自由粒子的薛定谔方程课件

第二章波函数和薛定谔方程第二章波函数和薛定谔方程1§2.1波函数的统计解释

由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量（Ψ）来描述，称为波函数。1.波函数用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一个函数，它是位置和时间（t）的复值函数（复数）表示为或。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一

§2.1波函数的统计解释1.波函数22.量子力学基本假设

↓波函数假设：

微观体系的状态总可以用一个波函数与描写同一量子状态。来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且2.量子力学基本假设↓微观体系的状态总可以用一个波函数与描写33.波函数的性质和特点微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密）→电子投射的数目多→电子投射几率大取的面积大→里的电子数目多→几率大因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点3.波函数的性质和特点4德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即：波函数的一个重要性质。⑴玻恩-波函数的几率波解释：空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的小体积元即表示在点附近小体积元内找到粒子的几率。波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即：波函数的一个5

波恩是著名的理论物理学家，量子力学的奠基人之一。从1923年开始，他致力于发展量子理论，年轻的海森伯当时是他的助教和合作者，1925年海森伯天才地提出其“关于运动学和力学关系的量子理论”，波恩当即看到海森伯理论的表达形式与矩阵代数相一致，随后他和海森伯、约旦合作发表了长篇论文，以严整的数学形式全面系统的阐明了海森伯的理论。

波恩是著名的理论物理学家，量子力学的奠基人之一。6▲为什么用描述波函数而不用？

因为Ψ是复数，有物理意义的是，而不是Ψ。经典物理：一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。量子力学：所以在量子力学中，用来描述波函数的物理意义。量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方，所以Ψ也叫几率振幅，或几率幅。▲为什么用描述波函数而不用？因为Ψ是复数7练习1:解：

范围内的几率则可为任意范围，

→为内的几率设粒子波函数为，求在范围内发现粒子的几率？练习1:解：范围内的几率可为任意范围，8练习2:

设在球坐标中，粒子波函数为

求：①在球壳（

）中找到粒子的几率

)方向的立体角dΩ中找到粒子的几率②在（解：练习2:设在球坐标中，粒子波函数为求：①在球壳（）中找9⑵波函数的归一化量子力学第一基本假设告诉我们，与描写同一微观状态说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布如空间R与R点的相对概率：这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。⑵波函数的归一化量子力学第一基本假设告诉我们，与10实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，在整个空间出现的几率为1

数学上表示为：波函数的归一化条件满足上式的波函数

→归一化的波函数为方便引入符号归一化条件：

→

实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，数学上表示为：11量子力学基本假设告诉我们与描写同一量子状态，即描写同一量子状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归一化的波函数,（，C为常数）通常需要把波函数归一化（利用波函数的归一化条件）。量子力学基本假设告诉我们与描写同一量子状态12归一化常数C的解不确定，可以是正负实数，也可是复数δ为常数，可取任意常实数值为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。不讨论相因子（δ=0），即归一化的波函数不会有相因子的不确定性。量子力学基本假设告诉我们归一化常数C的解不确定，可以是正负实数，也可是复数13

例一已知一维粒子波函数为α（正数），为已知常数，A为任意常数。求：①归一化的波函数

②粒子坐标的几率密度分布

③粒子在何处出现的几率最大？

例一已知一维粒子波函数为α（正数），为已知常数，A14

解：

即归一化的波函数为①解：即归一化的波函数为①15②②16由

③时有极值

点为极大值即粒子在处出现的几率最大由③时有极值点为极大值即粒子在处出现的几率最大174.自由粒子运动的波函数——平面波自由粒子→不受外场的作用→保持原态→能量E和动量P不随时间变化即：自由粒子→E，P为常量→由德布罗意公式→→数学上为平面波数学上沿力轴正向传播的平面波可表示为：为常数4.自由粒子运动的波函数——平面波自由粒子→不受外场的作用→18量子力学中的波函数一般取复数形式，不能用实数形式所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：→沿X轴正向传播

具有确定动量的一维平面波：

单色平面波具有确定的动量、能量。量子力学中的波函数一般取复数形式，不能用实数形式所以19具有确定动量某一时刻，如，具有确定动量的平面波函数为：具有确定动量某一时刻，如，具有确定动量的平面波函数为：20§2.2态的迭加原理我们知道实物粒子波具有波粒二象性

↗可以用波函数的统计解释表现出来↘还可以用态的迭加原理表现出来1.态的迭加原理若体系具有一系列不同的可能状态,…,

,

…,

则这些不同的可能状态的线形叠加态,即为复常数)(也是该体系的一个可能的状态.§2.2态的迭加原理我们知道实物粒子波具有212.量子力学对态迭加原理的解释

在状态下→无论何时测量某物理量G(如能量),都有一个确定值在状态下→无论何时测量某物理量G(如能量),都有一个确定值根据态叠加原理:→体系可能态在Ψ态下测量力学量G,能得到什么样的结果呢?

