晶面间距相等各晶面格点分布相同1.3.2晶面、晶面指数(crystalplaneindices)设平面在坐标轴的截距，得到平面截距式方程，

空间平面方向的表示平面的法线矢量，平面方向由法线矢量与坐标轴的夹角余弦表示，平面的单位法线矢量，离原点（为整数、为晶面间距）的晶面在原胞基矢上的截距，

晶面指数取基矢为单位长度，得到，晶面在原胞基矢截距的倒数的互质整数组称为晶面指数。为避免晶面平行某基矢时出现截距无穷大，取晶面在3个基矢截距的倒数互质整数比表示晶面取向，称为晶面指数得到晶面法线矢量，晶面截距的倒数比，1112223例1、化成互质整数比，晶面在轴上截距，截距的倒数，晶面指数,(101)(021)1）

(021)例2、截距的倒数，密勒指数(millerindices)为避免晶面平行某基矢时出现该轴截距无穷大，取晶面在3个晶胞基矢的截距的倒数互质整数比表示晶面取向，称为密勒面指数晶面在晶胞基矢上截距的倒数的互质整数组称为密勒指数。晶面在晶胞基矢的截距，例、

①同族晶面的晶面指数和密勒指数可能不同。②晶胞基矢构成的平移矢量只是晶格平移矢量的子集。所以，密勒指数标志的晶面不一定是该族晶面中最靠近原点的晶面。最靠近原点的晶面密勒指数与晶面指数的关系fcc晶格中，密勒指数（100）晶面不是最靠近原点的晶面，密勒指数（200）晶面是最靠近原点的晶面，该面的晶面指数（011）。密勒指数（100）面立方结构晶体常用的晶面等价（同族）晶面族同一晶格中，因对称性而等价的晶面族称为等价晶面族。包括8个晶面族，例、(111)(111)密勒指数晶面系中距原点最近的晶面在基矢上的截距，设晶面单位法线矢量，得到，晶面间距(latticeplaneseparationdistance)对正交坐标系，密勒指数晶面系晶面间距，对立方晶格，晶面间夹角两个法线矢量为的晶面族的夹角余弦，立方晶格两个晶面系夹角余弦，解理面对原子晶体，密勒指数简单的晶面族，面间距较大，晶面格点密度大，晶面间结合力较小，容易解理。

对离子晶体，晶面格点密度大且晶面是电中性的晶面容易解理。(100)(110)例、金刚石结构解理面是（111）面，闪锌矿结构是（110）面(111)(110)面密度(100)面密度(111)面密度01/41/2金刚石结构晶胞在（100）面上的投影1/21/21/21/43/43/400001.4晶体的宏观对称性及晶体结构分类1.4.1晶体宏观对称性的描述晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质。晶体宏观对称性（点对称性）例围绕C轴转动120°，石英晶体自身重合。在垂直于C轴平面内，相隔120°方向上，晶体性质相同（三重对称性）。120°C轴（三重对称轴）在晶格坐标系中，保持晶体中任意两点间距不变、操作后晶格复原的操作就是对称操作。

对称操作是正交变换。

晶体对称操作越多，宏观对称性（对称性）越高。对称操作及基本性质证明：设晶格某点，施以操作，

用矩阵表示，（变换矩阵）点到原点距离，（是正交矩阵）1、中心反演晶体的8种基本对称操作（对称素）晶体基本点对称操作共8种,2、镜面反映3、n次旋转对称轴将晶体围绕某一固定轴旋转后，晶体重合，则对应的固定轴称为次旋转对称轴，其操作矩阵是正交矩阵。证明：设晶体围绕轴旋转，晶体重合，D旋转对称轴晶体只有5种旋转对称轴，不存在5和6次以上旋转对称轴。证明：设绕对称轴转动前，格点位置矢量，转动后格点位置矢量，晶体对称性定律取，得到，等式两边分别相加熊夫利符号国际符号几何图形符号绕

格点转，

格点被旋转到格点。由于点阵中所有格点等价，绕格点旋转将格点旋转到格点，晶体复原。，为同一晶向，具有相同周期，因此，--整数所以，由图形给出的几何关系，得到，晶体对称性定律的补充证明准晶体（Quasicrystal）Penrose拼图没有平移对称性，但具有完全有序结构，具有和以上旋转对称轴的晶体称为准晶体。Penrose拼图:

小菱形具有和两种内角大菱形具有和两种内角。以大菱形和小菱形为原胞可以填满二维空间。Penrose拼图没有平移对称性，但结构完全有序，且具有5重旋转对称性。已经发现类似结构的物质Penrose拼图(Penrosetiling)大菱形小菱形4、次旋转反演轴将晶体围绕某一固定轴旋转后再中心反演，晶体重合，称为次旋转反演轴。122314中心平面2534161234561342没有对称心没有具有的晶体既没有4次旋转对称轴，也没有对称心。

1342晶体基本对称操作共8种,8种操作中至少保持一点不动，称为点对称操作。1.4.3晶体的32种点群、晶系群（group)元素集合，在它们之间规定一种“乘法”，如满足以下性质，则称为群。（1）闭合性（2）结合律（3）存在单位元素，（4）对集合中任意元素，存在逆元素，满足例１、正实数群：规定以普通乘法为运算法则，单位元素为1，正实数的逆为。例2、群：以连续操作为乘法，单位元素（不动操作），的逆。晶体点对称操作群点群规定晶体点对称操作乘法为连续操作，单位元素是不动操作（零旋转），旋转的逆是大小相等、方向相反旋转，中心反演的逆是中心反演，则晶体点对称操作满足群定义，构成点群。由于晶格周期性限制，不考虑基元对称性，晶体点对称操作组成7类对称操作群（7类点群或7类宏观对称性）,对应7种布拉菲点阵，给出7种晶胞（即7种晶胞基矢组合方式：三斜、单斜、正交、四方、六方、立方、三角）。每种组合称为一个晶系。

