2022年河南省洛阳市艺术中学高三数学理月考试卷含解析

2022年河南省洛阳市艺术中学高三数学理月考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共5（）分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a,灯塔A在C的北偏东20°,灯塔B在C的南偏

东40。，则灯塔A与灯塔B的距离为（）

A.aB.aC.aD.2a

参考答案：

B

略

_a/i

X------=I

2.设点Fi、F2是双曲线3的两个焦点，点P是双曲线上一点，若

3|正耳卜4|%|则4行遥的面积等于（）

A、3而B、5J3c、4石D、2而

参考答案：

A

3.下列叙述中，正确的个数是（）

①命题P："上€R，/-2三0，，的否定形式为力：““€11,x'-2<0，，；

②。是AABC所在平面上一点，若与OB^OBOC•OCOA,则。是aABC的垂

心；

（-）*>（2/

③"M>N〃是"3'3〃的充分不必要条件；

④命题“若3r-4・0,则x=4〃的逆否命题为〃若则/-弥-“。〃.

A.lB.2C.3D.4

参考答案：

C

略

4.已知/（x）=（x_a）（x_B）（a>b）的图像如图所示，则函数g（x）=a*+6的图像是

（）

参考答案:

A

略

5.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展

台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间

隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（）

A.60B.54C.48D.42

参考答案:

D

6.已知函数取+】）是奇函数，aT）是偶函数，且烦=2禺我母=（)

A.-

2B.0C.2

D.3

参考答案：

A

7.从双曲线于一的左焦点产引圆=3的切线々交双曲线右支于点?，7•为切

点，

“为线段”的中点，O为坐标原点，则IAQITM1等于（）

A.百B.5cs-出D.君+、月

参考答案：

C

8.已知三棱锥S-&C外接球的表面积为32<,"C=9®°,三棱锥S-/"C的三视图

如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）

参考答案:

A

9.已知全集是实数集R,M={XWR[X<l+j2},N={1,2,3,4},则（CRM）CN等

于（）

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,

4}D.{1,2,3,4）

参考答案：

B

略

10.执行如图所示的程序框图，则输出S=（）

/.出S/

A.26B.57

C.120D.247

参考答案：

B

程序在运行过程中各变量的值如下表示:

♦否♦修・环*s

.

<311

«426

<S夕

嫉五■5

故选B

考点：程序框图.

【方法点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题

型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该

程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出K>4时，变量S的值，模拟程序的运

行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

(n\1

ae—,xtan|a+—|=一

11.已知12，，I*7,则Ea・crea_

参考答案：

5

【分析】

利用两角和的正切公式，可以求出5a,根据同角三角函数的关系，结合

可以求出由icucosa,最后求出血ia+8sa的值.

【详解】解:

1itana1

r.l-tma7

3

t»a=—

解得4,

•TA),

.,由12a♦cos'a=1…①

sittA

tind=------

cosa,…②

解①②得5*5

341

jana♦cosa=———=—一

555.

1

故答案为：5

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，考查了数学运算能力.

xNl

(x-1y+1W0

12.已知匕x-¥-2S0,则―十丁的最小值为

参考答案：

5

略

13.如图，直线POJ■平面M,垂足为0,直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，其

中NAP0=a,过点P的动直线PB交平面M于点B,NAPB=p,则下列说法正确的是

①若由『,产=90',则动点B的轨迹是一个圆；

②若aw0*，£=90#,则动点B的轨迹是一条直线；

③若aw0*.£w91且a+户=90',则动点B的轨迹是抛物线；

④aw0*.£w9(/且a+产>90’，则动点B的轨迹是椭圆；

⑤aw(X.£w90tf且a+乃v90’，则动点B的轨迹是双曲线；

②③

14.函数f(x)的定义域为(-8,-1)U(1,+8),且f(x+1)为奇函数，当x>l

时，f(x)=2x2-12x+16,则函数y=f(x)-2的所有零点之和是.

参考答案：

5

【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质.

【专题】计算题；函数的性质及应用.

【分析】f(x+1)为奇函数可得函数f(x)的图象关于(1,0)对称，从而可求xVl时

的函数解析式，进而解方程f(x)=2可得.

【解答】解：(x+1)为奇函数，

函数图象关于(0,0)对称，

即函数f(x)的图象关于(1,0)对称

,当x>l时，f(x)=2xJ-12x+16,

当x<l时，f(x)=-2x2-4x

令2x?-12x+16=2,

BPx2-6x+7=0,

可得XI+X2=6,

令-2x?-4x=2,

即/+2x+l=0,可得X3=-1

二横坐标之和为XI+XZ+X3=6-1=5

故答案为：5.

【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上

的解析式.考查性质的灵活应用.

15.曲线尸=在点处的切线方程为.