在Ψ态下测量力学量G的结果,每次测得的结果是不确定的,即可能是

,也可能是

但不会是另外的值,而测得

及

的相对概率是确定的.

2.量子力学对态迭加原理的解释在状态下→无论223.任意波函数的平面波展开以一个确定的动量

运动的粒子的波函数为一个平面波:按照波函数的平面波展开规则有:

=

3.任意波函数的平面波展开以一个确定的动量运动的粒子的波函23取归一化常数

上式在数学上即是

的傅立叶展开

即:任意波函数

可以看成是将任意动量值

平面波叠加在一起,

实际上就是数学上的

的傅立叶展开(变换).

取归一化常数上式在数学上即是的傅立叶展开即:任意波244.动量表象中的波函数

傅立叶逆变换:我们从两个傅立叶变换式子中可看到,两式互为傅氏变换已知

就完全确定了,反之亦然.

←→

描写同一个量子状态,同一状态的两种不同描写方式4.动量表象中的波函数傅立叶逆变换:我们从两个傅立叶变换式25一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率密度分布,我们只讨论一维情况取某时刻,如取t=0一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率取某时刻,如取26例题一维运动的粒子处在状态

求:①粒子在动量表象中的波函数

②粒子坐标几率密度分布③粒子动量几率密度分布例题一维运动的粒子处在状态求:①粒子在动量表象中的27解:

不随时间变化,所以是一维①

=

=

解:不随时间变化,所以是一维①==28②

③

=

②③=29§2.3薛定谔方程量子力学基本假设I(波函数假设)→完全描述体系状态通过态的叠加原理→可以以坐标表象

也可以以动量表象

来完全描述

量子力学基本假设II(薛定谔方程假设)体系状态波函数

满足薛定谔方程:

其中

为体系的哈密顿算符

也可以以动量表象

也可以以动量表象

也可以以动量表象

§2.3薛定谔方程量子力学基本假设I(波函数假设)→完30自由粒子的薛定谔方程一个自由粒子(

)波函数的一个平面波:

→是自由粒子薛定谔方程的解对时间求其一阶偏导及对坐标求其一阶和二阶偏导,可得:自由粒子的薛定谔方程一个自由粒子()波函数的一个平面波:31对于自由粒子,能量与动量的关系:

(μ为粒子的质量)

两边同乘

→自由粒子的薛定谔方程对于自由粒子,能量与动量的关系:(μ为粒子的质量)两边322.势场中的粒子的薛定谔方程势场中运动的粒子，总能E=动能T+势能

两边同乘

→势场中运动粒子的薛定谔方程2.势场中的粒子的薛定谔方程势场中运动的粒子，总能E=动33经典分析力学中，通常用哈密顿量H表示粒子总能量等于动能与势能的和，H=T+U

即，

→哈密顿算符自由粒子

，所以

→薛定谔方程或含时薛定谔方程经典分析力学中，通常用哈密顿量H表示粒子总能量即，→343.多粒子体系的薛定谔方程N粒子体系，其坐标分别为

，体系总波函数

为

的函数，即

体系总能量为：

体系势能（N个粒子在外场中的势能

+粒子间的相互作用能

3.多粒子体系的薛定谔方程N粒子体系，其坐标分别为，体系总35两边同乘

且

练习：写出氦原子（核+2e电荷）中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。两边同乘且练习：364.算符小结

能量算符：

动量算符：

动能算符：

势能算符：

哈密顿算符：

4.算符小结能量算符：动量算符：动能算符：37§2.4定态与定态薛定谔方程含时薛定谔方程→波函数如何随时间演化→这个波函数是普遍的，可以描写任意量子态→这些量子态中包括能量本征态（每次测得都是确定的能量值，平面波（自由粒子态）），动量本征态（动量测得确定值的态），能量叠加状态（能量测不出确定值）1.定态能量具有确定值的状态。（

