材料力学1弯曲变形复习

ShanghaiUniversity材料力学第5章基础篇之五材料力学梁的弯曲问题(3)——位移分析与刚度计算

上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。

另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。

此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁的求解问题。第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

梁的变形与梁的位移

叠加法确定梁的挠度与转角

简单的静不定梁

结论与讨论

梁的刚度问题

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

梁的变形与梁的位移第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

梁的曲率与位移

挠度与转角的相互关系

梁的变形与梁的位移

第5章梁的弯曲问题(43-位移分析与刚度计算

根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：

梁的曲率与位移

梁的变形与梁的位移

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。

在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。

梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

挠度与转角的相互关系

梁的变形与梁的位移

第8章梁的弯曲问题(4)-位移分析与刚度计算

在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：

在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有w＝

w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。

梁的变形与梁的位移

第8章梁的弯曲问题(4)-位移分析与刚度计算

梁的小挠度微分方程及其积分第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

梁的小挠度微分方程及其积分

小挠度微分方程

小挠度微分方程的积分与积分常数的确定

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

小挠度微分方程

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

小挠度微分方程

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

采用向下的w坐标系，有

小挠度微分方程

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

小挠度微分方程

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

小挠度微分方程的积分与积分常数的确定

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。

小挠度微分方程的积分与积分常数的确定

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

确定约束力,判断是否需要分段以及分几段

分段建立挠度微分方程

微分方程的积分

利用约束条件和连续条件确定积分常数

确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结

分段写出弯矩方程

梁的小挠度微分方程及其积分

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

叠加法确定梁的挠度与转角第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。

基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

叠加法应用于多个载荷作用的情形

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

叠加法应用于多个载荷作用的情形

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

已知：简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC；B截面的转角

B。例题

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(4)-位移分析与刚度计算解：1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算解：2.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC和转角

C。例题

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算解：3．将简单载荷作用的结果叠加

叠加法确定梁的挠度与转角

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

梁的刚度问题

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：

上述二式中

w

和

分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

梁的刚度条件

梁的刚度问题

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

简单的静不定梁第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

多余约束与静不定次数

求解静不定梁的基本方法

简单的静不定梁

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算静不定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数多余约束——保持结构静定多余的约束

多余约束与静不定次数

简单的静不定梁

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

静定与静不定问题的辩证关系

由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。

求解静不定梁的基本方法

简单的静不定梁

第5章梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算

求解静不定问题的基本方法

根据以上分析，求解静不定问题．除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（com