两类曲面积分的计算

两类曲面积分的计算

在高等数学课程中，计算二次首列分数（尤其是二次圆的积分）是一个重点和难点。许多学生在学习这方面的知识过程中感到困惑，情不自禁。事实上，计算二次曲线分数可以从以下几个方面开始。1在计算过程中，应注意三个方面不管用什么方法计算第二类曲面积分,首先应根据第二类曲面积分的定义及其所具有的性质来化难为易、化繁为简.因此,在计算时须注意以下三点.1.1大大简化曲面积分的求解这点性质是两类曲面积分和两类曲线积分(即可以把积分曲线代入被积函数中)所独有的,这和重积分不同.根据曲面积分的定义是很容易得到此结论的,这里不再赘述.利用这个性质可以大大简化曲面积分的计算.例1计算曲面积分Ι=∬ΣRxdydz+(z+R)2dxdyx2+y2+z2,其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半球面的上侧.分析不论用什么方法求解,我们首先可以把积分曲面Σ代入被积函数中,即此时曲面积分变为Ι=∬ΣRxdydz+(z+R)2dxdyR2,然后再选择合适的计算方法即可.1.2u3000xydxdy在此种情形下,被积函数和积分曲面都应具有轮换对称性.例2计算曲面积分I=∬Σyzdydz+zxdzdx+xydxdy,其中Σ是平面x+y+z=1被三坐标面截下部分的上侧.分析这里将变量x,y,z的位置轮换变化,被积表达式及积分曲面都不变化,即被积函数和积分曲面都具有轮换对称性,所以∬Σyzdydz=∬Σzxdzdz=∬Σxydxdy,因此I=3∬Σxydxdy,所以只须再选择合适的方法计算∬Σxydxdy即可.1.3利用奇偶函数解会中性定义类似于定积分、重积分和曲线积分,也可以利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来简化曲面积分的运算.先看下面的例题.例3设Σ是球面x2+y2+z2=R2的外侧.有的学生认为:由对称性知∯ΣzdS=0,(1)故同样也有∯Σzdxdy=0.(2)这种认识正确吗?分析这种认识显然有问题.曲面积分(1)是对的,这是因为曲面Σ关于xOy面对称,而被积函数z关于z是奇函数.但是曲面积分(2)是不对的,实际上如果利用高斯公式,很容易解得∯Σzdxdy=∭Ωdxdydz=43πR3,其中Ω是{(x,y,z)|x2+y2+z2≤R2}.那么,上述对对称性的利用为什么是错的呢?实际上,第一类曲面积分(即对面积的曲面积分)与曲面(积分域)的侧(方向)无关,故考虑对称性比较容易.但对第二类曲面积分(即对坐标的曲面积分)与曲面的侧(方向)有关,所以在考虑它的对称性时,还要考虑曲面的侧,即要顾及被积函数与曲面.因此,对于第二类曲面积分的对称性有下面的公式.若曲面Σ关于yOz坐标面对称,Σ1表示其中满足x≥0的部分,且Σ和Σ1所取的侧一致,则∬ΣΡ(x,y,z)dydz={2∬Σ1Ρ(x,y,z)dydz,Ρ(-x,y,z)=-Ρ(x,y,z),0,Ρ(-x,y,z)=Ρ(x,y,z),∬ΣQ(x,y,z)dzdx={2∬Σ1Ρ(x,y,z)dzdx,Q(-x,y,z)=Q(x,y,z),0,Q(-x,y,z)=-Q(x,y,z),∬ΣR(x,y,z)dxdy={2∬Σ1R(x,y,z)dxdy,R(-x,y,z)=R(x,y,z),0,R(-x,y,z)=-R(x,y,z),若积分曲面Σ关于xOz(或xOy)坐标面对称,被积函数P,Q,R关于y(或z)有奇偶性,则第二类曲面积分具有相似的结论.利用上面的结论,很容易得到∯Σzdxdy=2∯Σ1zdxdy,其中Σ1是上半球面{(x,y,z)|x2+y2+z2=R2,z≥0}的外侧.注1在利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来计算第二类曲面积分时,两个条件即被积函数具有奇偶性及积分曲面具有对称性必须同时成立,如果只有一个成立,则不能用.注2利用对称性时一定要顾及被积函数和曲面的侧.注3利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解题技巧,并非每个曲面积分都具有这种特殊性质.所以,在计算第二类曲面积分时,如果利用对称性有困难,不如先把它转化为二重积分,再化为定积分来计算,并在转化过程中考虑利用对称性,这是基本方法.