不含时，保守场）

定态时，波函数及薛定谔方程是什么样的数学形式？?§2.4定态与定态薛定谔方程含时薛定谔方程→波函数如38不显含时间时，薛定谔方程的解含时薛定谔方程：U不含时→分离变量法：设②①②代入①得：整理后可得到两个方程:ⅰⅱ不显含时间时，薛定谔方程的解含时薛定谔方程：39求ⅰ得：求ⅱ得：→定态薛定谔方程（不含时）→定态波函数求ⅰ得：求ⅱ得：→定态薛定谔方程（不含时）→定40练习1自由粒子的单色平面波是否处于定态？答：是。无外场→定态。练习1自由粒子的单色平面波是否处于定态？答：是。无外场→定态41练习2几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？答：不是，因为能量不确定。练习3两个沿相反方向传播的具有相同能量（同色）的平面波叠加态是否为定态？

答：是，驻波。（详见教材37页）练习2几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？答：不是，因为能42讨论定态问题：▲求体系定态波函数

及与此定态相对应的能量E（

）。

解薛定谔方程：

不含时时，含时薛定谔方程的通解：

→不是定态，

是常数讨论定态问题：▲求体系定态波函数及与此定态相对应的能量E（43定态波函数的初试状态（设t=0）任意时刻波函数的坐标部分

t=0时：

→定态下，坐标几率密度分布不随时间变化。

不含时，知道初试时刻的波函数，乘时间因子就能知道t时刻的波函数。

定态波函数的初试状态（设t=0）任意时刻波函数的坐标部分t44练习1一维自由粒子，设，求

解：

不显含t,定态

∴练习1一维自由粒子，设，求解：不显含t,定态∴45练习2设一非定态t=0时，

，求解：练习3当体系势能改变一常数，即，粒子的能量本征函数是否改变？能量本征值是否改变？练习2设一非定态t=0时，，求解：练习3当体系势能改46§2.5几率流密度与几率守恒定律

体系波函数随时间的变化规律满足薛定谔方程，而ψ无经典物理意义，有物理意义的是

几率密度，那么一个在势场

它的几率密度随时间的变化满足什么样的方程呢？中运动的粒子，§2.5几率流密度与体系波函数随时间的变化47几率守恒定律体系状态波函数：

坐标几率密度：ω随时间的变化率：----------①

--------②几率守恒定律体系状态波函数：坐标几率密度：ω随时间的变化48假定

不含时，并且为实数，即

则上式的复共轭方程为：

---------------③

将②，③代入①中，得：

假定不含时，并且为实数，即则上式的复共轭方程为：---49令

则

即：

经典物理的连续性方程，量子称为几率守恒定律（微分式）也叫粒子数守恒定律。令则即：经典物理的连续性方程，量子称为几率守恒定律（502.几率流密度与几率守恒的物理解释⑴几率流密度物理意义：

位置（坐标）几率密度，表示t时刻，

点附近单位体积内发现粒子的几率。按照连续性方程，

应具有流密度

的含义，所以叫几率流密度。

2.几率流密度与几率守恒的物理解释⑴几率流密度物理意义：位51

为了进一步说明，对连续性方程两边，对空间任意体积V求积分得：→几率守恒定律（积分形式）→几率流密度为了进一步说明，对连续性方程两边，对空间任意体积V求积分得52★几率为什么会流动呢？在外场的作用下，粒子在处出现的几率密度可能会随时间变化，有的地方密度增加了,有点地方密度减少了,(而非相对流粒子不产生，不湮灭，总数目不变），这表明几率在流动。？大小：单位时间内流过垂直于流动方向单位面积的几率。

方向：该点几率流动的方向。（算出

矢量的方向）。

练习：若波函数

与坐标有关的部分是实数，证明几率流密度等于零。

证明：

为实数波函数，即

，即实数波函数的

几率流密度为零。

★几率为什么会流动呢？在外场的作用下，粒子在处出现的几率53

⑵几率守恒（全空间）对几率守恒定律的积分式，对全空间积分，则无S界面（V）之外的几率（粒子），所以通量为0即，对一个粒子来说，在全空间发现该粒子的几率与时间无关，为常数；但是在有效体积V内找到粒子的几率与时间有关。⑵几率守恒（全空间）对几率守恒定律的积分式，对全空间积分543.波函数的标准条件：单值性、连续性、有限性

