江西省重点中学盟校高考数学第二次联考试卷（理科）

2021年江西省重点中学盟校高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x≤}，N＝{x|x2≤1}，则（∁RM）∩N＝（）A．（，1） B．（，1] C．[，1] D．[，1）2．已知数列{an}为等比数列，公比为q，若a5＝4（a4﹣a3），则q＝（）A．4 B．3 C．2 D．13．i为虚数单位，z1＝sin+icos，z2＝cos+isin，则|z1z2|＝（）A．1 B．2 C． D．4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂β，α∩β＝b，则“a⊥α”是“a⊥b”（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．设，是两个不共线的平面向量，若＝3﹣2，＝+k，且与共线，则实数k的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．6．设a＝4，b＝（）﹣，c＝ln7，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．在（x﹣）6的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为（）A．15 B．﹣15 C．20 D．﹣208．如图所示的程序框图，若输入正整数n＝5，那么输出的结果S＝（）A．13 B．25 C．46 D．849．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为的直线l交双曲线右支于点P，若线段PF1的长度正好等于双曲线的焦距，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2﹣ D．2+10．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化．”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（）A．一或三． B．二或三 C．二或五 D．四或六11．已知函数f（x）＝，则f（x）在（0，10）上的零点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．912．在四面体ABCD中，AB＝2，CD＝4，AC＝AD＝BC＝BD＝4．则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．84π B．96π C．100π D．112π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an+12＝Sn+1+Sn+2，则++⋯+＝．15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（0，）上恰有2个极值点，则ω的取值范围为．16．已知抛物线y2＝4x，斜率小于0的直线l交抛物线于A（1，2）、B两点，点Q是线段AB的中点，过点Q作与y轴垂直的直线l，交抛物线于点C，若点P满足2＝，则直线OP的斜率的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（bcosC+ccosB）sinB+bcosA＝0．（1）求A；（2）若c＝2，a＝2，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长．18．如图①，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，D为AC上一点，AD＝3，现将△ABC沿BD翻折至图②所示，使得平面ABD⊥平面BCD．（1）若点E在BC上，满足DE⊥AB．求证：DE⊥平面ABD；（2）求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．19．2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛，为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；（2）现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求P（X＝2）；（3）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如表：奖品数量（单位：本）24概率现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），0为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B，点D（0，2），椭圆C的离心率为，且∠OAB＝∠ODA．（1）求椭圆C的方程；（2）不与x轴平行的直线1与椭圆C交于不同点P、Q，已知点P关于x轴对称点为点M，点Q关于原点的对称点为点N，且D、M、N三点共线，求证：直线l过定点．21．设函数f（x）＝ex+tx2+s（x≥0）在点（1，f（1））处的切线为y＝（e﹣1）x﹣．（1）求t，s的值，并证明：f（x）≥x；（2）若∀x＞0，a＞﹣1，不等式＞恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcos（θ+）+1＝0．（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）设P（0，），直线1交曲线C于M，N两点，求+的值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|，函数g（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣a），a＞0．（1）求不等式f（x2﹣1）﹣f（x﹣1）≥x+3的解集；（2）若函数g（x）的最小值为﹣1，且正实数m，n满足m+n＝a，求+的最大值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x≤}，N＝{x|x2≤1}，则（∁RM）∩N＝（）A．