因此,不提倡学员利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来解第二类曲面积分,更不提倡学员死记上述公式,应是理解性的应用.2计算方法第二类曲面积分的计算通常也是化为二重积分来计算的,根据其自身的特点,对于第二类曲面积分的计算学员把握住下面四种方法即可.2.1代次的计算方法直接利用公式来计算就是通过投影,把第二类曲面积分化为二重积分来计算.可以直接利用下列诸公式.若曲面Σ是由方程z=z(x,y)所给出的,其在xOy坐标面上的投影区域为Dxy,函数z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.则∬ΣR(x,y,z)dxdy=±∬DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,当Σ取上侧(即曲面Σ的法向量与z轴正向的夹角为锐角)时,公式右端取“+”号;当Σ取下侧(即曲面Σ的法向量与z轴正向的夹角为钝角)时,公式右端取“-”号.这表明,计算曲面积分∬ΣR(x,y,z)dxdy时,只要把其中的变量z换为表示Σ的函数z=z(x,y),然后在Σ在xOy坐标面上的投影区域Dxy上计算二重积分,并考虑到符号的选取即可.这一过程可总结成口诀:“一代二投三定向”.类似地,有下述公式.若曲面Σ是由方程x=x(y,z)所给出的,其在yOz坐标面上的投影区域为Dyz,函数x=x(y,z)在Dyz上具有一阶连续偏导数,被积函数P(x,y,z)在Σ上连续.则∬ΣP(x,y,z)dydz=±∬DyzP[x(y,z),y,z)]dydz,当Σ取前侧(即曲面Σ的法向量与x轴正向的夹角为锐角)时,公式右端取“+”号;当Σ取后侧(即曲面Σ的法向量与x轴正向的夹角为钝角)时,公式右端取“-”号.若曲面Σ是由方程y=y(z,x)所给出的,其在xOz坐标面上的投影区域为Dxz,函数y=y(z,x)在Dxz上具有一阶连续偏导数,被积函数Q(x,y,z)在Σ上连续.则∬ΣQ(x,y,z)dzdx=±∬DxzQ[x,y(z,x),z]dzdx,当Σ取右侧(即曲面Σ的法向量与y轴正向的夹角为锐角)时,公式右端取“+”号;当Σ取左侧(即曲面Σ的法向量与y轴正向的夹角为钝角)时,公式右端取“-”号.例4计算曲面积分I=∬Σx2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中Σ是平面x+y+z=2被三坐标面截下部分的下侧.解由于该曲面积分的被积函数和积分区域都具有轮换对称性,因此∬Σx2dydz=∬Σy2dzdx=∬Σz2dxdy,所以I=3∬Σz2dxdy.由于是取Σ下侧积分,且Σ的方程可写成z=2-x-y,其在xOy面上的投影区域Dxy是{(x,y)|0≤x+y≤2,x≥0,y≥0},因此I=3∬Σ(2-x-y)2dxdy=-3∬Dxy(2-x-y)2dxdy=-3∫20dx∫2-x0(2-x-y)2dy=-4.注4计算第二类曲面积分时,千万不能与二重积分等同或混淆,第二类曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分来进行计算的,所以在计算过程中一定要牢记口诀“一代二投三定向”.2.2有上侧面和上侧面面,有上侧面面为轴面,a型面为z.axdydza+a2dxdy+a.高斯公式设空间有界闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有∭Ω∂Ρ∂x+∂Q∂y+∂R∂zdv=∯ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy,这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧.例5计算曲面积分Ι=∬Σaxdydz+(z+a)2dxdy√x2+y2+z2,其中Σ为下半球面z=-a2-x2-y2的上侧,a为大于零的常数.解补充有向平面Σ1:z=0(x2+y2≤a2),取其下侧.