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文档简介

第五章

连分数1/44基本内容

连分数定义和性质：了解连分数相关概念，会证实每一个简单连分数都是一个实数。

实数表示为连分数：会证实任一无理数都可表为无限简单连分数，了解有理数连分数表示法。

循环连分数：了解二次代数数都是循环连分数，会求二次方根连分数。最正确渐近分数：

2/445.1连分数定义及性质3/444/445/446/44例

7/448/449/4410/44即11/4412/4413/4414/4415/445.2实数表示为连分数16/4417/4418/4419/44任一个有限简单连分数表示一个有理数。反之，任意一个有理数能够有恰好2种方式表示成一个有限简单连分数，其中一个含有奇数个项，另一个含偶数个项。任一个无限简单连分数表示一个无理数。反之，任意一个无理数能够唯一表示成一个无限简单连分数。若一个实无理数是一个整系数一元二次方程根，则称为二次无理数。任意二次无理数与循环简单连分数一一对应。20/44要把一个分数写成连分数，只要不停地把分子分母同时除以分子，将分子化为1。如37/99﹦？21/4422/44当然，连分数也可写成份数，如23/44实数连分数表示算法由来：

早在公元前三世纪，欧几里德就发觉了一个较优求连分数算法——辗转相除法，实际上就是求最大条约数辗转相除法。我们先往返顾一下辗转相除法，不过这次不用短除式，而尝试用等式来描述这个算法。

24/44既然上边式子成立，那么下面左式也会成立。

25/44例1用辗转相除法求942和1350最大条约数。26/4427/4428/44于是，有29/44例3斐波那契数列前项与后项之比极限（黄金比）为30/44如此重复，最终得31/4432/4433/44例434/44例535/44例636/44例737/445.3最正确渐近分数三个问题：一个分数连分数表示式是否可能永远写不完？（否）即便能写完，是否一定要把它写完？假如没有把它写完就截断，所得分数与原来分数有何关系？38/44首先，任何一个有理数一定能够写成有限连分数；任何一个无理数一定能够唯一地写成无限连分数；其次，利用分数连分数表示式逐次截断值（即，渐近分数）能够求出该分数近似值。39/44实数与它渐近分数有以

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