参考答案：

1

■

1

由已知得：求导xeg,当x=l时，k=o,所以切线方程：‘•

S,——ba.+1—---

16.已知数列｛%｝前〃项和(1+3”其中6是与〃无关的常数，且0V

kmaSLbm

KT9NTS"

b<l,若存在，则.

参考答案:

1

略

X255

y=——-3lnx

17.已知曲线4的一条切线的斜率为2,则切点的坐标为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

1

18.(14分)(2015?青岛一模)已知函数f(x)=(ax2+2x-a)e',g(x)=2f(Inx),

其中aCR,e=2.71828…为自然对数的底数.

(I)若函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线过坐标原点，求实数a的

值；

(II)若f(x)在[-1,1]上为单调递增函数，求实数a的取值范围.

(III)当a=0时，对于满足OVxiVxz的两个实数X”xz,若存在x0>0,使得g'(x。)

g(X])-g(x2)

=X1-X2成立，试比较Xo与Xi的大小.

参考答案：

【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】：导数的综合应用.

【分析】：(I)求出函数的导函数f'(x)=[ax2+2(a+1)x+2-a]e”,通过f'(2),

求出函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程，通过切线过坐标原点，求

出a即可.

(II)通过f(x)在［-1,1］上为单调递增函数，只要f'(x)20,构造「(x)=ax2+2

(a+1)x+2-a

通过①当a=0时;推出函数f(x)在［-1,1］上为单调递增函数.

②当a>0时，r(x)=ax'+2(a+1)x+2-a,利用二次函数的性质，「(x)„；„=r(-

1)=-2a20=aW0

推出矛盾.

③当a<0时、r(x)=ax2+2(a+1)x+2-a类比②，得到结果.

g(x)=―f(inx)=xlnx

(III)利用2,g'(x)=lnx+l.通过导数的几何意义，说明存

g(x,)"g(x9)

Inx0+1=---------=--------

在x0>0,使得X1~x2，然后构造函数，利用新函数的导数，判断

函数的单调性，然后推出X0>Xi即可.

(本小题满分14分)

解：(I)f(x)=(ax2+2x-a)e\；.f'(x)=［ax2+2(a+1)x+2-a］ex

则f'(2)=(7a+6)e2,f(2)=(3a+4)e2

二函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线为：y-f(2)=(7a+6)e2(x-2)

•.•切线过坐标原点,0-f(2)=(7a+6)e2(0-2),

即(3a+4)e=2(7a+6)e2,11-(3分)

(Il)f'(x)=［ax2+2(a+1)x+2-a］ex

要使f(x)在［-1,1］上为单调递增函数，只要ax?+2(a+1)x+2-a^O

令「(x)=ax2+2(a+1)x+2-a

①当a=0时，r(x)=2x+2,在［-1,1］内r(x)(-1)=0,/.f(x)20

函数f(x)在［-1,1］上为单调递增函数…(4分)

②当a>0时，「(x)=ax，2(a+1)x+2-a是开口向上的二次函数，

X——(1+—)<―1

其对称轴为a，

/.r(X)在［-1,1］上递增，为使f(X)在［-1,1］上单调递增，

必须「(x)mr>=「(-1)=-2a》()naW0

而此时a>0,产生矛盾

此种情况不符合题意…(6分)

③当a<0时、r(x)=ax2+2(a+1)x+2-a是开口向下的二次函数，

为使f(x)在［-1,1］上单调递增，必须f'(x)20,即r(x)在［-1,1］上恒成

立，

(1)>0(2a+4>0

(-1)>0=j-2a>0

又a<0,二-2Wa<0

综合①②③得实数a的取值范围为［-2,0］…(8分)

g(x)二&(Inx)=xlnx,

(III)2,g'(x)=lnx+l.

-

,.、g(x<)g(x2)

g(Xo)=--------=--------

因为对满足OVXiVXz的实数Xi,X2,存在XO>0,使得xlx2

成立，

g(xJ-g(x)x<Inx<-Xolnxn

9L

lnxn+l=-------=-----—lnx0+l=———r———-

所以x1x2，即x1x2,

从而

x<Inx<_Xolnx9x9lnx一x2lnx2+x2X1

lnx-ln,=------------------1-Inx.------

U0xX-v1

vx]x2=X1-x2

XiX1

In—+1———

x2x2

3-1

X2.­••(11分)

0,⑴4-i>o

设6(t)=lnt+l-t,其中OVtVl,则

因而6（t）在区间（0,1）上单调递增,e(t)ve(i)=o,

^Xi...Xi.XiXi.Xi/

0<—<1。(—)=ln—+1——<0--1<0

Xxxx

V0<X1<x2./.2,从而222，又*2

所以lnx。-InxAO,即Xo>Xi…（14分）

【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，构造法的应用，导数的

几何意义，考查函数的单调性的应用，转化思想的应用.

