力学-第三章刚体的转动课件

（课后练习）试就质点受变力作用而且做一般曲线运动的情况推导质点的动能定理。并说明定理的物理意义。推导：方法一：书P181~182方法二：（课后练习）试就质点受变力作用而且做一般推导：方法一：书物理意义：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量物理意义：合外力对质点所做的功等于质点作业讲解（P1092.3）作业讲解（P1092.3）力学-第三章刚体的转动课件例7（0196）一质量为m的小球从内壁为半球形的容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为M，内壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所示。开始小球与容器都处于静止状态，有人为了求出小球自容器边缘B滑至底部A处时，容器对小球的作用力，列出了如下方程例7（0196）一质量为m的小球从内壁为半球形的

式中和分别为小球到达A处时小球和容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是错的，错在何处？说明原因并改正之。★

第一式错。因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时在桌面上滑动，小球相对桌面作曲线运动，轨迹不是圆周。此人列的第一式中的R应是小球的轨迹在A点时的曲率半径，而不是圆的半径R，此式错了。式中和分别为小球到达A处时小★

正确解法是：选容器为参照系，小球相对容器作圆周运动，在小球落至A处这一时刻，容器无竖直方向（法向）加速度，竖直方向惯性力等于零。因此★正确解法是：选容器为参照系，小球相对容器作圆周运动，在练习（5268）如图所示，一个质量为M=4kg

表面光滑的圆弧形凹槽，半径R=0.2m，静止放在光滑的水平地面上。槽的A端与圆弧中心O在同一水平面上，B端和

O的连线与竖直线夹角为

，有一质量为m=1kg的小滑块自A端从静止开始沿槽面下滑，求：滑块由B端滑出时，槽相对地面的速度。练习（5268）如图所示，一个质量为M=4kg力学-第三章刚体的转动课件练习（5268）解答练习（5268）解答力学-第三章刚体的转动课件第五章刚体的转动第五章刚体的转动一、基本概念

2．刚体的平动(Translation)

刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中，保持原方向不变。1．刚体(RigidBody)（理想模型）动画动画一、基本概念2．刚体的平动(Translation)3．刚体的转动(Rotation)4．刚体定轴转动角坐标:刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动角速度:角加速度:动画3．刚体的转动(Rotation)4．刚体定轴转动角坐标:二、刚体定轴转动★在A点取质量元★

的运动遵循牛顿第二定律★同时叉乘方程两边二、刚体定轴转动★在A点取质量元★的运动★

方程两边同时求和转动惯量★方程两边同时求和转动惯量三、转动定律★第一转动定律：类比有:时

绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保持原有的运动状态不变。由牛顿第一定律：三、转动定律★第一转动定律：类比有:时绕定轴转动的

刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所获得的角加速度的乘积。★第二转动定律：牛顿第二定律：类比有:刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的四、转动惯量★

质点★

质点系★

刚体转动惯量与（a）刚体的质量m有关；（b）与m的分布有关；（c）与转轴的位置有关★常见均匀刚体的转动惯量

见书P261四、转动惯量★质点★质点系★刚体转动惯量与（a）几种常见刚体的转动惯量：细棒细棒薄圆环或薄圆筒圆盘或圆柱体薄球壳球体几种常见刚体的转动惯量：细棒细棒薄圆环圆盘或薄球壳球体*平行轴定理

以m表示刚体的质量，Jc表示它通过其质心c的轴的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚体对于后一轴的转动惯量为：*垂直轴定理例：*平行轴定理以m表示刚体的质量，Jc五、转动定律的应用用求导的方法积分加初始条件刚体定轴转动的两类问题：五、转动定律的应用用求导的方法积分加初始条件刚体定轴转动例1.

一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1<m2，滑轮的质量为

m

，半径为R，所受的摩擦阻力矩为Mr

，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：m1，m2，m，R，Mr求：.动画例1.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮解:研究对象m1

，m2，m建立坐标，受力分析如图.对各隔离体写出运动方程：对m1

：对m2：对m：又：解:研究对象m1，m2，m建立坐标联立求得：注意：当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：这便是中学所熟知的结果问：如何求角加速度？根据可求得联立求得：注意：当不计滑轮的质量这便是中学所熟知的结果问：如例1

一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为和的物体，滑轮质量为m，半径为，其转动惯量可按计算（视为圆盘），绳与轮之间无相对滑动，试求物体的加速度和绳的张力。例1一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，解：★

注意：题中滑轮不是轻质滑轮，是有质量的刚体。所以，两边所受张力不同。.解：★注意：题中滑轮不是轻质滑轮，是有质量的刚体。所以，例2（0158）电风扇在开启电源后，经过时间达到了额定转速，此时相应的角速度为。当关闭电源后，经过时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁力矩。

