概率与统计口诀

概率论与数理统计题干中出现“当”、“已知”、“如果”的，是条件概率。时间上分两个阶段的，用“全概公式”或“贝叶斯公式”。先后放回取：“只知次数，不知位置”是二项分布。“先后不放回取”二“任取”是超几何分布。先后放回取：“直到……才”是几何分布。求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。二维随机变量的概率分布从两个变量相交的本质入手。二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定枳分的上下限。求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分(正概率密度区间和所求区域的交集)的积分。均匀分布用“几何概型”计算。关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y),由边缘分布来求。相关系数中的E(XY),对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求：广+8广+00E(XY)=xyf(xfy)dxdyJ—ZC丿一8应用题：设Y为题中要求期望的随机变量，玄为题目最后所求，然后找Y和X的函数关系，再求E(Y)°切比雪夫大数定理要求“方差有界”，辛钦人数定理要求“同分布”。似然函数是联合密度或联合分布律。厶(儿九…几)=(切九血•••％)1=1“无偏”求期望，“有效”求方差，“一界不管它。概念网络图随机事件P⑷——一维随机变量X（3）T分布函数F（x）=P（X<x）t八大分布（0J,二项，泊松，超几何，几何，均匀，指数，正态）T数字特征（期望、方差）数字化随机事件P（43）>二维随机变量（X,Y）t联合分布F（x,y）=P（X<xfY<y）t两大分布（均匀、正态）t数字特征（期望、方差、协方差、相关系数）人数定理和中心极限定理tJ（四大统计分布（正态、X2.t、F）：多维随机变量的函数分布数理统计参数估计（区间估计，数一）[假设检验（数一）X.六个基本概念古典概型（由比例引入概率）随机变量和随机爭件的等价（将事件数字化）P（4）=P（X=x）P（AB）=P{X=x,Y=y）分布函数（将概率与函数联系起来）F（x）=P（X<x）F（xfy）=P（X<xfY<y）离散和连续的关系P（X=x）=f（x）dx表示从x到x+dx的范|制内的概率值P（X=XfY=y）=f（x,y）dxdy简单随机样本（将概率和统计联系在一起）函数1）随机变量的分布函数：描述连续型随机变量的区间概率2）二维随机变量的函数：Z=G{XtY）3）似然函数：来自样本的联合分布厶=厶（叭最大似然估计：样本值越人，e越合适

1.2.3・4.5.1.2.3・4.5.1.2.3・4.5.选择题常考的五个混淆概念乘法公式和条件概率独立和互斥：设AH0,BH0,则“A和B互斥”与“A和B独立”，两者相互矛盾。独立和不相关：独立是不相关的充分条件；（X,F）为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。X,Y分别为正态分布，不能推出（X,Y）为二维正态分布；也不能推出X+Y为一维正态分布。几个大数定理的区别：切比雪夫人数定理要求“方差有界S辛钦人数定理要求“同分布”。解答题常考题型二维随机变量的数字特征二维随机变量的函数：Z=G（XfY）最人似然估计：似然函数厶=厶（&）全概和贝叶斯公式二项分布与泊松分布概率计算任何一个排列数都可以看成先组合后排列：pn_pn.pn重复排列（一对多）用指数，非重复排列（一一对应）用排列数：Page7例6从'‘可以自由活动的对彖”（互不影响的对彖）考虑不同类元素相乘的结果是无序的：Page6例3同类元素相乘的结果是有序的：Pages例10"不可分辨"情形用除法:Page6例5,Page32题U不可能事件0的概率为0,而概率为0的事件不一定是不可能事件0（空集）；必然事件Q的概率为1，而概率为1的事件不一定是必然爭件Q（样本空间）。

