二重积分的计算方法课件

第二节二重积分的计算方法第八章一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习9/13/20231第二节二重积分的计算方法第八章一、利用直角坐标计算设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,复习:平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.9/13/20232设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

证:根据定理2,故因此得记作定理函数,则9/13/20233牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据定积分的换元法定理1

设函数函数满足:1)2)则9/13/20234定积分的换元法定理1设函数函数满足:1)2)则8/3定积分的分部积分法定理2

则证:9/13/20235定积分的分部积分法定理2则证:8/3/20235一、利用直角坐标计算二重积分曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的设曲顶柱体的顶为X型区域9/13/20236一、利用直角坐标计算二重积分曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算Y型区域9/13/20237同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算Y型区域8为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,9/13/20238为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于当被积函数补充说明9/13/20239均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于9/13/2023108/3/202310解法1D是X-型区域，例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.及直线9/13/202311解法1D是X-型区域，例3.计算其中D是抛物解法2例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.及直线这是Y-区域，画出积分区域的图形先对x后对y积分,显然解法2比解法1好！9/13/202312解法2例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.及例4.计算

其中D是直线

所围成的闭区域.解

画积分区域图形，因为则若先对

x

积分，的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.9/13/202313例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解画积例5.设

D

是由直线及围成的区域(图21-6),试计算:

的值.解若用先对

y、后对

x的积分,则有由于的原函数无法求得,因此改用另一种顺序的累次积分来计算:9/13/202314例5.设D是由直线及围成的区域(图21-6),9/13/2023158/3/202315解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例6.

交换下列积分顺序9/13/202316解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例6.交换练习.交换下列积分顺序⑴(2)9/13/202317练习.交换下列积分顺序⑴(2)8/3/202317例7

求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为9/13/202318例7求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r

=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为9/13/202319二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r即9/13/202320即8/3/202320二重积分化为二次积分的公式（1）则设区域特征如图9/13/202321二重积分化为二次积分的公式（1）则设区域特征如图8/3/20特别地,对若f≡1则可求得D的面积二重积分化为二次积分的公式（2）区域特征如图9/13/202322特别地,对若f≡1则可求得D的面积二重积分化为二次二重积分化为二次积分的公式（3）区域特征如图9/13/202323二重积分化为二次积分的公式（3）区域特征如图8/3/2023思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)9/13/202324思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,9/13/2023258/3/2023259/13/2023268/3/202326其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.例10

计算9/13/202327其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式9/13/202328注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的9/13/2023298/3/2023299/13/2023308/3/202330被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知例11求球体9/13/202331被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称内容小结直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则9/13/202332内容小结直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则8则极坐标系情形:

若积分区域为9/13/202333则极坐标系情形:若积分区域为8/3/202333课外练习P146-147习题8－22(1)(3);4(2)(4);5;6;8(4);10(2);11(3).9/13/202334课外练习P146-147习题8－2其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,1.

计算思考与练习9/13/202335其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,1.计算思考与提示:积分域如图2.

交换积分顺序9/13/202336提示:积分域如图2.交换积分顺序8/3/202336解：原式3.给定的次序.改变积分9/13/202337解：原式3.给定的次序.改变积分8