⑴单值性波函数的物理特点：完全描述状态。

数学要求满足哪些条件呢？坐标几率密度，物理上要求它是单值的这样

不一定是单值的，但只要

是

t的单值函数，

就是单值的，这就是波函数单值性的含义。

3.波函数的标准条件：⑴单值性波函数的物理特点：完全描述状55

⑵连续性及

连续薛定谔方程：

，对坐标的二阶导数

要求

及其对坐标的一阶导数

连续：

r=a势场跳跃处

一个粒子不可能进入U=∞的空间，这就是意味着ψ=0。⑵连续性及连续薛定谔方程：，对坐标的二阶导数56

⑶有限性（平方可积性）即粒子在有限的空间范围内出现的几率有限。

在势能间断点处边界条件的实质是，要求概率密度连续和概率流密度连续。在多数情况下，这种要求可以简化为波函数连续和其一阶导数连续。在特殊情况下（如U=∞），其波函数一阶导数不连续，但其几率流密度却是连续的。⑶有限性（平方可积性）即粒子在有限的空间范围内出现的几率有57§2.6定态问题→一维无限深势阱对称势场：一个质量为的粒子在中做一维运动。-aa∞102∞3x一维无限深势阱→最简单的势形式，少数几个有解析解的。金属中自由电子的运动就可以简化为近似的这种势，,电子跑不出去。§2.6定态问题→对称势场：一个质量为的粒子在中做58列方程，解出与

不含时，定态薛定谔方程阱外，→定态薛定谔方程（能量本征方程）波函数连续,有限,粒子进不到势场为∞的区域：列方程，解出与不含时，定态薛定谔方程阱外，→定态薛定59阱内，其解为：经过整理计算,我们可以得到:阱内，其解为：经过整理计算,我们可以得到:60讨论：

束缚态与分立能级粒子被束缚在的区域内，不可能进入处。束缚态：粒子的运动被限制在一定（有限）的空间范围内，即，称为束缚态。→束缚态能级是分立的→分立能级（方程的解不只一个，具有周期性,)讨论：束缚态与分立能级粒子被束缚在的区域内，不可能进61②基态：体系能量最低的状态→基态量子特征：微粒波动性的体现，没有能量为零的波，量子力学

中没有静止（E=0）的粒子。经典物理：有E=0的静止的粒子。②基态：体系能量最低的状态→基态量子特征：微粒波动性的体现62③激发态（n＞1）能级-aax基态第一激发态第二激发态第三激发态③激发态（n＞1）能级-aax基态第一激发态第二激发态第三激63④阱内驻波完全束缚在阱内，粒子处于束缚态一点也传不出去→驻波驻波条件：-a与a处为节点处.将实物粒子波代入上式，并平方得：：体系可能的能量，④阱内驻波完全束缚在阱内，粒子处于束缚态一点也传不出去→驻波64⑤对称势阱中波函数的宇称宇称：波函数在空间反演下的奇偶性。偶宇称态奇宇称态n为奇数：→偶宇称态基态波函数⑤对称势阱中波函数的宇称宇称：波函数在空间反演下的奇偶性。65n为偶数:→奇宇称态第一激发态⑥阱内粒子的第n定态波函数n为偶数:→奇宇称态第一激发态⑥阱内粒子的第n定66练习1：P522.6只有对称势场（对原点对称）即,相应的能量本征函数才有确定的宇称。练习2：势变为：或问:是否变?是否变?试求之。练习1：P522.6只有对称势场（对原点对称）即67§2.7定态问题→一维线性谐振子§2.7定态问题→68自由粒子的薛定谔方程课件694.讨论能量量子化，分立能级→束缚态→分立能级无限深势阱②基态能量：n=0

→零点能，与经典不同，量子力学中没有“能量为0、静止”的波4.讨论能量量子化，分立能级→束缚态→分立能级无限深70③均匀能级能级差：→均匀能级0x→基态→第一激发态③均匀能级能级差：→均匀能级0x→基态→第一71④

的宇称（对称势→有确定的宇称）

n为奇数→奇宇称n为偶数→偶宇称

⑤基态波函数n=0

→正态分布，高斯分布④的宇称（对称势→有确定的宇称）n为奇数→奇宇称⑤720x经典X=0处，几率密度最大，找到谐振子的概率最大。

而经典：X=0处，动能最大，ν最小,时间最短，所以找到粒子的几率最小；两边找到粒子的几率大0x经典X=0处，几率密度最大，找到谐振子的概率最大。73⑥量子谐振子波函数及位置纪律密度分布图⑴粒子在原点出现的几率要么最大（n为偶数），要么为0（n为奇数）⑵粒子有一定的几率出现在经典禁区内量子不成立）,(即粒子的总能量小于势能的区域），即势能曲线以外的区域，量