例2（0158）电风扇在开启电源后，经过在内解：关闭电源后，经过时间★

结果：电磁摩擦在内解：关闭电源后，★结果：电磁摩例3（5031）转动着的飞轮的转动惯量为J，在时角速度为。此后飞轮经历制动过程。阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比例系数为（为大于零的常数）。当时，飞轮的角加速度。从开始制动到所经历的时间例3（5031）转动着的飞轮的转动惯量为J，解：（1）当时，飞轮的角加速度时解：（1）当时，飞轮的角加设开始制动的时刻为（2）从开始制动到所经历的时间设开始制动的时刻为（2）从开始制动到例4（0115）有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例4（0115）有一半径为R的圆形平板平放解：解：作业：P286~2875.115.125.13预习：P266~276复习：P251~266作业：P286~2875.115.125补充作业（写在作业本上，交上来）（0164）如图所示的大圆盘，质量为M，半径为R，对于过圆心o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为。如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径为，且。已知挖去的小圆盘相对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为，则挖去小圆盘后剩余部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？答案：补充作业（写在作业本上，交上来）答案：当刚体在力矩作用下从转到时，力矩所做的功为：六、刚体转动的功和能1．力矩做功合外力对刚体所作的元功：（

与

互余）当刚体在力矩作用下从转到六、刚体转动的2.刚体转动动能★考虑刚体上第i

个质元，质量为

★

的动能★整个刚体的动能为速度为2.刚体转动动能★考虑刚体上第i个质元，质量为★刚体的转动动能3.定轴转动的动能定理由质点系：类比：

合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。A内力矩？内刚体的转动动能3.定轴转动的动能定理由质点系：类比：质心质量中心1.质心的位置矢量分量：质点系：质心质量中心1.质心的位置矢量分量：质点系：对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元：质心是相对于质点系本身的一个特定位置,其相对位置不随坐标系选择而变化。对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元：质心是相对于质点系2.质心运动定理质点系合外力质点系总质量质心加速度2.质心运动定理质点系合外力质点系总质量质心加速度例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。xyo（x1，y1）x2解：例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。xyo（x1，y例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一静止均匀球，球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为F，求：t

秒后球相对桌面移动多少距离？xyo解：例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一静止均匀xyo解：4.刚体的势能一个不太大的刚体的重力势能=它的全部质量集中在质心时所具有的势能★

刚体重力势能：刚体质心与重力势能零点（地面）的高度差4.刚体的势能一个不太大的刚体的重力势能=它的全部质量注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适应于（质点+刚体）的混合系统。但计算动能时必须注意★

刚体动能5.刚体定轴转动的功能原理内注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚★刚体动能6.刚体的机械能守恒定律内若：则：常数若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。6.刚体的机械能守恒定律内若：则：常数若刚体转动过程中只例.一质量为m长为L的均匀细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时（1）质心C和端点A的线速度（2）质心C的线加速度解法一（1）研究对象：细棒受力分析：（不考虑）力矩零势面例.一质量为m长为L的均匀细棒OA可绕通过其一动能定理：=0方向：向左零势面因竖直位置M=0=0（2）动能定理：=0方向：向左零势面因竖直位置M=0=0解法二用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）解法三用运动方程（转动定律）求解：研究对象：细棒受力分析：mg（不考虑N）运动方程：零势面解法二用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）解法三七、定轴转动的角动量定理1．冲量矩2．刚体定轴转动的角动量3．刚体系定轴转动的角动量定理微分形式积分形式七、定轴转动的角动量定理1．冲量矩2．刚体定轴转动的角动量34．刚体系角动量守恒定律计算角动量时注意：★

质点角动量★

刚体角动量★有刚体时切忌用动量守恒，只能用角动量守恒4．刚体系角动量守恒定律计算角动量时注意：★质点角动量★★

注意：刚体系定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适应于（质点+刚体）的混合系统。★注意：刚体系定轴转动的角动量定理例5（0232）空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为

0。质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对与环的速度各为多少？例5（0232）空心圆环可绕光滑的竖直（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径）小球受力：环受力：重力、与轴、与小球之间作用力对所有力的力矩分析可知：两物体所受力关于轴

的力矩均等于零。（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径

所以，在

轴方向角动量守恒由于它们在运动过程中，在

轴向所受合外力矩为零，选小球和环为系统，对A、B点有:所以，在由于它选（小球+环+地球）为系统，

则系统机械能守恒。

取过环心的水平面为势能零点。选（小球+环+地球）则系统机械对于A、C点有对于A、C点有例6（0786）一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度V0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度（2）经过多少时间后，圆盘停止转动（忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩）例6（0786）一质量均匀分布的圆盘，质（1）解：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞前后角动量守恒（1）解：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞（2）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：根据定轴转动定律（2）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：根据定轴转动定律解二：对（圆盘+子弹）应用角动量定理解二：对（圆盘+子弹）应用角动量定理作业：P287~2885.155.165.195.20作业：P287~2885.155.165.例7（0141）一匀质细棒长为2L，质量为m。以与棒长方向相垂直的速度

V0在光滑水平面内平动时与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点位于棒中心的一方L/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕

O点转动时的角速度

例7（0141）一匀质细棒长为2L，质量解：碰撞前后角动量守恒。

计算碰撞前瞬时，杆对点o的角动量大小

棒上所有点角速度不同但有相等的平动速度。★

在棒上任意处取质量元特点：解：碰撞前后角动量守恒。计算碰撞前瞬时，杆★

质量元相对o点的角动量大小★质量元相对o点的角动量大小

棒上所有点平动速度不同，但有相等的角速度。

计算碰撞后瞬时，杆对点的角动量大小★结论：特点：棒上所有点平动速度不计算碰撞后瞬时，杆对例8（0785）如图所示，一半径为R，质量为的水平圆台，正以角速度

绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量。台上原站有俩人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心的B处。今A处的人相对于原