数学物理方程-6-特征线法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

本章中心内容第6章特征线法

特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程

在数学天地里,主要不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.--毕达哥拉斯第1页Methodofcharacteristics一个基于特征理论求解双曲型偏微分方程组似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了深入发展，在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛用。

特征线法也是求解偏微分方程一个基本方法。其实质是沿偏微分方程特征线积分以使方程形式简化，从而使其求解称为可能。它不但适合用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程一个有效方法。第2页一、特征线法

结合一些详细定解问题求解，说明特征线方法基本思想和求解方法。第一节、一阶偏微分方程特征线法

例1求解线性方法Cauchy问题

解

方程（1）左端是一阶偏导数线性组合。特征线方法基本思想就是将其转化为关于t全导数。在这条直线上，即，在这个直线上，上述定解问题转化为第3页解之，得又，则此解法关键之处是找到直线，偏微分方程转化为常微分方程。直线称为一阶偏微分方程（1）特征线第4页特征线是方程解，方程称为（1）特征方程，其解就是（1）特征线。沿一阶偏微分方程特征线将方程化为常微分方程，便是特征线法基本思想。对定解问题（1）（2）也能够用变量代换方法求解。详细做法是，做变换则第5页即代入有所以即对两边积分，可得其中，为一个可微函数。由第6页由方程（2）得即所以第7页定义1考虑下面一阶线性微分方程注1给出例1求解方法一个几何解释。在该例中，使用了参数其中、和、均为自变量、函数。方程称为(4)式特征方程，其积分曲线称为(4)式特征曲线。c，即为特征线初始值。当参数在轴滑动时，(3)式解曲线就织成了(1)式--(2)式解曲面。为了防止和常数c混同，下面用变量代替参数c。请记住：改变相当于在轴上滑动。第8页

例2求解线性方法柯西问题解方程(6)式特征方程为而过点特征线就是下面问题解解之可得。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为第9页解出最终，由特征线方程易得该问题解为常数(8)式中便得(6)式-(7)式解为将其代入到第10页

练习求以下Cauchy问题解

解第一步求特征线。特征线方程解为

第二步化偏微分方程为常微分问题并求解。令则第11页则这个常微分方程初值问题解为又所以第12页下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数系数与未知函数一阶拟线性方程柯西问题普通形式为相关。第13页方程(9)式有一个很直观几何解释，在法对曲面上任一点三维空间中，(9)式解可视为该空间中一曲面

曲面在该点向量为而在曲面上，过点曲线在点切向量为。显然，向量与在点相互垂直。如记向量则方程(9)式恰好表示向量与在点处相互垂直。所以，在曲面第14页第二节、一维波动方程特征线法考虑弦振动方程Cauchy问题

这里是无界问题，能够用积分变换求解，下用特征线求解。

特征线族即可得第15页

（3）称为特征方程

做变量代换则第16页则（1）式变为积分此方程，可得其中f、g是两个任意函数，将变量还原成x和t得由方程（2）式，可得第17页对上面第