数学人教A版必修4导学案3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表三角函数公式简记正弦sin2α＝________S(α＋β)S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝________＝________C(α＋β)C2α正切tan2α＝________T(α＋β)T2α对倍角公式的理解：(1)成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)时才成立．(2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是eq\f(α,2)的二倍、3α是eq\f(3α,2)的二倍等等都是适用的．【做一做1－1】已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，则sin2α等于()A.eq\f(7,5) B.eq\f(12,5) C.eq\f(12,25) D.eq\f(24,25)【做一做1－2】已知cosα＝eq\f(1,3)，则cos2α等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C．－eq\f(7,9) D.eq\f(7,9)【做一做1－3】已知tanα＝3，则tan2α等于()A．6 B．－eq\f(3,4) C．－eq\f(3,8) D.eq\f(9,8)答案：2sinαcosα2cos2α－11－2sin2αeq\f(2tanα,1－tan2α)【做一做1－1】Dsin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25).【做一做1－2】Ccos2α＝2cos2α－1＝eq\f(2,9)－1＝－eq\f(7,9).【做一做1－3】Btan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×3,1－32)＝－eq\f(3,4).倍角公式的变形公式剖析：(1)公式的逆用：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)；cos2α－sin2α＝cos2α；eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α.(2)公式的有关变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)升幂和降幂公式升幂公式：1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2；1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值：(1)coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)；(2)eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8)；(3)taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12)).分析：第(1)题可根据eq\f(2π,5)是eq\f(π,5)的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)(3)题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求值．反思：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若要求出coseq\f(π,5)，coseq\f(2π,5)，coseq\f(π,8)，taneq\f(π,12)的值，则会使问题复杂化．题型二知值求值【例2】已知sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求sin2α，cos2α，tan2α的值．分析：利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，然后利用二倍角公式求出sin2α，cos2α，进而求出tan2α的值．反思：已知α的某个三角函数值，求sin2α，cos2α，tan2α值的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α的其他三角函数值；(2)代入S2α，C2α，T2α计算即可．题型三二倍角公式在三角形中的应用【例3】在△ABC中，cosB＝eq\f(3,5)，tanC＝eq\f(1,2)，求tan(B＋2C)的值．分析：求出tanB和tan2C的值，再用和角的正切公式求值反思：在三角形中讨论三角函数问题时，要注意各内角的范围是(0，π)．本题若忽视这一点，则易错得sinB＝±eq\f(4,5).题型四易错辨析【例4】化简eq\r(2－\r(2＋\r(2＋2cosα)))(3π＜α＜4π)．错解：原式＝eq\r(2－\r(2＋\r(4cos2\f(α,2))))＝eq\r(2－\r(2＋2cos\f(α,2)))＝eq\r(2－\r(4cos2\f(α,4)))＝eq\r(2－2cos\f(α,4))＝eq\r(4sin2\f(α,8))＝2sineq\f(α,8).错因分析：上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．反思：利用二倍角公式化简eq\r(1±cosα)时，由于1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，则eq\r(1＋cosα)＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))，eq\r(1－cosα)＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))，要根据eq\f(α,2)所在象限确定sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)的符号，从而去掉绝对值符号．答案：【例1】解：(1)原式＝eq\f(2sin\f(π,5)cos\f(π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(2π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(4π,5),4sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(π,5),4sin\f(π,5))＝eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(1－2cos2\f(π,8),2)＝－eq\f(2cos2\f(π,8)－1,2)＝－eq\f(1,2)coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),4).(3)原式＝eq\f(tan2\f(π,12)－1,tan\f(π,12))＝－2×eq\f(1－tan2\f(π,12),2tan\f(π,12))＝－2×eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\f(－2,\f(\r(3),3))＝－2eq\r(3).【例2】解：∵sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13).∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(120,169)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(120,169)×eq\f(169,119)＝－eq\f(120,119).【例3】解：∵0＜B＜π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).∴tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(4,3).又tan2C＝eq\f(2tanC,1－tan2C)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)，∴tan(B＋2C)＝eq\f(tanB＋tan2C,1－tanBtan2C)＝eq\f(\f(4,3)＋\f(4,3),1－\f(4,3)×\f(4,3))＝－eq\f(24,7).【例4】正解：因为3π＜α＜4π，所以eq\f(3π,2)＜eq\f(α,2)＜2π，eq\f(3π,4)＜eq\f(α,4)＜π，eq\f(3π,8)＜eq\f(α,8)＜eq\f(π,2)，则coseq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,4)＜0，coseq\f(α,8)＞0.所以原式＝eq\r(2－\r(2＋\r(4cos2\f(α,2))))＝eq\r(2－\r(2＋2cos\f(α,2)))＝eq\r(2－\r(4cos2\f(α,4)))＝eq\r(2＋2cos\f(α,4))＝eq\r(4cos2\f(α,8))＝2coseq\f(α,8).1．－sin215°的值是()A. B. C. D.2．已知α为第二象限角，且sinα＝，则sin2α＝__________.3．＝__________.4．在△ABC中，cosA＝，则sin2A＝__________.5．已知cos