拉格朗日定理和函数的单调性市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

§1拉格朗日定理和函数单调性一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性判别质来得到f

在该区间上整体性质.中值定理,就能够依据在区间上性中值定理是联络

与

f桥梁.有了返回1/26定理6.1(罗尔中值定理)一、罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间(a,b)内必定(最少)存在一点

,使(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)上可导;(iii)f(a)=f(b).2/26(1)几何意义据右图,平.一点处切线也是水看出,

曲线上最少有.由几何直观能够所以线段

AB是水平因为点击上图动画演示f(a)=

f(b),3/26(2)条件分析定理中三个条件都很主要，缺乏一个,结论不在[0,1]上满足条件(ii)和一定成立.数在(0,1)上导数恒为1.(iii),但条件(i)不满足,该函4/26满足条件(i)和(iii),但条件条件(i)和(ii),但条件(iii)满足处不可导),结论也不成立.(ii)却遭到破坏(f在x=0内导数恒为1.却遭到破坏,该函数在(0,1)5/26定理证实因为

f(x)在[a,b]上连续,所以由连续函数最大、情形1

M=m.此时

f(x)恒为常数,它导函数恒

f(

)=0.小值

m.下面分两种情形加以讨论.最小值定理,f(x)在[a,b]上能取得最大值

M和最等于零,此时可在(a,b)内随意取一点

,就有6/26情形2

m<M.既然最大、最小值不等,从而最大因为在区间内部取到最大值一定是极大值,所以使得大值不在端点取到,故存在值与最小值最少有一个不在端点取到.不妨设最由费马定理,得7/26这与条件矛盾.例1设p(x)是一个多项式,且方程p'(x)=0没有实证重数为1.根,则方程p(x)=0至多有一个实根，且这个根8/26矛盾.9/26设函数f(x)

满足：定理6.2(拉格朗日中值定理)(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内(最少)存在一点,使得10/26几何意义如右图，用平行推移方法,曲线上最少在一点可见，罗尔定理是拉格朗日定理一个特例.连线斜率为y

=

f(x)两个端点A,B处切线与AB平行,其斜率也等于曲线11/26定理证实设能够验证F(x)满足罗尔定理三个条件,所以使即12/26推论1设在区间I上导函数,则是一个常值函数.证对于区间I上任何两点与,,在[x1,x2]上满足拉格朗日定理条件,则有这就是说,在区间I上任何两个值都相等,所认为常值函数.13/26证分别按左右极限来证实.14/26对上式两边求极限，便得15/2616/26例2设f(x)在区间I上可微,且,则函数f(x)在区间I上一致连续.证对于任意正数

,取,对任意只要,便有故在I上一致连续.17/26例3求证:证设显然在区间上满足拉格朗日定理条件，故有注例3中不等号能够成为严格.实际上,当式成立.当时，和时,

显然不为零,严格不等18/2619/26二、函数单调性判别改为严格不等号,则对应地称它为严格增(减).下面定理是本节中两个主要定理,今后将不若函数若“”断地使用.20/26定理6.3证21/26定理6.4可微函数f(x)在区间I上严格递增充即证个区间.满足点集不含一要条件是：22/26矛盾.充分性得证.注

请读者写出对应于递减和严格递减判别定理.必要性请读者自证.在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.性质23/26作为应用，下面再举两个简单例子.例7求证证恒有24/26例8设