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2023年9月16日上海交通大学继续教育学院1微积分基础

使用教材：高等数学(经管类)上册21世纪高职高专规划教材主讲教师：王培康e-mail:wangpeikang718@第1页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院2第一章函数极限与连续

第2页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院3

经济数学是以微积分作为关键内容。微积分是人类二千多年来智力奋斗结晶，有着广泛而深刻应用，又是其它课程基础。

微积分起源主要来自两方面问题：一是物理学一些新问题，已知旅程对时间关系求速度及已知速度对时间关系求旅程，二是几何学一些相当老问题，作曲线切线和确定面积和体积等问题。这些在古代就研究过，在17世纪早期开普勒、卡瓦列里和许多其它数学家也研究过，不过这两类问题之间显著关系发觉，处理这些问题普通方法形成，要归功于牛顿(Newton，英)和莱布尼兹(Leibniz，德)。第3页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院4

牛顿和莱布尼兹超越前人功劳在于，他们能够站在更高角度，对于以往分散努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题各种技巧统一为两类普遍算法——微分和积分，而且确定了两类运算互逆关系，从而完成了微积分创造中最终、也是最关键一步，在17世纪后半叶建立了微积分。微积分发觉在科学史上含有决定性意义。

微积分是以变量与变量之间关系(即函数)为研究对象，所用主要工具是极限。

本章先对以前学过相关函数内容作些复习和小结，为以后各章学习作些必要准备。第4页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院51.1函数

一、集合

把一定而且彼此能够明确识别事物（这种事物能够是直观对象，也能够是思维对象）放在一起，称为一个集合。——

乔治·

康托

（德国数学家、集合论创始人）第5页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院6

两种惯用实数集合：区间与邻域第6页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院7.。区间用不等式表示：x-110区间用集合表示：x0第7页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院8此区间称为点

a

δ

邻域,

称为点

a

δ去心邻域,

δ

称为邻域半径。a称为邻域中心,若此邻域中不包含点

a,即记为记为。。xa第8页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院9二、绝对值第9页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院10第10页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院11x--自变量,y--因变量,定义D--定义域三、函数概念--值域。第11页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院12例:

xy函数图象:由定平面点集.(普通为平面曲线)所确oxy第12页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院13

函数定义域就是使得函数表示式有意义组成函数基本要素：定义域及对应法则.自变量一切可能取值组成集合.只要定义域及对应法则确定,则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不主要.第13页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院14函数相等：例1：判断以下函数是否为相等函数：必须定义域及对应法则都相同。(1)(常值函数)(2)(3)定义域不一样对应关系不一样三组函数均为不一样函数第14页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院15例2：求以下函数定义域：(2)(1)第15页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院16函数表示法:公式法,图示法,表格法.公式法中,当自变量在定义域内不一样范围取值时用不一样式子所表示函数,称为分段函数.如：0xy12又如:某商店对某商品售价要求以下:购置量不超出5千克时,每千克0.8元,购置量大于5千克时,超出5千克部分优惠价每千克0.6元.若以x

表示购置量,y

表示购置x

千克费用,则第16页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院17解:第17页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院181.

有界性不然称无界。设

f(x)定义域为D,使对任一

则称

f(x)在

D

上有界,如：①=M,∴为D上有界函数。②③无界。有界。oxy12若存在正数M,四、函数几个特征第18页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院19②③第19页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院20②③第20页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院212.

单调性二者统称为严格单调函数,

I

为严格单调区间。设

f(x)定义域为D,区间对

I

上任二点

x1,x2,当

x1<x2

时,则称

f(x)在

I

上严格单调增加则称

f(x)在

I

上严格单调降低若都有若都有第21页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院22例：则称

f(x)在

I

上单调增加;同理可定义

f(x)在

I

上单调降低.二者也统称为单调函数,

I

为单调区间。严格单调函数必定是单调函数;

但反之不然.oxy第22页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院23严格单调增加严格单调降低oxyoxy第23页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院243.