6.A发生而B不发生的事件<=>A-B=A-AB=ABP(A-B)=P(A)-P(AB)=P(AB)<===>P(A)P(B)有减法存在时，一定要注意运算顺序：A—B+BHA,A+B—BHA减法不满足结合律：Page23例53分配率：(AB)UC=(AUC)C(BUC),(AUB)AC=(AAC)U(BAC)即(A+C)x(B+C)=AB+AC+BC+CC=AB+C,(A+B)xC=AC+BC分配率可以转化为元素之间的加法和乘法。计算“古典概型”时，分子分母一定要同序：PagelO例13-例15条件概率：“当”、“已知”、“如果”，使用“缩减样本空间法”：Pagel9例42乘法公式：“并且”、“同时发生”。事件分为两个阶段(两个随机试验)，用“全概公式”或“贝叶斯公式”：求第二阶段结杲的概率用全概，已知第二阶段结呆求第一阶段结果的概率用贝叶斯;贝叶斯是条件概率的扩展，“抓I甸模型”简化全概公式：Page21例49两两独立，并不一定相互独立；但相互独立，一定两两独立；A,B相互独立0A伍)，B(B)相互独立；A,B,C相互独立<=>A伍),B(B),C©相互独立；规律：如果A,B,C相互独立，那么与C独立：Page23例53出现“至少”，用“对立事件”。13•“只知次数，不知位置”是二项分布(伯努利概型)。逻辑含义：A是B的充分条件(A发生则B发生)<=>AuB(A包含于B)均匀分布用“几何概型”计算：Pagel9例42,Page27题4抓凰模型(彩票模型)：前面抽取和后面抽取的概率相同。(同分布，但不独立)17•“任取”和“先后不放回取”，计算出的概率结果是一样的：PagelO例16当总数是“大量”时，“先后不放回取”相当于“先后放回取”：Page25例6018•设AH0,BH0,则“A和B互斥”与"A和B独立"，两者相互矛盾；若A=0或BH0,则独立和互斥共存。一维随机变量随机变量：将样本空间中所有的基本事件分为一类，用随机变量表示随机事件；分布函数：连续型随机变量的区间概率，用分布函数表示连续型随机事件的概率:F(x)=(f(x)dx

丿一8密度函数：X邻域内的概率函数，积分元fWdx是％邻域内的概率。对于离散型随机变量：分布函数F(x)右连续，即F(x)=F(%+0)P(X=x)=F(x)-F(x-0)Page54例29离散型随机变量的分布：先后放回(只知次数，不知位置)，对应“二项分布”；先后放回(直到……才)，对应“几何分布”；先后不放回取(任取)，对应“超几何分布”均匀分布用“几何概型”计算。指数分布、几何分布，满足无记忆性：P(X>/i)=P(X>a+/i|X>a)指数分布计算的重要公式：f^xne~xdx=n\正态分布标准化：X~N(T)t¥~N(O,1)标准正态分布的分位数：已知概率(面积)求变量值，脚标与概率(面积)对应。求一维随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手：Page50例2020.分布律和分布函数就是求概率；求分布函数，先求端点：Page54例2911.求函数的分布，用定义法求解：Page55例30,例3212.一维随机变量及其函数的期望：12.E(X)=£xkpk=Jxf(x)dx,E(Y)=E(g(X))=£g(xk)pk=Jg(x)f(x)dx一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差。切比雪夫不等式：不论X服从何种分布，均成立10.10.二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上卞限：Page87例24二维随机变量二维随机变量的本质：一个基本事件，必须由两种划分方式共同确定；求二维随机变量的联合分布率，即求两事件的交集的概率：F(—8,—8)=F(—8,y)=F{x,—oo)=0,F(+8,+8)=1离散型二维随机变量的边缘分布是全概公式的一个拓展：Page95Tll二维随机变量的独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形；(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关(p=0)互为充分必要条件。