浅谈隐函数及其应用毕业论文

哈尔滨工业大学工学硕士学位论文-PAGEII--PAGEII-分类号：学校代码：11460学号：11201910南京晓庄学院本科生毕业论文浅谈隐函数及其应用Ontheimplicitfunctionanditsapplication所属院(部)：信息工程学院学生姓名：王林林指导教师：马圣容研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进行了简单的介绍。首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明【Abstract】Inthispaper,thecontentsoftheimplicitfunctiontheorem,theconceptofimplicitfunction,theproofmethod,andtheapplicationoftheimplicitfunctiontheoremarebrieflyintroduced..Fromtheimplicitfunctiontheorem,weintroduceandprovetheimplicitfunctiontheoremandinversefunctiongrouptheorem..Throughtheseinferences,weknowthattheimplicitfunctiontheoremiswidelyusedinmanyaspects..Atlast,theapplicationoftheimplicitfunctiontheoreminthecalculationofpartialderivativeandderivative,anditsapplicationingeometricalapplicationarediscussed.【Keywords】implicitfunctiontheorem;Application;Optimizationtheory;proofPAGEXVIII--目录摘要 IAbstract II绪论 1第1章隐函数 21.1隐函数 21.2隐函数组的概念 21.3反函数组的概念 3第2章隐函数定理 42.1隐函数定理 42.2隐函数组定理 62.3反函数组定理 7第3章隐函数定理的应用 93.1计算导数和偏导数 93.1.1隐函数的导数 93.1.2隐函数组的导数 93.1.3对数求导法 103.1.4由参数方程所确定的函数的导数 103.2几何应用 113.2.1空间曲线的切线与法平面 113.2.2空间曲面的切平面与法线 13结论 18参考文献 19致谢 20-PAGE17-绪论我们平时所遇到的大多是显函数，但是在实际问题中，有些问题显函数是无法解决的。隐函数的产生为现实生活中的很多问题带来了便捷。本论文就隐函数的定理做了一些研究，并列举了一些实例，对此进行了有效的验证。通过对隐函数的几个方面的研究，使我对加深了对隐函数的认识。文章主要介绍了隐函数定理等相关推论，并给出了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这两个方面上的应用. 第一章隐函数1.1隐函数函数（对应关系）大多是用自变量的数学表达式来表示的，通常称这样的函数为显函数.例如，=.定义1.1如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数例如，能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f(x),如果从方程中把y解出，这个函数也可以用表示为隐函数形式不是所有的隐函数都能写成的形式，如，所以隐函数不一定是函数，而是方程.换句话说，方程不一定是函数，但函数都是方程。1.2隐函数组的概念定义1.2设有方程组其中为定义在上的4元函数，若存在平面区域D，，对于D中每一点（x,y)，有唯一的,使得，且满足方程组，则称由方程组确定了隐函数组并在D上成立恒等式第二章隐函数定理2.1隐函数定理定理2.1定理2.1若函数满足下列条件(1)F在以内点的某一区域上连续，(通常成为初始条件）F在内存在连续的偏导数(4)则有下列结论成立：①在区间内连续；②存在点的某领域在.上方程唯一地决定了一个定义在某区间上的（隐）函数使得当时，且证先证明隐函数f的存在性与惟一性.∵，∴是连续的，∵我们知道的连续性与局部保号性，且闭矩形域有∴，对任意的，在上严格单调增加.∵，∴可得又由于在上是连续的，∴存在，使得∴对每一个固定的，在上都是单调递增的连续函数，∵零点存在定理，存在惟一的，使得.因此由与的对应关系就确定了一个函数，其定义域为，值域包含于，记为：从而结论①得以证明.再证明的连续性.对于上的任意点,则由上述结论可知任给且足够小，使得由及关于严格递增，可得，根据保号性，知存在的某领域，使得当时同样有因为存在唯一的，使得,即这就证明了当时,，即在连续，由得任意性，可得在上连续最后证明隐函数的可微性.任取和都属于，它们相对应的隐函数值为和，那么由多元函数微分中值定理，可得在这里，.因此，当充分小时.因为和是连续的，取极限可得且在内连续.相应的，我们能够得出由方程所确定的元隐函数的存在定理：定理2.2如果f(x)满足下列几个条件(1)；(2)在点的一个邻域内,函数连续；(3)，那么则有以下结论成立：①在邻域内连续；②在邻域内具有连续的偏导数，满足.例2.1验证方程在原点的某邻域内确定唯一的连续函数.证明由于与都在上连续，当然在点的邻域内连续，且由此可知方程在点的某邻域内确定唯一连续的隐函数.