安徽省六安一中高二上学期第二次段考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省六安一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．不等式的解集为（）A．(﹣∞,0］∪（1，+∞) B．[0，+∞） C．［0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞,0］∪[1，+∞）2．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．在等差数列｛an}中，a1=2,公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．等差数列｛an}中,2（a1+a4+a7）+3(a9+a11）=24，则其前13项和为（）A．13 B．26 C．52 D．1565．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（)A．4 B．9 C．10 D．126．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱7．设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+()A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于28．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC,则sinA=（）A． B． C． D．9．设数列{an}是各项均为正数的等比数列,Tn是{an｝的前n项之积，a2=27，a3•a6•a9=,则当Tn最大时，n的值为（）A．5或6 B．6 C．5 D．4或510．已知a＞0,b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为(）A．4 B．4 C．12 D．1611．在△ABC中,a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（C﹣A）=1，则(）A．a,b，c成等比数列 B．a，b，c成等差数列C．a,c,b成等比数列 D．a，c,b成等差数列12．正项等比数列｛an}中,a6=a5+2a4，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值是（）A． B．1 C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“对任意x＞1,x2＞1”的否定是．14．已知a＞b，且ab=1，则的最小值是．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则C的最大角为．16．已知f(x）是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x•y）=xf（y）+yf(x）成立．数列｛an}满足an=f（3n)（n∈N+)，且a1=3，则数列的通项公式为an=．三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q:x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求角C；（2）若，△ABC的面积为，求a+b的值．19．已知f（x）=．（1）若f（x)＞k的解集为{x｜x＜﹣3或x＞﹣2｝，求k的值；（2)若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围．20．已知Sn为等比数列{an｝的前n项和，且a1=8，S3+3a4=S5．（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若bn=log2（an•an+1），cn=，记数列｛bn｝与{cn}的前n项和分别为Pn，Qn，求Pn与Qn．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上,D在AN上，且对角线MN过C点,已知｜AB|=3米，|AD｜=2米．(1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内?（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积．22．已知数列{an｝，an＞0,其前n项和Sn满足Sn=2an﹣2n+1，其中n∈N＊．（1)设bn=，证明:数列{bn}是等差数列；（2）设cn=bn•2﹣n，Tn为数列{cn}的前n项和，求证：Tn＜3；(3）设dn=4n+(﹣1）n﹣1λ•2bn（λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值，使得对任意n∈N＊，都有dn+1＞dn成立．

2016-2017学年安徽省六安一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．不等式的解集为（）A．（﹣∞，0]∪（1，+∞） B．［0,+∞） C．［0，1）∪（1,+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可．【解答】解：不等式⇔⇔x（x﹣1)≤0且x≠0⇔1＜x或x≤0，不等式的解集为：（﹣∞,0］∪（1,+∞）故选A．2．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b"的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有(）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系;不等关系与不等式．【分析】先看原命题,∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．【解答】解：原命题：，∵若ac2＞bc2，则c≠0,∴a＞b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真;逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2，不正确，∵a＞b，∴关键是c是否为0，∴逆命题为假,由等价命题同真同假知否命题也为假，∴命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2,则a＞b"的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．故选B3．