保定市唐县一中高一下学期第一次月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年河北省保定市唐县一中高一(下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分,共60分）1．已知△ABC中,a=1，b=2,∠C=60°，则边c等于（）A． B． C． D．52．等差数列｛an｝中,若a2=1,a6=13，则公差d=（)A．3 B．6 C．7 D．103．在△ABC中,cos2=，(a,b,c分别为角A，B，C的对边）,则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形4．在正项等比数列{an}中3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．95．设甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A．20m，m B．10m,20m C．10(﹣）m,20m D．m，m6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A． B． C． D．7．已知函数f(x)=4x2﹣1，若数列｛}前n项和为Sn，则S2015的值为（）A． B． C． D．8．若｛an｝是等差数列,首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0,则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．20159．在△ABC中,AB=3,BC=4，D是BC的中点，且,则sin∠ADC=（)A． B． C． D．10．已知an=an2+n，若数列｛an}为递增数列，则实数a的范围（）A．(0，+∞） B．［0，+∞） C．（﹣，+∞） D．(﹣∞，﹣]∪[0，+∞）二、填空题（每小题4分，共20分）11．数列{an}的前n项的和Sn=2n2﹣n+1,则an=．12．在△ABC中，已知三边a,b，c满足（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab,则∠C=．13．等比数列{an｝中，a4=2，a5=4，则数列｛lgan}的前8项和等于．14．设数列{an｝中，a1=2,an+1=an+n+1，则通项an=．15．对于△ABC,有如下四个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形;②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形；③若sin2A+sin2B＞sin2C,则△ABC是锐角三角形;④若，则△ABC是等边三角形．其中正确的项有．三、解答题16．锐角三角形中，a=2bsinA．①求角Β的大小；②若a=3，c=5，求边b．17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4,求sinA的值;（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1,a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an｝的通项公式；（Ⅱ）设{｝是首项为1公比为2的等比数列，求数列｛bn｝前n项和Tn．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c．(Ⅰ）求角C的值；(Ⅱ）若c=,求△ABC的周长的取值范围．20．已知数列{an｝,an∈N＊，前n项和Sn=(an+2）2．（1)求证：{an}是等差数列；（2）若bn=an﹣30，求数列{bn｝的前n项和的最小值．

2016-2017学年河北省保定市唐县一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知△ABC中,a=1，b=2，∠C=60°，则边c等于(）A． B． C． D．5【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算求值得解．【解答】解：∵a=1，b=2，∠C=60°,∴由余弦定理可得：c===．故选：A．2．等差数列｛an｝中，若a2=1，a6=13，则公差d=(）A．3 B．6 C．7 D．10【考点】等差数列的通项公式．【分析】把已知数据代入等差数列的通项公式可得d的方程，解方程可得．【解答】解：由等差数列的通项公式可得a6=a2+4d,代入数据可得13=1+4d，解得d=3故选：A3．在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B,C的对边），则△ABC的形状为(）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】解三角形．【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【解答】解:∵cos2=，∴=，∴cosB=,∴=,∴a2+c2﹣b2=2a2,即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选B4．在正项等比数列{an}中3a1，a3,2a2成等差数列，则等于(）A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．9【考点】等比数列的通项公式．【分析】通过设数列{an｝的公比为q(q＞0），利用a3=3a1+2a2计算可知q=3，通过=计算即得结论．【解答】解:设数列｛an}的公比为q(q＞0），依题意，a3=3a1+2a2,∴a1q2=3a1+2a1q，整理得：q2﹣2q﹣3=0,解得:q=3或q=﹣1（舍），∴==q2=9，故选：D．5．设甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是（）A．20m，m B．10m，20m C．10（﹣）m，20m D．m，m【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】根据题意画出图形，如图所示，在三角形ABD中，由BD与∠ABD度数，利用锐角三角函数定义求出AD与AB的长,确定出甲楼高；在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，将AB与cos∠ACB的值代入求出BC的长,即为乙楼高．【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=20m，∴AD=BDtan60°=20m，AB==40m,∵∠CAB=∠ABC=30°，∴AC=BC，∠ACB=120°，在△ABC中,设AC=BC=x，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB，即1600=x2+x2+x2，解得：x=,则甲、乙两楼的高分别是20m，m．故选：A．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6,△ABC的面积为，则C=()A． B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程,再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解:由题意可得c2=（a﹣b)2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=,代入ab(1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC）,再由sin2C+cos2C=1可得3(1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1(舍去），∵C∈(0，π），∴C=,故选：A．7．已知函数f（x)=4x2﹣1,若数列｛｝前n项和为Sn，则S2015的值为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和．【分析】由f（x）=4x2﹣1得到，然后利用裂项相消法求得S2015的值．【解答】解：由f（x）=4x2﹣1，得=,∴S2015==．故选:D．8．若{an｝是等差数列,首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】数列的函数特性．