数学北师大版选修1-1训练1-3圆锥曲线中的定点定值最值范围问题

第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题1.若直线y=x+m与椭圆x24+y22=1相切,A.±6 B.±6 C.±3 D.±4解析:由x24+y22=1,y=x+m消去y,得3x2+4mx+2m24=0,因此有Δ=答案:B2.直线y=2x与双曲线x24y2=1公共点的个数为(A.0 B.1 C.2 D.4解析:双曲线x24y2=1的渐近线方程为y=±12x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2答案:A3.过双曲线x2y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线所围成矩形的面积等于()A.12 B.22 C.1 D解析:因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为22,所以围成矩形的面积是2答案:A4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点.若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,m=k1k2kA.(0,33) B.(0,3) C.0,39 D.(0解析:因为e=ca=2,所以b=3a设P(x,y),则x2a2k1k2=yx+a又双曲线的渐近线为y=±3x,所以0<k3<3,故0<m<33.答案:A5.F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y2=0(x≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则1k1A.2 B.3C.2 D.随点P的位置而变化解析:由已知得F1(1,0),F2(1,0),则有k1=yx+1,k2=yx-1,因此1k1-3k2=x+1y-3x-3答案:A6.设椭圆C:x24+y23=1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM解析:M(2,0),N(2,0),设P(x0,y0),于是kPM·kPN=y=34(4答案:37.已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于解析:椭圆右焦点为(3,0),所以y=x-3,x2+4y2=4所以|AB|=1+k2|x1x2|=答案:88.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为22,过点B(3,(1)求椭圆的方程;(2)若|MN|=322,求直线MN解(1)由题意有4a2+1b2=1,e=ca=解得a=6,b=3,c=3,所以椭圆方程为x26+(2)由直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可设直线MN方程为y=k(x3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x212k2x+18k26=0,Δ=2424k2>0,得k2<1.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=12k22k2+1,x|MN|=(=(=(k解得k=±22,满足k2<1故所求直线方程为y=±22(x3)9.导学号01844059已知椭圆Ε:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点Ο到经过两点(c,0),(0(1)求椭圆Ε的离心率;(2)如图,ΑΒ是圆Μ:(x+2)2+(y1)2=52的一条直径,若椭圆Ε经过Α,Β两点,求椭圆Ε的方程解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cybc=0,则原点Ο到直线的距离d=bcb由d=12c,得a=2b=2a解得离心率e=ca(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(2,1)是线段ΑΒ的中点,且|AB|=10.易知,ΑΒ不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)24b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k(2k+1)1+4k由x1+x2=4,得8k(2k+1)1+4从而x1x2=82b2.于是|AB|=1+122|x1=52由|AB|=10,得10(b2-2)=故椭圆E的方程为x212+10.导学号01844060已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的焦距为42,其左、右顶点分别为A1(3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M(1)求椭圆C的方程.(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为42,所以2c=因为椭圆的左、右顶点分别为A1(3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2c2=98=1,所以椭圆C的方程为x29+y2=(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x3).联立方程y=k1(x+3),x29+y2=1,消去y,得(1+解得点M的