在等差数列｛an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2,a5成等比数列”的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“a1，a2，a5成等比数列"的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：设等差数列{an},∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则=a1a5，∴（2+d）2=2(2+4d)，解得d=4或d=0,故“d=4"是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件，故选：A．4．等差数列｛an}中,2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为(）A．13 B．26 C．52 D．156【考点】等差数列的性质．【分析】由已知,根据通项公式，能求出a7=2,S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决．【解答】解：∵2（a1+a1+3d+a1+6d）+3（a1+8d+a1+10d）=2（3a1+9d)+3（2a1+18d）=12a1+72d=24,∴a1+6d=2，即a7=2S13===2×13=26故选B5．若变量x，y满足,则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0,﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC｜，联立,解得B（3，﹣1）．∵,∴x2+y2的最大值是10．故选：C．6．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”(“钱"是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a,a+d,a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1,则答案可求．【解答】解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d,a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．7．设a,b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【考点】反证法与放缩法．【分析】把这三个数的和变形为a++b++c+，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于6,从而得到这三个数中，至少有一个不小于2．【解答】解：∵a，b,c都是正数，故这三个数的和（a+）+(b+）+(c+)=a++b++c+≥2+2+2=6．当且仅当a=b=c=1时，等号成立．故三个数a+,b+,c+中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6）．故选D．8．在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=（）A． B． C． D．【考点】解三角形的实际应用;三角形中的几何计算．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB,AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解:∵在△ABC中,B=，BC边上的高等于BC,∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=,故选：D9．设数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，Tn是{an}的前n项之积，a2=27，a3•a6•a9=，则当Tn最大时，n的值为（)A．5或6 B．6 C．5 D．4或5【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质推知a3•a9=a62，结合等比数列的性质求得首项和公比，进而得到该数列的通项公式an=35﹣n．由n的取值范围来决定an的取值范围，从而确定Tn最大值．【解答】解：∵数列｛an}是各项均为正数的等比数列，∴a3•a9=a62，∴a3•a6•a9=a63=，a6=．∵a2=27,∴a6=a2q4=27q4=．∴q=，a1=81，∴an=81×（n﹣1）=35﹣n．当n=5时，a5=1．当n＞5时，an＜1．当n＜5时，an＞1．∴T4和T5为Tn的最大值．故选：D．10．已知a＞0，b＞0,若不等式恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．4 C．12 D．16【考点】函数恒成立问题．【分析】∵a＞0,b＞0，∴不等式恒成立⇒m≤=10+,求出=10+的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴不等式恒成立⇒m≤=10+，∵10+，∴m≤16，故选：D11．在△ABC中，a，b,c分别为角A,B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（C﹣A）=1，则（）A．a，b，c成等比数列 B．a，b，c成等差数列C．a,c,b成等比数列 D．a,c,b成等差数列【考点】正弦定理．【分析】由cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1变形得:cosB+cos(A﹣C）=1﹣cos2B，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：cosB=﹣cos(A+C），再利用倍角公式上式化简得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C)=2sin2B，化简再利用足下登录即可得出．【解答】解：在△ABC中,由cos2B+cosB+cos（A﹣C)=1变形得：cosB+cos（A﹣C)=1﹣cos2B,∵cosB=cos[π﹣(A+C）]=﹣cos（A+C），cos2B=1﹣2sin2B，∴上式化简得:cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，∴﹣2sinAsin(﹣C)=2sin2B，即sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：ac=b2，则a，b,c成等比数列．故选：A．12．正项等比数列{an｝中，a6=a5+2a4，若存在两项am，an使得=4a1,则+的最小值是（）A． B．1 C． D．【考点】基本不等式．【分析】利用等比数列的通项公式可得q,进而点到m+n=6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{an｝的公比为q＞0．∵，且a6=a5+2a4,∴=4a1，a1q5=a1q4+2a1q3，化为=4,q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q=2,∴=2，即m+n=6,∴+=(m+n）（+）=+（+）≥+=+=，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．