19.将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dn?的矩形薄铁皮（如图），

并沿

虚线L,k裁剪成A,B,C三个矩形（B,C全等），用来制成一个柱体.现有两种方案:

方案①：以4为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B,C中各裁剪出一个圆形作为

圆柱的两个底面；

方案②：以4为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B,C中各裁剪出一个正方

形（各边分别与4或4垂直）作为正四棱柱的两个底面.

（1）设B,C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面

半径；

（2）设4的长为*dm,则当X为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?

B

0

参考答案:

(1)设所得圆柱的半径为，dm,

4

分

2b+i

解得().6分

(2)设所得正四棱柱的底面边长为。dm,

。＜*均即

则

9分

方法一：

所得正四棱柱的体积

芋>0<x<2^0,

V—01K4

—,x>2麻

11

§,0vx42拆,

M*)-

写,*>2加一

记函数

则在(%2呵上单调递增，在［3,+B)上单调递减,

所以当时，J(O=20丽.

所以当揭，a=厢时，匕《一豫丽

dm5....14分

方法二:

从而

a«晒.

...11分

y(/便】=加4池弧

所得正四棱柱的体积I。1

所以当「■屈，x=即时，匕=2tk短

dm3.……14分

答：(1)圆柱的底面半径为2(*+I)dm；

(2)当x为左同时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最

大.……16分

【评分说明】

①直接"由"得，'=2.丽时正四棱柱的体积最大，，给2分；

②方法一中的求解过程要体现V4<2,师，凡写成V=/(a<2M的最多得5分，

其它类似解答参照给分.

OO--

20.已知椭圆C：a+b=1(a>b>0)的上顶点为(0,2),且离心率为2.

(I)求椭圆C的方程；

(II)证明：过圆x'+yJr?上一点Q(xo,yo)的切线方程为xox+yoyur；

(III)过椭圆C上一点P向圆x?+y2=l引两条切线，切点分别为A,B,当直线AB分别与x

轴、y轴交于M,N两点时，求【MN|的最小值.

参考答案：

考点：椭圆的简单性质.

专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：（I）由题意可得b=2,再由离心率公式可得a=4,b=2,即可得到椭圆方程；

（II）讨论切线的斜率存在和不存在，由直线的点斜式方程即可得到切线方程；

（III）设点P坐标为（X”yP）,求得过A,B的切线方程，可得切点弦AB方程，再由两

点的距离公式和基本不等式即可得到最小值.

cM

解答：解：（I）由题意可得b=2,e=嚏攵，又。2=1-以

即有a=4,b=2,

则椭圆C方程为16+4=1；

（II）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y-y产k（x-xo）,

XQ

又因为k=-y0.

x0

故切线方程为y-yo=-y0（x-xo）,即有xox+y（＞y=r2.

当k不存在时，切点坐标为（土r,0）,对应切线方程为x=±r,符合xux+yoyur。，

z

综上，切线方程为xox+yoy=r；

（III）设点P坐标为（X”yK）,PA,PB是圆x^+y'l的切线，切点A（x（,yl,B（x2,

y2），

过点A的圆的切线为xix+y»=l,过点B的圆的切线为x2x+y2y=l.

由两切线都过P点,XiXr+yiyp=l,x2Xp+y2yp=l.

则切点弦AB的方程为xPx+yPy=l,由题知XpypWO,

11

即有M(Xp,0),N(0,yp)，

1_±_122

2222xpyp

|MN|2=XP+yp:(XP+yP)9

2222

XPyp1XPn

―21―2_1___1

64v22A

=T6+4+T6?yP+4?XP>?6+4+2yPXp=16,

168

当且仅当x/=W,y/=5时取等号,

33

则|MN|24IMN的最小值为N.

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，以及直线方程的运用，同

时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题.

p2=1

21.如图，已知椭圆a（a>b>0）的长轴44,长为4,过椭圆的右焦点尸作

3

斜率为女（*#0）的直线交椭圆于以c两点，直线衣4,"4的斜率之积为4.

（1）求椭圆P的方程；

（2）已知直线1：*=4,直线45,4c分别与7相交于M、N两点，设E为线段MN的

中点，求证：*1N*

参考答案：

±+?=1

(1)43；(2)证明见解析.

【分析】

3

（1）由长轴长为4可得a,设出点B,C的坐标，利用斜率之积为4,可得

^3

a~4,即可得到加,可得椭圆方程;

（2）设直线8C的方程为:y=k（x-1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线

=%

伞的方程为：y3・2G+2）与x=4联立，可得点M,N的坐标，可得线段MN的中

点E.利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得片，只要证明£匕=-1即可.

【详解】（1）设》（马，义），。（巧因点b在椭圆上，所以彳+浮

故*一引又4（一〃。），4（40）,

所以F9-”7，即7-彳，又a