数学物理方程 第十一十二讲MP

斯图姆—刘维尔型（Sturm-Liouville）微分方程的本征值问题一.斯图姆-刘维尔型方程二阶线性齐次常微分方程的一般形式其中a(x)，b(x)，c(x)为x的已知函数，a≤x≤b，λ为分离变量时引入的常数.（1）（2）——斯图姆-刘维尔型微分方程其中w(x)为权函数.斯图姆—刘维尔型（Sturm-Liouville）微分方程的本征值问题一.斯图姆-刘维尔型方程（续）二.斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题的一般提法斯图姆—刘维尔型（Sturm-Liouville）微分方程的本征值问题要使（2）式构成本征值问题需要附加什么样的边界条件？1.以端点x=a为例.如果k(a)≠0，则需要附加齐次边界条件.2.以端点x=a为例.如果k(a)=0，且x=a是k(x)的至少一阶的零点，即k(x)=(x-a)m

(x)（m为自然数），其中

(x)是连续函数且

(x)≠0，则需要附加自然边界条件，即y(a)≠∞.3.如果k(a)=

k(b)，则需要附加周期边界条件，即斯图姆—刘维尔型（Sturm-Liouville）微分方程的本征值问题三.斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题的一般性质与本征值

n对应的本征函数为yn(x).将yn(x)代入方程得：三.斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题的一般性质（续）第三章勒让德多项式和球函数§1勒让德方程和连带勒让德方程一、球坐标当r=常数，，分别取所有值，得到以原点为中心r为半径的球面.当=常量，r，分别取所有值，得到以原点为顶点以极轴为轴的锥面.当

=常量，r，分别取所有值，得到与x轴夹角为

以极轴为边的半平面.球坐标下的体积元球坐标下，r=常数的球面面积元球坐标下的拉普拉斯算子§1勒让德方程和连带勒让德方程（续）§1勒让德方程和连带勒让德方程（续）二、亥姆霍玆方程亥姆霍玆方程三、球函数方程与勒让德方程三、球函数方程与勒让德方程（续）球函数方程三、球函数方程与勒让德方程（续）（1）三、球函数方程与勒让德方程（续）（3）（2）（3）式中三、球函数方程与勒让德方程（续）四、欧拉型方程的解（4）（5）由（4）可知λ为非负值，那么可设方程（1）可变为四、欧拉型方程的解（续）可求出：四、欧拉型方程的解（续）§2勒让德多项式一、二阶线性齐次常微分方程常点邻域内解的性质二阶线性齐次常微分方程的普遍形式二阶线性齐次常微分方程的标准形式（1）§2勒让德多项式一、二阶线性齐次常微分方程常点邻域内解的性质（续）由微分方程理论可知，若x0为方程（1）的常点，则在x0的邻域内方程的解y(x)存在，并且y(x)可展开为以x0为中心的泰勒级数，即（1）二、勒让德方程的幂级数解二、勒让德方程的幂级数解1.勒让德方程的可展成泰勒级数§2勒让德多项式其中由此可见，求解方程（2）在-1<x<1范围内的解，也就是求x=0邻域内的解.（2）方程（2）的两个系数这两个系数在z=0的邻域内是解析的，所以x=0是方程（2）的常点.二、勒让德方程的幂级数解（续）2.系数递推关系式§2勒让德多项式设方程（2）的解为（2）§2勒让德多项式上式是x的幂级数，而一个幂级数在一个区域内等于0的条件是其每项的系数都等于0，即勒让德方程解y(x)泰勒展式的系数递推关系公式（3）二、勒让德方程的幂级数解（续）2.系数递推关系式二、勒让德方程的幂级数解3.勒让德方程的特解与通解（续）利用以上系数构成如下幂级数：其中二、勒让德方程的幂级数解3.勒让德方程的特解与通解（续）二、勒让德方程的幂级数解3.勒让德方程的特解与通解（续）（4）由于级数（4）的系数满足递推关系（3），所以y0(x)是勒让德方程的解.二、勒让德方程的幂级数解3.勒让德方程的特解与通解（续）由于级数（5）的系数满足递推关系（3），所以y1(x)是勒让德方程的解.利用以上系数构成如下幂级数：其中（5）二、勒让德方程的幂级数解3.勒让德方程的特解与通解（续）由于y0(x)与y1(x)是x的不同幂次的级数，因此是勒让德方程的两个线性无关的特解.于是勒让德方程的同解为二、勒让德方程的幂级数解4.勒让德方程的幂级数解的收敛范围幂级数的收敛半径公式为说明在-1<x<1范围内，y0(x),y1(x),y(x)级数收敛。在x=±1边界上，这些级数是否收敛？二、勒让德方程的幂级数解4.勒让德方程的幂级数解的收敛范围（续）三、勒让德方程的本征值和本征函数