命题“对任意x＞1,x2＞1”的否定是存在x＞1，x2≤1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x＞1，x2＞1"的否定是：“存在x＞1，x2≤1"．故答案为：存在x＞1，x2≤1．14．已知a＞b，且ab=1，则的最小值是2．【考点】基本不等式．【分析】将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵ab=1，a＞b,∴==a﹣b+,当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时取等号，故的最小值是2,故答案为：215．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若a2+b2=2c2，则C的最大角为．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，即可确定出C的最大值．【解答】解:∵a2+b2=2c2，即c2=,∴由余弦定理得:cosC===≥=（当且仅当a=b时取等号），∴C的最大值为．故答案为：16．已知f(x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf(x）成立．数列｛an}满足an=f（3n）（n∈N+），且a1=3，则数列的通项公式为an=n•3n．【考点】数列与函数的综合．【分析】利用赋值法，令x=3，y=3n,得f（3n+1）=3f（3n)+3nf（3），又因为a1=f(3）=3，，则,再转化为，故是首项和公差均为1的等差数列,由等差数列的通项公式可得，则．【解答】解：∵，∴,且a1=f（3)=3，∵对于任意的x，y∈R，都有f(x•y）=xf（y）+yf（x）成立，∴f（3n+1）=f（3×3n）=3f(3n）+3nf（3），即,∴，即，又∵，∴是首项和公差均为1的等差数列，∴∴故答案为：n•3n三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0,命题q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m＞0)．（1）若p是q的充分条件,求实数m的取值范围；(2)若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题,求实数x的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）求出命题p，q成立时的x的范围,利用充分条件列出不等式求解即可．（2)利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．【解答】解：（1）对于p:A=[﹣1,5］，对于q：B=［1﹣m,1+m]，p是q的充分条件，可得A⊆B，∴，∴m∈[4，+∞)．（2）m=5,如果p真:A=［﹣1，5]，如果q真:B=[﹣4,6]，p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p，q一阵一假,①若p真q假，则无解；②若p假q真，则∴x∈［﹣4，﹣1)∪（5，6]．18．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求角C；（2）若,△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式,三角形内角和定理化简已知可得2sinCcosC=sinC，由sinC≠0,可求cosC，结合C的范围即可得解．（2）由三角形面积公式可求C的值,进而可求ab，利用余弦定理即可得解a+b的值．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsin（A+B)=sinC，故2sinCcosC=sinC，可得，所以．(2）由已知，，又，所以ab=6，由已知及余弦定理得a2+b2﹣2abcosC=7，故a2+b2=13，从而（a+b）2=25,所以a+b=5．19．已知f（x）=．（1)若f(x）＞k的解集为{x｜x＜﹣3或x＞﹣2｝，求k的值;（2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立,求实数t的取值范围．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）根据题意,把f（x）＞k化为kx2﹣2x+6k＜0，由不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f(x），利用基本不等式，求出f（x）≤t时t的取值范围．【解答】解：(1）∵f(x)＞k，∴＞k;整理得kx2﹣2x+6k＜0，∵不等式的解集为{x｜x＜﹣3或x＞﹣2},∴方程kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2；由根与系数的关系知，﹣3+(﹣2)=,即k=﹣；（2）∵x＞0,∴f（x）==≤=，当且仅当x=时取等号；又∵f（x）≤t对任意x＞0恒成立，∴t≥，即t的取值范围是[,+∞）．20．已知Sn为等比数列｛an｝的前n项和，且a1=8,S3+3a4=S5．（1）求数列｛an}的通项公式；(2）若bn=log2（an•an+1），cn=,记数列{bn｝与{cn}的前n项和分别为Pn，Qn，求Pn与Qn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】(1）设等比数列｛an}的公比为q，由题意知S3+3a4=S5,可得3a4=S5﹣S3=a4+a5，化简利用等比数列的通项公式即可得出．(2）由（1）可得bn=log2（an•an+1)=2n+5，cn===，分别利用等差数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q,由题意知S3+3a4=S5，可得3a4=S5﹣S3=a4+a5，可得2a4=a5,∴q=2．∴an=8×2n﹣1=2n+2．（2）由(1）可得bn=log2（an•an+1）=n+2+n+3=2n+5，cn===,Pn==n2+6n．Qn=+…+==．21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知｜AB|=3米，|AD｜=2米．(1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内?(2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】(1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可;(2）解法1：利用当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．【解答】解:（1）解：设AN的长为x米(x＞2）由题意可知：∵∴∴∴由SAM