随机变量的函数的独立性：独立变量不重复，组合函数间独立二维随机变量的核心问题：联合分布(首先必须确定类型)离散型：肉=pGM0=ps)p(号⑷),或py=pGM0=p(£)(明连续型:f(x,y)=fx(%)或f(%,y)=fxMfY(y)联合分布——边缘分布——►期望E(X),E(Y)、方差D(X),D(Y)与相关系数&丫连续型计算卩灯时，注意：E(X),E(Y),D(X),D(Y)通过常见分布的期塑和方差计算E(XY)=0xyf{x,y)dxdy注意：若己知X的边缘分布f(x)和X与Y的函数关系Y=G(X),则可以求出卩加PagelBl(*,丫)~"(“1，“2'必咗卩)=>X~N(卩庞),Y~N(畑於)於)幷Z=(X,Y)~NSi，“2Qf，*，P)(X,Y相互独立时成立)X〜N叽宙,丫5显於)幷Z=X+V~N(“3，&)(X,Y相互独立时成立)所有二维随机变量的函数的分布、三大统计分布，都是一维随机变量的分布。8.函数分布：Z=X+Y(一维)离散型，直接求Z的分布律；连续型，用定义法求枳分；混合型，用全概公式。函数分布：Z=X+Y(若X和Y混合，Z-定是连续型)函数分布：Z=XY(不一定是连续型，Z不一定是连续)：08年T8随机变量的连续性：分布函数连续(不存在跳跃点P(X=x°)H0)9.函数分布：Z=max(Xi，…,XJ或Z=…,Xn)(X】,…,Xn相互独立)Fmax(x)=Fz(z)=P(Z<z)=P(max(〔，…,XJ<z)=P(Xt<z,-,Xn<z)•-FmaX(%)=P(Xt<Z)P(Xn<Z)=FXx(Z)-⑵…氏⑵Fmin(x)=Fz(z)=P(Z<z)=P(min(Xlf--,Xn)<z)=1-P(Xt>z,--,Xn>z)•:F罰(x)=l-P(Xi>z)-P(Xn>z)=l-[l-氐⑵]•[1-%⑵]-[1-FXn(z)]对于Z=max(Xi，…,Xj或Z=min(Xlf,Xn)通过理解做题。随机变量的和的期望等于期望的和：E(X+Y)=E(X)+E(Y)(无条件)当一个随机变量的期望比较难求时，可拆成两个容易求期望的随机变量之和。E(XY)=E(X)E(Y)充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+E(Y)充分条件：X和丫独立；充要条件：X和Y不相关。若X],…,Xn独立同分布，且E(XJ=p,D(Xj=o2,则E(刃=p,D(刃=%来是由X1，…,Xn构成的函数(一维随机变量:)，E(X)是随机变量X的平均值(数值)。二项分布、超几何分布的期望和方差，都可以通过0-2分布来计算：Pagel20例6-7二阶混合中心矩是协方差：8V(X,Y)=E[(X-E(X))(Y—E(Y))]=E(XY)一E(X)E(Y)8Vpq+X2，Y)=cov(XpY)+cov(X2/Y)独立是不相关的充分条件；(x,v)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。计数X的期望和概率,首先考虑用“0-2分布”分解：Pagel22例15-19不相关pXY=0的三种等价：cov(X,Y)=0,E(XY)=E(X)E(Y),D(X土Y)=D(X)+E(Y)概率应用题：a为未知数，X为已知，Y为要求期望的随机变量；先找Y和X的函数关系，再求Y的期望。大数定理和中心极限定理若X1，…,Xn独立同分布，且E(Xi)=p，D(Xi)=亍,则E(X)=P，D(X)=吕(方差有界)当试验次数n很大时，试验误差趋近于0切比雪夫人数定理要求“方差有界”，辛钦人数定理要求“同分布”：衣T“@T8)limP(|X—n\<s)=1nT8伯努利人数定理是切比雪夫大数定理和辛钦人数定理在“0-2分布”的推广；当试验次数n很人时，频率估无限趋近与概率p中心极限定理：天tN(“，吕)®T8)要求Xi，…,Xn独立同分布二项定理：Nt8,超几何分布趋近于二项分布：“先后不放回取”二“先后放回取”;泊松定理：TIT8,二项分布趋近于泊松分布;超几何分布上注竺沁-二项分布泊松分布超几何分布上注竺沁-二项分布泊松分布数理统计2•样本函数：n维随机变量（p=（pg「X3其中独立同总体分布统计量：一维随机变量，可以直接由样本计算，不包含总体参数“和，样本均值天，样本方差S2,样本的二阶中心矩S-21宀s2=一〉（X（-刃2E（52）=a2（无偏性）nS*2=-^（Xi-X）2E（S*2）=F<y2（人为估计）i=l3•设“…为来自正态总体N~（T）的一个样本，则有三大样本函数（三大分布）:~N(O,1)元一“~N(O,1)文一“/、4.设衍,…,X"为来自正态总体N~血,分），九…,％2为来自正态总体N~@2,蛙）'贝IJ有$2g2函数的分