人教版九年级数学上册 （用频率估计概率）概率初步课件

用频率估计概率

（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个数，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率。（2）我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果。知识回顾以旧引新探究一：通过频率估计概率活动1

周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是老师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样老师很为难。请大家帮老师想一个公平的办法，来决定把这张票给谁。有这么多可用的方法，那现在我们从中抽选出掷硬币的方法。抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、……为什么要用掷硬币的方法呢？

掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大。问题探究探究一：通过频率估计概率

用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上”还是“反面向上”，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的。

但是，我们的直觉是可靠的吗？

掷硬币出现“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的吗？

有什么方法可以验证呢？

掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率

的变化趋势。

课前，我们每个同学都进行了掷硬币的试验，并计算了“正面向上”的频率，你有什么发现呢？

汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？

如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？大胆操作，探究新知探究一：通过频率估计概率活动2抛掷次数n50100150200250300350400“正面向上”的频数m

“正面向上”的频率

根据数据生成折线统计图：探究一：通过频率估计概率随着试验次数的增加，“正面向上”的频率

有什么规律？

试验次数比较小时，频率

波动比较大，但试验次数较大时，频率

比较稳定。随着试验次数的增大，频率

稳定在0.5的附近。探究一：通过频率估计概率

掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率

的变化趋势。探究一：通过频率估计概率活动3

可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！

谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？

大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少吗？有的同学回答“针尖向上”概率为0.5，其实由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出现的可能性不一样大。

你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？探究一：通过频率估计概率抛掷次数n50100150200250300350400“针尖向上”的频数m

“针尖向上”的频率

类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率。根据数据生成折线统计图：探究一：通过频率估计概率随着试验次数的增加，“针尖向上”的频率

有什么规律？

试验次数比较小时，频率

波动比较大，但试验次数较大时，频率

比较稳定。随着试验次数的增大，频率

稳定在…的附近。探究一：通过频率估计概率总结：（1）随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。（2）概率与频率之间是有区别和联系的：①区别：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的大小。探究一：通过频率估计概率②联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。（3）用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。探究一：通过频率估计概率

例1：一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均相同，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，则下列说法正确的是（

）A.小明从袋子中取出白球的概率是1B.小明从袋子中取出黄球的概率是0C.这次试验中，小明取出白球的频率是1D.由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1基础性例题探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用活动1解：A.小明从袋子中取出白球的概率是

，故A选项错误；B.小明从袋子中取出黄球的概率是

，故B选项错误；C.这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C选项正确；D.仅进行了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D选项错误。【思路点拨】本题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同。在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，

这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。不能将频率、概率混为一谈。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用练习：已知抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为

，它表示（

）A.连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B.每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C.连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D.大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上解：A.掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A选项错误；B.每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B选项错误；C.连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C选项错误；D.大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D选项正确。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：朝上的点数123456出现的次数798111510（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”。

小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”

小颖和小红的说法正确吗？为什么？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；朝上的点数123456出现的次数798111510解：（1）∵“3点朝上”出现的次数是8次，∴“3点朝上”的频率是

；又∵“5点朝上”出现的次数是15次，∴“5点朝上”的频率是

。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（2）小颖和小红的说法都不正确。

但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的。

如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率

的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的。【思路点拨】本题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用

练习：为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了多次试验，并将结果记录在下表：抛掷次数52050100200针尖着地的频数29234589针尖着地的频率0.40.45

0.45

（1）分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着地的频率；（2）根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45”，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针尖着地”。你认为他们的说法正确吗？为什么？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（1）∵抛掷50次时，“针尖着地”的频数是23，∴“针尖着地”的频率是

；又∵抛掷200次时，“针尖着地”的频数是89，∴“针尖着地”的频率是

。（2）小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45；

小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用

例1：下表是某机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率。抛掷次数550300800320060009999出现正面朝上的频数131135408158029805006出现正面朝上的频率20%62%45%51%49.4%49.7%50.1%（1）由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_______次正面朝上，正面朝上出现的频率是________。

（2）由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到

次正面朝上，正面朝上出现的频率约是

。（3）观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？提升型例题探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用活动2解：（1）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面朝上的频率是20%；（2）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；（3）观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比较稳定，稳定在50%的附近。【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用

练习：一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的。将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下。由于棋子的两面不均匀，为了估计”兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：实验次数20406080100120140160“兵“字面朝上的频数14

384752667888“兵“字面朝上的频率0.70.450.630.590.52

0.560.55（1）请你数据表补充完整；（2）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（1）∵试验总次数为40，而“兵”字面朝上的频率为0.45，∴“兵”字面朝上的频数＝40×0.45＝18。又∵试验总次数为120，而“兵”字面朝上的频数为66，∴“兵”字面朝上的频率＝66÷120＝0.55。（2）观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵”字面朝上的概率为0.55。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用

例2：在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球。若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为________。解：由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%。因为，一共有a个除颜色外完全相同的球，其中只有3个红球所以，摸到红球的概率为

。解得：a＝15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用

练习：为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个。解：因为多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，所以，摸到红球的概率就为0.2。设一共有x个白球，其中有5个红球，所以一共有（x＋5）个球，所以，摸到红球的概率为

＝0.2解得：x＝20所以，有20个白球。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用

例1：某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采用什么具体做法？（1）如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：移植总数n成活数m成活的频率

（结果保留小数点后三位）1080.8005047

2702350.870400369

750662

150013350.890350032030.91570006335

90008073