记Σ和Σ1围成的空间闭区域为Ω,那么,根据曲面积分的性质及高斯公式,有Ι=1a∬Σaxdydz+(z+a)2dxdy=1a∭Ω[a+2(z+a)]dxdydz-∬Σ1axdydz+(z+a)2dxdy=1a-3π2a4+πa4=-π2a3.注5应用高斯公式计算曲面积分时必须注意以下几点:1)高斯公式的使用条件:即P,Q,R在Ω上具有一阶连续偏导数;曲面Σ要封闭;曲面Σ要取外侧,而当Σ取内侧时要变号.2)对封闭曲面,只要满足条件可直接使用高斯公式将曲面积分化为三重积分.3)对不是封闭的曲面,可通过补充有向曲面(或平面)使其封闭,然后再用高斯公式,这时要注意所补充有向曲面(或平面)的侧的选取.4)如果在Ω内有使P,Q,R不具有连续偏导数的奇点,一般应先挖去Ω内包含奇点的小邻域后再运用高斯公式.2.3原曲面积分的计算即化为第一类曲面积分来计算.两类曲面积分间具有如下关系∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS,其中cosα,cosβ,cosγ是有向曲面Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.例6计算曲面积分I=∬Σ[2f(x,y,z)+3x]dydz+[4f(x,y,z)+3y]dzdx+[2f(x,y,z)+3z]dxdy,其中Σ是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧,函数f(x,y,z)连续.解由于f(x,y,z)是抽象函数,所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算;又因为函数f(x,y,z)是连续函数,所以也不能应用高斯公式,因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算.因为平面Σ上侧的法向量为n→=(1,-1,1),所以平面Σ上侧法向量的方向余弦为cosα=cosγ=33,cosβ=-33,由两类曲面积分之间的关系,得Ι=33∬Σ3(x-y+z)dS=3∬ΣdS=32.注6利用两类曲面积分间的关系计算第二类曲面积分时,一定要注意cosα,cosβ,cosγ与有向曲面Σ在点(x,y,z)处的侧关系.2.4coscos+rdxdy即把对不同坐标面的曲面积分化为对同一坐标面的曲面积分.合一投影法实际上也是利用两类曲面积分之间的关系,把对不同坐标面的曲面积分化为对同一坐标面的曲面积分.例如,设cosα,cosβ,cosγ是有向曲面Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦,则∬ΣΡdydz=∬ΣΡcosαdS=∬ΣΡcosαcosγ⋅cosγdS=∬ΣΡcosαcosγdxdy,同理有∬ΣQdxdz=∬ΣQcosβcosγdxdy,因此∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬ΣΡcosαcosγ+Qcosβcosγ+Rdxdy,类似地有∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬ΣΡ+Qcosβcosα+Rcosγcosαdydz=∬ΣΡcosαcosβ+Q+Rcosγcosβdzdx.例7计算曲面积分I=∬Σ(x+1)dydz+ydzdx+dxdy,其中Σ是平面x+y+z=1在第一卦限部分的上侧.解平面Σ上侧的法向量为n→=(1,1,1),所以平面Σ上侧法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=33,因此I=∬Σ(x+1)cosαcosγ+ycosβcosγ+1dxdy=∬Σ(x+y+2)dxdy.又因为Σ在xOy面上的投影区域Dxy是{(x,y)|0≤x+y≤1,x≥0,y≥0},所以Ι=∬Dxy(x+y+2)dxdy=∫01dx∫01-x(x+y+2)dy=43.注7利用合一投影法计算第二类曲面积分时,也是一定要注意cosα,cosβ,cosγ与有向曲面Σ在点(x,y,z)处的侧关系,同时还要注意根据积分曲面Σ来确定合一为什么类型.总之,第二类曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题,同