探索型数学问题送教

赣县第二中学陈科良

探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．习惯上，我们将数学问题分为两大类：一类是已知和结论都有确定要求的题型，简称封闭性问题；另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要求的题型，我们把这类问题称为开放探索性问题．探索性数学问题

命题趋势

条件探索型结论探索型规律探索型存在探索型探索性问题条件探索型问题1．如图，已知AC与BD相交于点P，AP=CP，AB∥CD，求证：△ABP≌△CDP.2．如图，已知AC与BD相交于点P，AP=CP，请增加一个条件使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是

.∵AB∥CD∴∠A=∠C,∠B=∠D∵∠B=∠D,∠A=∠C,AP=CP

∴△ABP≌△CDP(AAS)证明:（条件探索型问题）提示:给定明确的结论未给出确定的条件条件探索型问题2．如图，已知AC与BD相交于点P，AP=CP，请增加一个条件使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是

.△ABP≌△CDP解题策略是：从所给出的结论出发，采用逆推的办法，猜想出合乎结论要求的一些条件，并进行逻辑推理证明，从而寻找出满足结论的条件．条件AP=CP,∠APB=∠CPD(已有)BP=DP;∠A=∠C;∠B=∠D;AB∥CD.结论条件探索型问题3.如图，射线OA放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OB，使tan∠AOB的值分别为1、、．结论探索型问题4．如图，已知AC与BD相交于点P，AP=CP，AB∥CD，求证：△ABP≌△CDP.请写出两个不同类型的正确结论.∵AB∥CD∴∠A=∠C,∠B=∠D∵∠B=∠D

,∠A=∠C,AP=CP

∴△ABP≌△CDP(AAS)证明:

结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论，需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题．它与传统题的区别在于：探索问题的结论的过程往往也是解题过程．解题策略：从分析题意入手，充分捕捉题设信息，由条件出发，顺向推理或联想类比、猜测等，获得所求结论．5.如图，∠BAC=90°、∠B=40°，点P是射线BC上的动点，当△APC为等腰三角形时，求∠BAP的度数.结论探索型问题分析：①当PA=PC时，∠PAC=

∠PCA=

50°，则∠BAP=

40°；②当AP=AC时，∠APC=

∠PCA=

50°，则∠BAP=

10°；③当CA=CP时（点P在BC之间），∠PAC=

∠CPA=

65°，则∠BAP=

25°；④当CA=CP时（点P在BC的延长线上），∠PAC=

∠CPA=

25°，则∠BAP=

115°；ABCP变式：如图，∠BAC=90°、∠B=30°，点P是射线BC上的动点，当△APC为等腰三角形时，求∠BAP的度数.结论探索型问题ABCPACPxy

6.如图，将边长为2的等边三角形沿

x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点

,则点P

2012的坐标是

．P1P3P2Oyx

简析：观察预判每一个点

的坐标为:

可以递推得点

的坐标；因而点P2012的坐标是．规律探索型问题

规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的数学本质、规律与特征的一类探索性问题．解题策略是：常常利用特殊值等进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.规律探索型问题7.（2010·广东肇庆）观察下列单项式：－a，2，－4，8，－16，…，按照此规律，第n个单项式是

(n是正整数)．

分析：这一列单项式，观察每一序列号下单项式的符号、系数、字母的次数；符号满足奇数序号项为负、偶数序号项为正；系数的绝对值成2的自然数幂；字母a的次数成正整数幂递增；因而设定n为正整数，则答案为:考点感悟8.

如图，双曲线与直线x＝k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，求A的坐标.解：（1）在中，当x＝k时，y＝1，∵PA⊥y轴于A，∴A点坐标为（0，1）.

PAxyx＝k考点感悟变式1:如图，双曲线与直线x＝k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，y轴上的点A、A1、A2的坐标是连续整数，分别过A1、A2

作x轴的平行线，与双曲线及直线x＝k分别交于点B1、B2与C1、C2,求及的值.解:∵A

、A1、A2的坐标是连续整数，且A点坐标为（0，1）.∴A1为（0，2），A2（0，3）.∴B1为，C1（k，2）；B2，C2（k，3）；∴A1B1＝，B1C1＝；C2B2＝，A2B2＝，

∴，.PAxyx＝kA1A2B1C1B2C28.

如图，双曲线与直线x＝k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，求A的坐标.考点感悟变式2:如图，双曲线与直线x＝k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，y轴上的点A、A1、A2、A3、…、An的坐标是连续整数，分别过A1、A2

、A3、…、An作x轴的平行线，与双曲线及直线x＝k分别交于点B1、B2、B3、…、Bn与C1、C2、C3、…、Cn．试猜想的值（直接写出答案即可）．变式2猜想：

提示：An为（0，n＋1），

∴Bn为，Cn（k，n＋1），∴AnBn＝，BnCn＝PAxyx＝kA1A2B1C1B2C2A3AnBnC3CnB3变式1:如图，双曲线与直线x＝k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，y轴上的点A、A1、A2的坐标是连续整数，分别过A1、A2

作x轴的平行线，与双曲线及直线x＝k分别交于点B1、B2与C1、C2,求及的值.解:∵A

、A1、A2的坐标是连续整数，且A点坐标为（0，1）.∴A1为（0，2），A2（0，3）.∴B1为，C1（k，2）；B2，C2（k，3）；∴A1B1＝，B1C1＝；C2B2＝，A2B2＝，

∴，.收获谈谈你本节课有哪些收获？1.“若一组数据4、7、9、1、6、的中位数是6”，其中两个数据不慎被墨水沾黑，这两个数据可能是

（写出一组即可）.2.将多项式加上一个单项式后，使它成为一个完全平方式，则加上的这个单项式为

.3.抛物线的部分图象如图所示，请写出与它的关系式、图象相关的两个正确结论：

，

．（直接采用已知数据的结论除外）作业

4.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B

=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线

l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