（，1） B．（，1] C．[，1] D．[，1）解：∵集合M＝{x|x≤}，N＝{x|x2≤1}，∴∁RM＝（，+∞），N＝[﹣1，1]，则（∁RM）∩N＝（，1]．故选：B．2．已知数列{an}为等比数列，公比为q，若a5＝4（a4﹣a3），则q＝（）A．4 B．3 C．2 D．1解：由题意，得＝4（﹣），解得q＝2．故选：C．3．i为虚数单位，z1＝sin+icos，z2＝cos+isin，则|z1z2|＝（）A．1 B．2 C． D．解：∵z1＝sin+icos，z2＝cos+isin，∴，，则|z1z2|＝|z1||z2|＝1×1＝1．故选：A．4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂β，α∩β＝b，则“a⊥α”是“a⊥b”（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解：①若a⊥α，α∩β＝b，则b⊂α，∴a⊥b，∴充分性成立，②若a⊥b，则a与α不一定垂直，∴a⊥α是a⊥b的充分不必要条件，故选：B．5．设，是两个不共线的平面向量，若＝3﹣2，＝+k，且与共线，则实数k的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．解：因为＝3﹣2，＝+k，且与共线，所以＝，解得k＝﹣，所以实数k的值为﹣．故选：C．6．设a＝4，b＝（）﹣，c＝ln7，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：a＝4＝2，b＝（）﹣＝2，所以a＞b＞2，而c＝ln7＜lne2＝2，所以a＞b＞c．故选：A．7．在（x﹣）6的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为（）A．15 B．﹣15 C．20 D．﹣20解：在（x﹣）6的展开式中，令x＝1，可得所有项的系数和为（1﹣aπ）6＝0，∴a＝．则展开式中的常数项为•（﹣aπ）3＝﹣20，故选：D．8．如图所示的程序框图，若输入正整数n＝5，那么输出的结果S＝（）A．13 B．25 C．46 D．84解：模拟程序的运行，可得S＝2，k＝2，不满足k＞5；S＝6，k＝3，不满足k＞5；S＝13，k＝4，不满足k＞5；S＝25，k＝5，不满足k＞5；S＝46，k＝6，此时，满足k＞5，退出循环，输出S的值为46．故选：C．9．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为的直线l交双曲线右支于点P，若线段PF1的长度正好等于双曲线的焦距，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2﹣ D．2+解：双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为的直线l，可得tan∠PF1F2＝，cos∠PFF1F2＝＝，解得e＝2+．故选：D．10．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化．”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（）A．一或三． B．二或三 C．二或五 D．四或六解：若这个月为31天，则该月1日为星期天，符合题意，此时3日为星期二；若这个月为29天，则该月1日为星期一，符合题意，此时3日为星期三．故选：B．11．已知函数f（x）＝，则f（x）在（0，10）上的零点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：函数y＝|lnx|与y＝sinx的图象在（0，1）和[1，3]内各有一个交点，根据周期性可知，在（0，10）内共有7个交点，即函数f（x）在（0，10）上有7个零点．故选：B．12．在四面体ABCD中，AB＝2，CD＝4，AC＝AD＝BC＝BD＝4．则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．84π B．96π C．100π D．112π解：如图，取CD的中点E，分别延长AE、BE至O2，O1，使得BE＝EO1，AE＝EO2，分别过O1、O2作平面BCD、平面ACD的垂线，交于点O，则O为该四面体的外接球的球心，∵BC＝BD＝4，CD＝，∴BE＝，cos∠CBD＝，sin，则，得EO1＝2．同理可求得AE＝EO2＝2，在△AEB中，由余弦定理求得，故可得，则外接球的半径．∴该四面体外接球的表面积为4πR2＝112π．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），由z＝x+2y，得y＝，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an+12＝Sn+1+Sn+2，则++⋯+＝．解：由a1＝2，an+12＝Sn+1+Sn+2，可得当n＝1时，，解得a2＝﹣2（舍去）或a2＝3；当n≥2时，an2＝Sn+Sn﹣1+2，两式联立可得，即an+1﹣an＝1，验证n＝1时满足，故{an}是首项为2，公差为1的等差数列，则an＝2+1×（n﹣1）＝n+1．∴，++⋯+＝＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（0，）上恰有2个极值点，则ω的取值范围为（，]．解：∵函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+）（ω＞0），f（x）在（0，）上恰有2个极值点，ωx+∈（，+），∴＜+≤，求得＜ω≤，则ω的取值范围为（，]，故答案为：（，]．16．已知抛物线y2＝4x，斜率小于0的直线l交抛物线于A（1，2）、B两点，点Q是线段AB的中点，过点Q作与y轴垂直的直线l，交抛物线于点C，若点P满足2＝，则直线OP的斜率的最大值为．解：设直线l为y﹣2＝k（x﹣1），联立得，整理得ky2﹣4y+8﹣4k＝0，则2+yB＝，∴yB＝，xB＝，∵Q为AB的中点，∴xQ＝＝，yQ＝＝＝yC＝yP，∴xC＝，∵2＝，∴xP＝3xC﹣2xQ＝，∴kOP＝＝＝，∵k＜0，∴﹣2k﹣≥2，当且仅当﹣2k＝﹣时取等号，∴kOP的最大值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（bcosC+ccosB）sinB+bcosA＝0．