答案第2讲圆方程知识预习

1例题方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(−2,3)为圆心，4为半径的圆，则D,E,F的值分别为 4,−6,−4,6,−4,−6,4,−6,【答案 【解析 由题意得，−D=2F3

，−E=2

D2E24F=4，解得D=4，E=−62例题已知方程x2+y2+2x−4y+a=0表示半径小于1的圆，则实数a的取值范围是 a<a>a>4<a<【答案 【解析 解：由题意得(x+1)2+(y−2)2=5−a，所以0<5−a<1，解得4<a<5．故选已知圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)关于直线:y=x D/E,F=D=F,E=D=E/0,F=D=E=F=【答案 【解析 由题意可得圆心(− E，在直线:y=x上，故有D=E．再由圆过原点可得F=0．2,−21例题方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(−2,3)为圆心，4为半径的圆，则D,E,F的值分别为 4,−6,−4,6,−4,−6,4,−6,【答案 【解析 由题意得，−D=2F=−3

，−E=2

D2+E2−4F=4，解得D=4，E=−62例题已知方程x2+y2+2x−4y+a=0表示半径小于1的圆，则实数a的取值范围是 a<a>a>4<a<【答案 【解析 解：由题意得(x+1)2+(y−2)2=5−a，所以0<5−a<1，解得4<a<5．故选已知圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)关于直线:y=x对称，且过坐标原点，则有 D/D=F,E=E/D=E=F=【答案 【解析 由题意可得圆心(− E，在直线:y=x上，故有D=E．再由圆过原点可得F=0．2,−2E/

，故选/例题以两点A(−3,−1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是 (x−1)2+(y−2)2=(x−1)2+(y−2)2=(x−1)2+(y−2)2=(x−1)2+(y−2)2=【答案 【解析 解：由题意可得，圆心为线段AB的中点C(1,2)，半径为r=1AB= 82+62= 故所求的圆的方程为(x1)2(y2)225，例题圆心在直线2x−y−7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,−4)，B(0,−2)，则圆C ．

(x−2)2+(y+3)2=【解析 圆心在线段AB的垂直平分线y=−3上，代入2x−y−7=0得圆心为(2,−3)，半r 22(−34)2= 5，故所求圆的方程为(x2)2+(y3)2=达标检测过三点A(−3,2)，B(3,−6)，C(0,3)的圆的标准方程为 x2+(y+2)2=x2+(y+2)2=x2+(y−2)2=x2+(y−2)2=【答案 解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆过点A(−3,2)，B(3,−6)，C(0,3)，则9363D6EF=09则9363D6EF=09+3E+F=D=解得E= F=则圆的方程为x2y24y21例题以两点A(−3,−1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是 (x−1)2+(y−2)2=(x−1)2+(y−2)2=(x−1)2+(y−2)2=(x−1)2+(y−2)2=【答案 【解析 解：由题意可得，圆心为线段AB的中点C(1,2)，半径为r=1AB= 82+62= 故所求的圆的方程为(x1)2y2)225，例题圆心在直线2x−y−7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,−4)，B(0,−2)，则圆C． (x−2)2+(y+3)2=【解析 圆心在线段AB的垂直平分线y=−3上，代入2x−y−7=0得圆心为(2,−3)，半r 22+(−3+4)2 5，故所求圆的方程为(x2)2y3)2=达标检测过三点A(−3,2)，B(3,−6)，C(0,3)的圆的标准方程为 x2+(y+2)2=x2+(y+2)2=x2+(y−2)2=x2+(y−2)2=【答案 解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为圆过点A(−3,2)，B(3,−6)，C(0,3)，9+4−3D+2E+F=则⎨9363D6EF=0+3E+F=D=解得⎨E= F=转化标准方程为x2(y2)225，22例题 ．44

(7,37 解：因为点P(1,3)为圆x2+y2+x−6y+m=0外一点，所以1+9+1−18+m>0，解得m>7，因为二次方程表示圆，所以1+36−4m>0，解得m<3744综上：m∈(7,3744故答案为：(7,374达标检测若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2−6x+5=0相切，则k的值等于 1−1或【答案

∵直线3x4yk0与圆(x3)2y2=4∣9+ =2，解得k=1或k=例题直线3xym=0与圆O:x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，则实数m)0<m<2<m<22<m<23<m<【答案 则圆的方程为x2+y2+4y−21=【解析 解：y 3x+m，k 3，α=①相切时， =2，)(32+)解得m=4或m=②直线过点(−2,0)代入得0=−∴23<m<

3m，解得m2，故选例题已知圆C:x2+y2=9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程 ．

x=3或4x3y15=【解析 ∵点P(3,1)∴若直线斜率k则直线方程为x3，圆心到直线的距离为3，满足相切．则直线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心到直线kxy13k=0的距离等于半径3，即d

