数学北师大版必修4学案3.3二倍角的三角函数第1课时

§3二倍角的三角函数第1课时倍角公式学习目标重点难点1．以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系．2．熟练掌握二倍角的余弦公式及其变形．3．灵活运用二倍角公式及其变形形式解决有关化简、求值及其证明问题，提高三角恒等变形的能力.重点：二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导以及在求值、化简证明中的应用．难点：二倍角的余弦公式及其变形的活用．疑点：二倍角是一个相对的概念，对此概念要从广义的角度去理解.二倍角公式记法公式推导S2αsin2α＝__________Sα＋βeq\o(→,\s\up7(令))S2αC2αcos2α＝__________cos2α＝______cos2α＝______Cα＋βeq\o(→,\s\up7(令))C2α利用________________T2αtan2α＝________Tα＋βeq\o(→,\s\up7(令))T2α预习交流1如何由S2α，C2α推出T2α？预习交流2将cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形，你能得到哪些重要公式？预习交流3(1)计算：1－2sin222.5°的结果为()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)(2)若tanα＝eq\f(1,3)，则tan2α＝()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)(3)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，则cos2θ＝__________.(4)若sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则sin2θ＝__________.答案：2sinαcosαβ＝αcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2αβ＝αsin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αeq\f(2tanα,1－tan2α)β＝α预习交流1：提示：tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinα·cosα,cos2α－sin2α)，分子、分母同除以cos2α，得tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).预习交流2：提示：降幂扩角公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).升幂缩角公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.预习交流3：(1)B(2)C(3)－eq\f(7,25)(4)－eq\f(24,25)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1．利用公式求值(1)求coseq\f(π,12)·coseq\f(5π,12)的值；(2)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，求sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))及tan2α的值；(3)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(2),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))，求sin2α.思路分析：(1)将coseq\f(5π,12)化成sineq\f(π,12)，然后配系数2，化为二倍角的正弦形式．(2)中给出了sinα＝eq\f(3,5)这一条件，欲求sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))及tan2α的值，可先求出cosα的值，然后利用诱导公式以及二倍角公式建立起已知和未知的关系．(3)中注意角eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α的关系及角α的范围．1．求下列各式的值：(1)sin75°·cos75°；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12))).2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，求cos2θ的值．(1)在利用二倍角公式解决这类问题时，要充分挖掘题目中各角之间的关系，如角2α，eq\f(π,2)＋2α分别是α，eq\f(π,4)＋α的二倍角，角eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α互余等，是顺利求值的关键．(2)(sinα±cosα)2＝1±sin2α是常用结论，应扎实记忆．(3)当遇到eq\f(π,4)±α这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).类似这样的变换还有：cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，sin2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1，sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等等．2．利用公式化简求值(1)化简：cos20°cos40°cos80°；(2)若180°＜α＜270°，试化简eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).思路分析：(1)式子中的角具有“二倍”的关系，并且是连乘积的形式，可以创造条件利用二倍角的正弦公式化简求值；(2)该式化简的目的就是要去掉根号，利用二倍角的余弦公式的变形形式可去根号，但要注意角的范围对三角函数值符号的影响．eq\f(2sin2α,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝()．A．tanα B．tan2α C．1 D.eq\f(1,2)在运用二倍角公式化简求值时应注意：1．明确式子结构，观察角与角之间的关系当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．2．灵活选取公式形式主要逆用公式形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α.主要变形用公式形式：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3．利用公式研究三角函数的性质已知函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))(0＜φ＜π)，其图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))).(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值．思路分析：先利用降幂公式与和差公式将f(x)化成Acos(ωx＋φ)＋k(或Asin(ωx＋φ)＋k)的形式，再研究函数的性质．已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x，x∈R.求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．答案：活动与探究1：解：(1)原式＝coseq\f(π,12)·sineq\f(π,12)＝eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5).∴sin2α＝2sinα·cosα＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).∴sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝－cos2α＝－eq\f(7,25)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2)＝－eq\f(24,7).(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝eq\f(1,2)cos2α＝eq\f(\r(2),6).∴cos2α＝eq\f(\r(2),3).又0＜α＜eq\f(π,2)，∴0＜2α＜π.∴sin2α＝eq\f(\r(7),3).迁移与应用：1.解：(1)原式＝eq\f(1,2)sin150°＝eq\f(1,4)；(2)原式＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).2．解：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ＝eq\f(3,5)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25).活动与探究2：解：(1)原式＝eq\f(23sin20°,23sin20°)·cos20°·cos40°·cos80°＝eq\f(22·sin40°·cos40°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(2sin80°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(sin20°,8sin20°)＝eq\f(1,8).(2)∵180°＜α＜270°，∴90°＜eq\f(α,2)＜135°，则cosα＜0，sineq\f(α,2)＞0.原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)(1＋cos2α)))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)cosα)＝eq\r(sin2\f(α,2))＝sineq\f(α,2).迁移与应用：B解析：原式＝eq\f(2sin2α,2cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝tan2α.活动与探究3：解：(1)f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋eq\f(1＋cos2x,2)cosφ－eq\f(1,2)cosφ＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋eq\f(1,2)cos2xcosφ＝eq\f(1,2)(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝eq\f(1,2)cos(2x－φ)．又函数图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))，所以eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)－φ))，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－φ))＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝eq\f(π,3).(2)由(1)知f(x)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，可知g(x)＝f(2x)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以4x∈[0，π]，因此4x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，故－eq\f(1,2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))≤1.所以y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值分别为eq\f(1,2)和－eq\f(1,4).迁移与应用：解：f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＋(1＋cos2x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(3,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.由题意得2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.∴f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.1．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()．A．－1 B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D．12.eq\r(1－sin20°)＝()．A．cos10° B．sin10°－cos10°C.eq\r(2)sin35° D．±(sin10°－cos10°)3．已