自动控制原理第三章3-劳斯公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

系统稳定性和代数稳定判据第1页一、稳定基本概念和线性系统稳定充要条件稳定是控制系统主要性能，也是系统能够正常运行首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些原因扰动，比如负载和能源波动、系统参数改变、环境条件改变等。假如系统不稳定，就会在任何微小扰动作用下偏离原来平衡状态，并随时间推移而发散。所以，怎样分析系统稳定性并提出确保系统稳定办法，是自动控制理论基本任务之一。稳定充要条件和属性

稳定基本概念：

设系统处于某一起始平衡状态。在外作用影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，假如经过足够长时间它能回复到原来起始平衡状态，则称这么系统为稳定系统。不然为不稳定系统。第2页线性系统稳定充要条件：

系统特征方程根（即传递函数极点）全为负实数或含有负实部共轭复根。或者说，特征方程根应全部位于s平面左半部。稳定充要条件和属性第3页充要条件说明

假如特征方程中有一个正实根，它所对应指数项将随时间单调增加；假如特征方程中有一对实部为正共轭复根，它对应项是发散周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定。假如特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；假如特征方程中有一对共轭虚根，它对应于等幅周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面第4页对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定。对于二阶系统，只有都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）对于三阶或以上系统，求根是很烦琐。于是就有了以下描述代数稳定性判据。充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统一个属性，只与系统本身结构参数相关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点相关，与零点无关。第5页二、劳斯稳定性判据设线性系统特征方程为则该系统稳定充要条件为：特征方程全部系数为正值；由特征方程系数组成劳斯阵第一列也为正。劳斯判据第6页设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412劳斯表介绍劳斯表特点4每两行个数相等1右移一位降两阶2行列式第一列不动3次对角线减主对角线5分母总是上一行第一个元素7第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正数ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε第7页劳斯判据系统稳定必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号次数为特征根在s右半平面个数!特征方程各项系数均大于零!稳定吗？第8页劳斯判据例子[例]：特征方程为：，试判断稳定性。[解]：劳斯阵为：稳定充要条件为：均大于零且第9页特殊情况下劳斯阵列列写及结论：用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统稳定性结论；劳斯阵第一列全部系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变次数。[例]：系统特征方程为：-130（2）100（）劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定。其符号改变两次，表示有两个极点在s右半平面。劳斯判据特殊情况第10页劳斯判据特殊情况劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。[处理方法]：用很小正数代替零那一项，然后据此计算出劳斯阵列中其它项。若第一次零（即）与其上项或下项符号相反，计作一次符号改变。[例]：令则

故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。第11页劳斯阵某行系数全为零情况。表明特征方程含有大小相等而位置径向相反根。最少要下述几个情况之一出现，如：大小相等，符号相反一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴两对共轭复根。劳斯判据特殊情况比如:[处理方法]：可将不为零最终一行系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程系数代替全零行。大小相等，位置径向相反根能够经过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数。第12页劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3怎样求对称根?②由零行上一行组成辅助方程:①

有大小相等符号相反特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:s1,2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定第13页[例]：168168130380从第一列都大于零可见，好象系统是稳定。注意此时还要计算大小相等位置径向相反根再来判稳。由辅助方程求得：劳斯判据特殊情况辅助方程为：，求导得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此时系统是临界稳定。控制工程上认为是不稳定。第14页三、劳斯稳定性判据应用

判定控制系统稳定性[例3-1]系统特征方程为：，判断系统稳定性。[解]：排列劳斯阵以下：因为，，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。因为劳斯阵第一列有两次符号改变，所以系统在s右半平面有两个极点。第15页[例3-2]系统特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。[解]：劳斯阵以下行全为零。由前一行系数组成辅助方程得：其导数为：将4,48或1,12代替行，可继续排列劳斯阵以下：

因为行全为零，所以特征方程必有特殊根。求解以下：

因为有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定第16页设剩下一个根为-p。则：，整理得：比较系数得：-p=-2极点分布以下：注意：劳斯判据实际上只能判断代数方程根是在s平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴上根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴实根或共轭复根，则一定在劳斯表第一列有变号，并可由辅助方程求出第17页

分析系统参数改变对稳定性影响利用劳斯稳定性判据还能够讨论个别参数对稳定性影响，从而求得这些参数取值范围。若讨论参数为开环放大系数K，则使系统稳定最大K称为临界放大系数。[例3-7]已知系统结构图，试确定系统临界放大系数。[解]：闭环传递函数为：特征方程为：第18页劳斯阵：要使系统稳定，必须①系数皆大于0，②劳斯阵第一列皆大于0所以，临界放大系数确定系统相对稳定性（稳定裕度）利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据确定是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。第19页利用实部最大特征方程根p（若稳定话，它离虚轴最近）和虚轴距离表示系统稳定裕量。若p处于虚轴上，则，表示稳定裕量为0。作垂线，若系统极点都在该线左边，则称该系统含有稳定裕度。普通说，越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以z为变量新特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统含有稳定裕度。[例]系统特征为：，可知它是稳定。令则：行全为零，以它上面行组成辅助方程，其解为特殊根。对辅助方程求导，用其系数代替行。辅助方程为：，其系数为1，0。其解为： ，有一对共轭虚根，所以系统是临界稳定。系统稳定裕度恰为1。第20页[例]已知系统结构图