∣1−k2+

=综上，切线方程为x3或4x3y15达标检测已知圆：(x−1)2+y2=2，则过点(2,1)作该圆的切线方程为 转化标准方程为x2y2)225，例题已知点P(1,3)为圆x2+y2+x−6y+m=0外一点，则实数m的取值范围 (7,374【解析 解：因为点P(1,3)为圆x2+y2+x−6y+m=0外一点所以1+9+1−18+m>0，解得m>因为二次方程表示圆，所以1+36−4m>0，解得m<374综上：m∈(7,374故答案为：(7,374达标检测若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2−6x+5=0相切，则k的值等于 1−1或【答案 ∵直线3x+4y+k=0与圆(x−3)2+y2=4相切∣9+ =2，解得k=1或k=例题直线3x−y+m=0与圆O:x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，则实数m)0<m<2<m<22<m<23<m<x−y−1=2x+y−5=x=x+y−3=【答案 【解析 =由斜率公式可得点(2,1)与圆心(1,0)连线的斜率k=1−0=2−故切线的斜率为−1，可得切线方程为y1(x2)，化为一般式可得：x+y−3=0．故选例题已知圆x2+y2+2x−2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是 【答案 【解析 解：圆x2+y2+2x−2y+a=0,即(x+1)2+(y−1)2=2−故弦心距d=∣−1+1+2∣ 2 4再由勾股定理可得2a(2)(2，解得a−4．344例题已知实数x，y满足x2+(y−2)2=1x

3y的取值范围是 (3,

x2+【答案 2(3,2【答案 【解析

3y0PM=∣x 3y∣，P到原点的距离OP x2+y2

∣x

=2sin∠POM x2+ ．设圆x2+(y−2)2=1与直线y=kx相切，则 =1，解得k=±3，k2+

∴∠POM最小值为30∘，最大值为

∴2⩽sin∠POM⩽

∴1⩽2sin∠POM⩽2．故选5过点A(1,−1)、B(−1,1)且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是 (x−3)2+(y+1)2=(x+3)2+(y−1)2=(x+1)2+(y+1)2=(x−1)2+(y−1)2=【答案 解：由题意得圆心一定在AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y−2=0上验证C选项不成立，D选项成立．故选随堂题已知直线l:y=k(x

3)和圆C：x2+(y−1)2=1，若直线l与圆C相切，则k 【解析 解：y 3x+m，k 3，α=①相切时 =(3)2+解得m=4或m=②直线过点(−2,0)代入得0= 3+m，解得m=2∴23<m<4，故选例题已知圆C:x2+y2=9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程 x=3或4x+3y−15=【解析 ∵点P(3,1)则直线方程为x=3，圆心到直线的距离为3，满足相则直线方程为y1=k(x3)，即kxy13k=0，则圆心到直线kx−y+1−3k=0的距离等于半径3，即d=∣1k2+

=解得k4，此时直线方程为4x3y150，综上，切线方程为x3或4x3y15=达标检测033或0【答案 【解析 由圆的方程得到圆心C(0,1)，半径r=

∣3k−∵圆心C(0,1)到直线l:y=k(x∴k=

3)的距离d=

k2+

∣=随堂题已知直线l:y等于

3xm与圆C:x2+(y3)2=6相交于A、B两点，若∣AB∣=22，则实数m−7或−1或−7或【答案 【解析 ∣0−3+d 3+

∣m−3∣2

+2=解得：m=−1或m=7，已知圆：(x−1)2+y2=2，则过点(2,1)作该圆的切线方程为 x−y−1=2x+y−5=x=x+y−3=【答案 【解析 解：由题意可得：(2−1)2+12=故可得点(21)在圆(x1)2y2=2由斜率公式可得点(2,1)与圆心(1,0)连线的斜率k

1−2−

=故切线的斜率为−1，可得切线方程为y1x2)，化为一般式可得：x+y−3=0．故选例题已知圆x2+y2+2x−2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是 【答案 解：圆x2+y2+2x−2y+a=0,即(x+1)2+(y−1)2=2−a，故弦心距d=∣−1+1+2∣= 2 4再由勾股定理可得2a=(2)(2，解得a−4．故选3例题已知实数x，y满足x2+(y−2)2=1，则x 3y的取值范围是 C.(0,A.(3,B.[1,x2+D.

3,2【答案 【解析 设P(x,y)为圆x2+(y−2)2=1上的任意一点，则P到直线x 3y=0的距PM=∣x 3y∣，P到原点的距离OP x2+y2，∴∣x

=2sin x2+ 2．设圆x2+(y−2)2=1与直线y=kx相切， =1，解得k=±k2+1

∴∠POM

∴2⩽sinPOM⩽1，∴1⩽2sin∠POM⩽2．故选：5过点A(1,−1)、B(−1,1)且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是 (x−3)2+(y+1)2=(x+3)2+(y−1)2=(x+1)2+(y+1)2=(x−1)2+(y−1)2=【答案 解：由题意得圆心一定在AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程是y=x，排除选项；圆心在直线x+y−2=0上