点对称操作和平移操作的集合给出14种对称性，构成14种布拉菲点阵，给出14种布拉菲晶胞（三斜、单斜、正交、四方、六方、立方、三角7个简单晶胞+7个加心晶胞）。

由于基元中有不同原子，使对称性降低。可降低7种点阵对称性的方式（加体心、面心、底心）共25种，得到晶体32个对称操作群（晶体32种点群、32种晶体宏观对称性）。名称标记符号的意义熊夫利符号回转群晶体只含有一个旋转对称轴双面群晶体包含一个重旋转轴和个与之垂直的二重轴群加上中心反演（对称心）群加上镜面反映对称面群加上与重旋转轴垂直的水平对称面群加上个含重旋转轴垂直对称面群加上与重旋转轴垂直的水平对称面群加上通过重轴及两根二重轴的角平分线的对称面群晶体只包含象转轴晶体32个点群群含正四面体24个对称操作群中24个转动操作加中心反演群中12个转动操作群加上中心反演

群包括立方晶系3条互相垂直的4重旋转对称轴，6条2重旋转对称轴，4条3重旋转对称轴构成的纯旋转对称操作，立方晶系具有中心反演对称性。名称对称操作数目合计三条4重轴<100>旋转90度、180度、270度9纯旋转操作24个四条3重轴<111>旋转120度、240度8六条2重轴<110>旋转180度6不动旋转360度1中心反演以上操作加上反演24非纯旋转操作24个立方晶系的对称操作名称布拉菲晶胞类型对称性最高的点群（全对称点群）晶胞基矢特征立方晶系（高级对称）简单立方（P）面心立方（F）体心立方（I）四方晶系（中级对称）简单四方（P）体心四方（I）正交晶系（低级对称）简单正交（P）底心正交（C）体心正交（I）面心正交（F）单斜晶系（低级对称）简单单斜（P）底心单斜（C）三斜晶系（低级对称）简单三斜（P）三方晶系（中级对称）三方（R）六方晶系（中级对称）六方（P）P-简单I-体心F-面心R-菱形C-底心14种布拉菲晶胞Triclinic（简单三斜)Monoclinic（单斜晶系)

Simple(简单单斜）Centered（底心单斜）

Orthorhombic(正交晶系）

Simple（简单正交）base-centered（底心正交）body-centered（体心正交）face-centered（面心正交）Simple（简单四方）body-centered（体心四方）Tetragonal（四方晶系）

Rhombohedral（三方晶系）Hexagonal（六方晶系）

Cubic（立方晶系）Simple（简单立方）body-centered（体心立方）face-centered（面心立方）晶体对称性不仅包括点对称操作和整数平移对称操作，由于理想晶格微观上的排列无限性，还包括分数平移对称操作。1.4.4平移对称操作晶体空间群绕对称轴旋转度，再沿对称轴方向平移晶格周期的的倍距离，使晶体重合。重螺旋轴例：4重螺旋轴A4A3A2A4321A1四重对称旋转轴金刚石、闪锌矿结构具有4重螺旋轴例2、金刚石、闪锌矿结构的4重螺旋轴对角线上的原子绕4重旋转对称轴旋转900，再沿4重旋转对称轴方向平移1/2晶格常数，和相同原子重合。滑移反映面A2A’2A’1A1AA’平面反映后，再沿平行该平面的某一方向平移周期的距离，使晶体中的原子与相同的原子重合。滑移反映面例、氯化钠具有滑移反映面Na+Cl-滑移反映面晶体32种点群，加两类非整数平移对称操作,得到230种晶体对称类型，称为空间群，每种空间群对应一种晶体结构。

一个晶系包括多种点阵，它们有相同的宏观对称性，但有不同的平移对称性，构成不同的空间群。晶体空间群

X射线照射晶体时，入射光子受晶体原子核外电子散射，从入射态跃迁到散射态。原点入射X射线平面波函数，散射X射线平面波函数，1.5.1倒点阵（倒格子）、倒格子基矢入射X射线反射X射线PX射线被原点原子、P点原子散射前后的光程差，AB1.5倒点阵（倒格子）及其性质根据干涉理论，光程差等于入射X射线波长整数倍时，衍射极大，得到，忽略康普顿效应，康普顿效应：波长的X射线照射到晶体上，散射波波长向长波方向移动。得到，--整数令，得到衍射极大时（衍射极大条件），的量纲是的倒数，称为倒格矢。设是倒格子基矢的线性组合，定义倒格子基矢与正格子的关系为，得到倒格子基矢与正格子基矢相互正交，得到，同理得到，引进倒格子的意义倒格子是晶格点阵在波矢空间的傅立叶变换。引入倒格子，对晶体结构X射线衍射分析、晶格振动、晶体电子运动状态分析等带来很大方便。1.5.2倒格子的性质（1）倒格子基矢与正格子基矢相互正交（2）

倒格矢与正格矢的点积是的整数倍证明：（3）

倒格子原胞体积与晶格原胞体积成反比正格子原胞体积，倒格子原胞体积，a2/h2BBC（4）倒格矢与晶面族正交在晶面族最靠近原点的晶面ABC上，AO证明：（倒格矢是晶面族的法线矢量）（5）

倒格矢的模等于晶面族晶面间距倒数的倍晶面族面间距，证明：