北师大版八年级数学下册 （等腰三角形）三角形的证明教学课件(第1课时)

八年级下册1.1等腰三角形第1课时

学习目标探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法.掌握证明的基本要求和方法.12预习检测1.我们已学过的部分基本事实:①两点确定

；②两点之间线段

；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线

；④两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线

；⑤两条平行直线被第三条直线所截,

；⑥两边及其夹角对应相等的两个三角形同位角相等

；⑦两角及其夹边对应相等的两个三角形

；⑧三边对应相等的两个三角形

.一条直线最短垂直平行同位角相等全等(SAS)全等(SAS)全等(SSS)2.全等三角形的对应边_______、对应角

.相等相等活动探究活动：根据学过的基本事实和已知的定理，能证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”吗？与同伴交流，展示你的说理过程.如：已知：如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.

求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°

∠D+∠E+∠F=180°，

∴∠C=180°-(∠A+∠B)，

∠F=180°-(∠D+∠E).

∵∠A=∠D，∠B=∠E∴∠C=∠F.

∵BC=EF，∴△ABC≌△DEF（ASA）定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？探究点一：等腰三角形的两个底角关系，与同伴交流.活动1：回忆七年级下册通过什么活动获得的等腰三角形的性质？解析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.探究点二:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等腰三角形的“三线合一”）.证明：方法一：如图，取BC的中点为D，连接AD∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD△≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).DD方法二：作底边的高线作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°在Rt△BAD和Rt△CAD中AB=AC(已知)AD=AD(公共边)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).作顶角的平分线能证明上述结论吗？与同伴交流.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,∵AD是△ABC中的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).∴AD是BC边上的中线,∠BDA=90°,∴AD是BC边上的高,∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.举一反三1.如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC＝CD.(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)∠BAD的度数.证明：(1)∵AC⊥BD（已知）∴∠ACB＝∠ACD=90°（垂直定义）△ABC与△ADC中AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，BC＝DC∴△ABC≌△ADC（SAS）AB＝AD（全等三角形对应边相等）∴△ABD是等腰三角形（等腰三角形的定义）解：(2)∵AC＝BC＝CD（已知）∴∠B＝∠BAC，∠D＝∠DAC（等边对等角）∵AB=AD（已证）∴∠B＝∠D（等边对等角）∴∠B＝∠BAC＝∠D＝∠DAC∵∠B＋∠BAC＋∠D＋∠DAC＝180°（三角形内角和定理）∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠BAD＝90°知识拓展“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.

如图所示，已知△ABC，①AB=AC，②∠1=∠2，③AD⊥BC，④BD=DC中，若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在△ABC中,课堂检测1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A．8B．9C．10或12D．11或133．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11C．7或11D．7或104．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°BDCD5．在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（

）A．36°B．54°C．18°D．64°B6．△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A=_____，∠ABD=_____.800200（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．7．△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.（1）求证：△ABD是等腰三角形（2）求∠BAD的度数.课堂总结本节课都学到了什么？1、用翻折的方法很容易理解等腰三角形的三线合一.2、教会学生根据已知条件选择合适的证明方法解题.1.1等腰三角形第2课时八年级下册

学习目标能运用综合法证明等腰三角形中一些相等的线段.利用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质，并且会用等边

三角形性质解决相关问题.12预习检测相等1.等腰三角形两底角的平分线：

，2.等腰三角形两腰上的中线：

，3.等腰三角形两腰上的高：

.相等相等活动探究活动1：在等腰三角形中画出一些特殊的线段（角平分线，中线、高等），你能发现哪些线段相等吗？能证明你的结论吗？ABC已知：△ABC中，AB=AC，BD，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BD=CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE=∠CBD，∵∠ABC=∠ACB，BC=BC，∴△BCE≌△CBD，∴BD=CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．展示成果活动探究活动2：在等腰三角形ABC中，AB=AC.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?（2）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?并与同伴交流在等腰三角形ABC中，AB=AC.(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?（2）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?（1）证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB．∴∠ABD=∠ACE∵∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE(ASA)∴BD=CE同样的道理，可以得出（2）∠ABD= ∠ABC，∠ACE=∠ACB．BD=CE.（3）∠ABD= ∠ABC，∠ACE=∠ACB．BD=CE.活动探究已知：等腰△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB.

求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，AD=DC，AE=EB，∴DC=EB，∠DCB=∠EBC，∵BC=CB，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴BD=CE，即等腰三角形的两腰上的中线相等.探究点二：等腰三角形两腰上的中线的特征.问题1：在等腰三角形中，画出三个角的三条中线，你能发现其中有相等的线段吗？你能证明吗？活动探究问题2：已知：△ABC中，AB=AC，（1）AD=AC，AE=AB．BD=CE吗？（2）AD=AC，AE=AB．BD=CE吗？（3）AD=AC，AE=AB．BD=CE吗？证明：∵AB=AC，AD=AC，AE=AB，∴DC=EB，∠DCB=∠EBC，∵BC=CB，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴BD=CE，同样的道理，可以得出（2）AD=AC，AE=AB．BD=CE.（3）AD=AC，AE=AB．BD=CE.活动探究已知：AB=AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D．求证：BD=CE．证明：∵AB=AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵AB=AC，∠A=∠A，∵△ACE≌△ABD，∴CE=BD．即：等腰三角形两腰上的高相等.探究点三：等腰三角形两腰上的高的特征.问题1：在等腰三角形中，画出三个角的三条高线，你能发现其中有相等的线段吗？你能证明吗？活动探究活动探究活动4：画一些等边三角形，并用量角器量一量每个等三角形的内角，你有什么发现？能证明你的结论吗？与同伴交流.求证：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600.已知：如图，在△ABC中,AB=AC=BC,求证:∠A=∠B=∠C=60°证明：∵AB=AC∴∠B=∠C(等边对等角）又∵AC=BC∴∠A=∠B(等边对等角）∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°.即：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600.定理等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60º.活动探究1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰的高线、中线分别相等；3、等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.课堂总结说说你本堂课有些什么收获与困惑，并与同伴交流.随堂检测1．等腰三角形说法正确的是（）A．等腰三角形两条高相等B．等腰三角形两条中线相等C．等腰三角形两条角平分线相等D．等腰三角形两底角的平分线相等2．等边三角形的对称轴有（）A．