例2.22.2隐函数组定理定理2.3设以及它们的一阶偏导数在以点为内点的某区域内连续，且满足(1)(2)则在的某邻域内唯一确定两个隐函数，，结论如下：①，则有②在邻域内具有连续的一阶偏导数，且例2.2验证方程组在点的邻域内确定隐函数组，并求，.解令，则：与以及它们的一阶偏导数都连续且，所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组在方程两端同时对求导得解得，2.3反函数组定理定理2.4若函数组满足如下条件：(1)均具有连续的偏导数(2)则函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且有，，，及或定理2.5若函数组满足如下条件：(1)均具有连续的偏导数(2)则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且有例：设平面上点P的直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为求反函数组解：由于∴反函数组是，第三章隐函数定理的应用3.1计算导数和偏导数3.1.1隐函数的导数例求由方程所确定的函数的导数.解将方程两端对求导数，由于方程中的是的函数，从而是的复合函数。于是得FORMTEXT     3.1.2对数求导法例3.3求函数的导数解：等号两端绝对值的对数，有由隐函数的求导法则，有即3.1.3由参数方程所确定的函数的导数由参数方程确定了是的函数，则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中为参数．参数方程所确定的函数求导法：设函数的单调连续的反函数为，而且能与函数复合成复合函数，由此所确定的函数可以当做是与复合而成的函数，如果，都是可导函数，且，则：；；即若都二阶可导，则有：例3.4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为求抛物体在此时刻的运动速度的大小和方向.解水平方向：因为速度的水平分量为，垂直分量为，所以抛物体运动速度为速度方向：轨道的切线方向，设是切线的倾角，则所以抛物体刚射出（即）时当时由此证明，此时运动方向是水平的，抛物体已经达到最高点.3.2几何应用3.2.1空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线C的参数方程是（区间）（1）切线方程是（2）切线法平面的方程是或例1.求螺旋线处的切线方程与法线方程.解：切线方程是即法线方程是设空间曲线的方程为.当空间曲线点附近可表示成参量方程如下：，，，且在处的法平面方程切线方程为例2求球面与锥面所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。解：设在点(3,4,5)处的雅可比行列式和偏导数的值为：，，且∴切线方程：法平面方程：3.2.2曲面的切平面与法线1.设曲面为S，S上的任意点的切平面方程是即切平面的法向量是n.于是，法线方程是例3.求曲面上在点的切平面方程与法线方程.解：于是，曲面在点的切平面方程与法线方程分别是与或例4求椭圆面在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程。解：设因为在整个空间上处于连续状态.在处.切平面方程为得，法线方程为结论文章主要从隐函数的概念、隐函数定理、隐函数在计算导数和偏导数以及几何方面的应用入手，其中着重介绍了隐函数的在计算导数和偏导数，几何方面两大板块。在撰写论文的时候，也遇到了很多难点，例如如何能够将理论知识具体、深刻、形象的运用到实际问题中。本文介绍并证明了隐函数连续性定理、可微性定理及存在性定理。通过这些定理，我们得出了反函数定理。通过隐函数，导数的计算变的更加快捷简便，本文通过列举了一系列的例子对此进行了有效的验证。此外隐函数求导数在空间几何等方面也有着一定的用途。例如计算空间曲线的切线与法平面和空间曲面的切平面与法线参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].高等教育出版社,2010.[2]杜继宏，隐函数存在的充分必要条件[J].清华大学学报(自然科学版)，1999,39(1),75-78.[3]陈传璋,金福临.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社,1962:201-204.[4]吉米多维奇(苏)，数学分析习题全解(五)[M].安徽人民出版社，2007:152-156.[5]张骞，隐函数求导法在导数计算中的作用[J].陇东学院学报，2004，14(2),14-16.[6]倪敬能，关于隐函数求导问题的归纳与总结[J].巢湖学院学报(自然科学版)，2002，,4(3),3-5.[7]陆全，隐函数求导在曲线、曲面设计中的应用[J].高等教学研究报，2005，8(2)，54-55.[8]胡华，隐函数定理的一个推广及应用[J].广西民族学院学报(自然科学版)，2000，6(2)，2-5.致谢通过半年的努力，终于将毕业论文顺利完成，在此过程中，我衷心的感谢的马圣容老师，感谢您这段时间的悉心指导，没有您的指导，我不可能顺利完成毕业论文的撰写。除此之外，我还要感谢跟我共同度过大学四年的老师、同学、朋友，是你们让我从一个什么都不懂的高中生，慢慢的成长起来，对未来充满了憧憬。感谢你们对我一直以来的帮助与关怀！最后由衷的感谢各位评委、专家，谢谢您们提成的宝贵意见！基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系统中的应用基于ATmega16单片机的流量控制器的开发