【分析】由已知条件推导出a1007＞0，a1008＜0，由此能求出使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值．【解答】解：∵等差数列｛an｝，首项a1＞0，a1007+a1008＞0,a1007•a1008＜0,∴a1007＞0，a1008＜0．如若不然,a1007＜0＜a1008，则d＞0,而a1＞0，得a1007=a1+1006d＞0，矛盾,故不可能．∴使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n为2014．故选：C．9．在△ABC中,AB=3，BC=4,D是BC的中点，且，则sin∠ADC=（）A． B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求AD，AC的值，在△ABC中，由正弦定理可求sinC，进而在△ADC中,由正弦定理计算可求sin∠ADC=的值．【解答】解：在△ABC中,∵AB=3，BC=4，D是BC的中点,且，∴AD==,AC==，∵在△ABC中，由=，可得：sinC===，∴在△ADC中，，可得：sin∠ADC===．故选：B．10．已知an=an2+n，若数列｛an}为递增数列,则实数a的范围(）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．(﹣,+∞) D．(﹣∞，﹣]∪［0，+∞）【考点】数列的函数特性．【分析】an=an2+n，且{an｝是递增数列，可得an+1＞an，化简解出再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵an=an2+n,且{an}是递增数列，∴an+1＞an,∴a（n+1）2+（n+1）＞an2+n，化为：a＞﹣，∵数列{﹣｝单调递增,∴实数a的取值范围是a≥0．故选:B．二、填空题（每小题4分，共20分）11．数列{an｝的前n项的和Sn=2n2﹣n+1,则an=．【考点】数列递推式．【分析】先求n≥2，利用递推公式，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，然后再求当n=1，a1=S1，检验a1是否适合上式，从而可求【解答】解：∵Sn=2n2﹣n+1当n=1，a1=S1=2n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n+1﹣2(n﹣1)2﹣（n﹣1)﹣1=4n﹣3当n=1，a1=S1=2不适合上式故答案为：12．在△ABC中，已知三边a，b，c满足(a+b+c）（a+b﹣c)=3ab，则∠C=60°．【考点】余弦定理．【分析】先将(a+b+c)（a+b﹣c）=3ab展开化简，再由余弦定理可求出角C的余弦值,从而得到答案．【解答】解:∵(a+b+c）(a+b﹣c）=3ab,∴(a+b）2﹣c2=3ab∴a2+b2﹣c2=ab由余弦定理得:cosC==C=60°故答案为:60°．13．等比数列{an｝中，a4=2,a5=4，则数列｛lgan｝的前8项和等于12lg2．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得：a1a8=…=a4a5=8．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a8=…=a4a5=8．∴数列{lgan}的前8项和=lg（a1a2…a8）=lg84=12lg2．故答案为：12lg2．14．设数列{an｝中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=．【考点】数列递推式．【分析】利用累加法即可求得答案．【解答】解：∵an+1=an+n+1,∴n≥2时,a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…,an﹣an﹣1=n,以上各式相加，得an﹣a1=，，又a1=2适合上式,∴，故答案为：．15．对于△ABC，有如下四个命题:①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinB=cosA,则△ABC是直角三角形；③若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形；④若，则△ABC是等边三角形．其中正确的项有④．【考点】余弦定理．【分析】①根据三角函数的倍角公式进行判断．②根据三角形的图象和性质进行判断．③根据正弦定理去判断．④根据正弦定理和三角函数的公式进行判断．【解答】解：①在△ABC中,若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形，∴①错误．②若sinB=cosA，则sinB=cosA＞0．即A是锐角，sinB=cosA=sin(﹣A）,∴B=﹣A或B+﹣A=π,即A+B=或B﹣A=，则△ABC不一定为直角三角形，∴②错误．③若sin2A+sin2B＞sin2C，则根据正弦定理得a2+b2＞c2，∴C为锐角，∴△ABC不一定是锐角三角形，∴③错误．④若,则由正弦定理,可得：，即:tanA=tanB=tanC，由于，A+B+C=π，可得：A=B=C，可得△ABC为等边三角形，故正确的是④．仅有一个故答案为：④．三、解答题16．锐角三角形中，a=2bsinA．①求角Β的大小；②若a=3,c=5，求边b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】①利用正弦定理即可得出．②利用余弦定理即可得出．【解答】解：①∵a=2bsinA，由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，sinA≠0，∴sinB=，∵△ABC是锐角三角形,∴B=B=30°．②由余弦定理可得：﹣2×=7，解得．17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．【考点】正弦定理;余弦定理．【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；（Ⅱ)由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2,b=4,∴sinA===；（Ⅱ)S△ABC=4=×2c×,∴c=5，∴b==．18．已知等差数列｛an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ)求数列｛an}的通项公式；（Ⅱ）设{}是首项为1公比为2的等比数列,求数列{bn}前n项和Tn．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差,由此能求出an=2n+1．（Ⅱ）,由此利用错位相减法能求出数列｛bn}前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列｛an}的前n项和为Sn,公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．∴，…解得…∴an=a1+（n﹣1)d=3+2（n﹣1）=2n+1,∴an=2n+1…（Ⅱ）∵｛｝是首项为1公比为2的等比数列，∴…∴①②…两式相减得：=1+(2n﹣1)•2n…19．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA)=c．（Ⅰ）求角C的值;（Ⅱ）若c=,求△ABC的周长的取值范围．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求角C的值；(Ⅱ）利用余弦定理以及基本不等式求出a+b的范围，然后求解即可．【解答】解：(Ⅰ)2cosC（acosB+bcosA）=c由正弦定理得：2cosC(sinA•cosB+sinB•cosA）=sinC…2cosC•sin(A+B)=sinC∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π）∴sin（A+B）=sinC＞0∴2cosC=1，…∵C∈(0，π）∴…（Ⅱ)由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2ab•cosC3=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab…．则，…．又，，周长的取值范