（1）求A；（2）若c＝2，a＝2，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长．解：（1）由正弦定理及（bcosC+ccosB）sinB+bcosA＝0．得（sinBcosC+sinCcosB）sinB+sinBcosA＝0．因为sinB＞0，所以sin（B+C）+，即sinA＝﹣cosA，所以tanA＝﹣，由A为三角形内角得A＝；（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以12＝b2+4+2b，解得b＝2或b＝﹣4（舍），△ABD中，BD为∠ABC的平分线，∠ABD＝，则∠ADB＝，由正弦定理得，所以BD＝．18．如图①，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，D为AC上一点，AD＝3，现将△ABC沿BD翻折至图②所示，使得平面ABD⊥平面BCD．（1）若点E在BC上，满足DE⊥AB．求证：DE⊥平面ABD；（2）求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：取BD中点O，因为AB＝AD＝3，所以OA⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以OA⊥平面BCD，因为DE⊂平面BCD，所以DE⊥OA，因为DE⊥AB，AB∩OA＝A，AB⊂平面ABD，OA⊂平面ABD，所以DE⊥平面ABD；（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，过C作CF⊥x轴于F，DC＝AC﹣AD＝2，∠CDF＝ADB＝30°，AB＝AD＝3，OA＝，OB＝OD＝，DF＝2•cos30°＝，CF＝2•sin30°＝1，＝（﹣，1，﹣），＝（，0，﹣），＝（﹣，0，﹣），设平面ACB与平面ACD的法向量分别为＝（x，y，z）与＝（u，v，w），，令x＝1，＝（1，4，），，令u＝2，＝（1，，﹣），由图知二面角D﹣AC﹣B为钝角，所以二面角D﹣AC﹣B的余弦值为﹣＝﹣＝﹣．19．2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛，为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；（2）现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求P（X＝2）；（3）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如表：奖品数量（单位：本）24概率现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）因为0.025+0.15+0.20＝0.375，0.025+0.15+0.20+0.25＝0.625，设这200名同学竞赛成绩的中位数为x，则0.025+0.15+0.20+0.025（x﹣60）＝0.5，解得x＝65，竞赛成绩不低于80分的学生人数为200×（0.10+0.05）＝30．（2）由题意可知，抽取的9人中，竞赛成绩不低于90分的学生人数为3，所以P（X＝2）＝；（3）设这名同学获得数量为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，8，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝6）＝，P（ξ＝8）＝，ξ2468PE（ξ）＝2×+4×+6×+8×＝．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），0为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B，点D（0，2），椭圆C的离心率为，且∠OAB＝∠ODA．（1）求椭圆C的方程；（2）不与x轴平行的直线1与椭圆C交于不同点P、Q，已知点P关于x轴对称点为点M，点Q关于原点的对称点为点N，且D、M、N三点共线，求证：直线l过定点．【解答】（1）解：由题意可得：，又∵∠OAB＝∠ODA，∴tan∠OAB＝tan∠ODA，∴，∴a2＝2b，∴2b2＝2b，∴，故椭圆的方程为．（2）证明：由题意，可设直线l：x＝my+n，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，−y1），N（−x2，−y2），联立方程，得（m2+2）y2+2mny+n2−2＝0，∴．△＝4m2n2−4（m2+2）（n2−2）＞0，即m2+2＞n2．，∵D，M，N三点共线，∴，∴x1（−y2−2）＝x2（y1+2），∴（my1+n）（−y2−2）＝（my2+n）（y1+2），∴2my1y2+（2m+n）（y1+y2）+4n＝0，∴，∴m＝2n，直线l过定点．21．设函数f（x）＝ex+tx2+s（x≥0）在点（1，f（1））处的切线为y＝（e﹣1）x﹣．（1）求t，s的值，并证明：f（x）≥x；（2）若∀x＞0，a＞﹣1，不等式＞恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）证明：函数f（x）＝ex+tx2+s，则f'（x）＝ex+2tx，因为f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝（e﹣1）x﹣，则有，即，解得，则，令g（x）＝f（x）﹣x＝，则g'（x）＝ex﹣x﹣1，令h（x）＝g'（x）＝ex﹣x﹣1，则h'（x）＝ex﹣1≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）＝0，所以f（x）≥x；（2）由a＞﹣1，可得对x＞0恒成立，令F（x）＝ln（x+1）（ex﹣1）﹣x2，由（1）可知，（当且仅当x＝0时取等号），则当x＞0时，F（x）＞，令，则，故μ（x）在（0，+∞）上单调递增，则μ（x）＞μ（0）＝0，所以