奇偶性设

f(x)定义域

D

关于原点对称,都有则称

f(x)为偶函数；都有则称

f(x)为奇函数。若对任一若对任一第24页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院25例1:判断以下函数奇偶性所认为偶函数;所认为奇函数;第25页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院26定义域关于原点不对称,所认为非奇非偶函数;所认为非奇非偶函数.例1:判断以下函数奇偶性第26页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院27偶函数图形关于

y

轴对称奇函数图形关于原点对称oxyx－xoxyx－x第27页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院28五、反函数与复合函数1.反函数普通地,第28页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院29第29页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院302.复合函数第30页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院31复合函数简称复合函数,记作其中

u

称为中间变量。即u=g(x)值域

g(D)与y=f(u)

定义域D(f)交集非空时,为复合函数。设

y

是

u

函数：y=f(u),而

u

又是

x

函数：u=g(x),若g(x)值域全部或部分包含在

f(u)定义域内,则

y

经过

u成为

x

函数：它是由

y=f(u),u=g(x)复合而成。第31页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院32y=f(u),u=g(x)u=g(x)值域

g(D)与y=f(u)

定义域D(f)交集非空时,为复合函数。第32页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院33(1)例1.讨论以下函数复合情况：(2)(3)条件不满足，不能复合.定义域定义域第33页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院34例2.把以下复合函数分解成简单函数：(2)(3)(1)第34页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院35例3.第35页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院36第36页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院37第37页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院38六、初等函数熟练掌握它们定义域、图象、性质等性态

幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数常数函数1.基本初等函数(见教材第158页附录A)

第38页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院39有界函数第39页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院40(2)幂函数它们图形:第40页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院41第41页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院42它们图形:第42页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院43(3)指数函数定义域为因为，故值域为第43页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院44本课程中惯用指数函数如第44页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院45(4)对数函数定义域为值域为第45页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院46本课程中惯用对数函数——自然对数第46页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院47(5)三角函数正弦函数定义域为值域为周期为

有界奇函数第47页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院48余弦函数定义域为值域为周期为

有界偶函数第48页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院49正切函数定义域为:周期为

无界奇函数第49页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院50余切函数定义域为:周期为

无界奇函数第50页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院51(6)反三角函数反正弦函数定义域为值域为有界奇函数,第51页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院52反余弦函数定义域为值域为有界函数,第52页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院53反正切函数定义域为值域为有界奇函数,第53页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院54反余切函数定义域为值域为有界函数,第54页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院552.初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限如：分段函数普通不是初等函数,但也有例外.次复合运算而组成而且用一个式子表示函数,称为初等函数.第55页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院56

我国魏晋时期数学家刘徽用圆内接正

多边形来推算圆面积,即为割圆术。圆内接正三角形面积

A1圆内接正六边形面积

A2圆内接正十二边形面积

A3…圆内接正

m边形面积

An刘徽发觉圆面积正是A1,A2,…,An,…当

n无限变大时趋近值。…1.2函数极限

一、数列极限第56页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院571.

数列定义按照某一法则,依次排列着无穷多个数:称为无穷数列,简称数列,记作{xn}.其中每一个数称为数列项,xn

称为普通项或通项.也可看作自变量取正整数函数:xn=f(n),D:n=1,2,…称为整变量函数.第57页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院58例：①1,2,3,…,n,

…②③④第58页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院592.

数列性质

(1)

单调性对数列{xn},若都有则称为单调增加数列；则称为单调降低数列。二者统称单调数列。

单调增加数列单调降低数列不是单调数列第59页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院60

(2)

有界性对数列{xn},xn满足则称数列{xn}有界；若这么

M

不存在,则称数列{xn}无界。有界数列无界数列若存在

M>0,使对一切第60页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院613.

数列极限考查数列.1.0........当

n无限增大时,xn与

0(原点)距离无限变小,要多小就能多小!数

0

称为数列第61页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院62定义:第62页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院63例：考查以下数列收敛是否;若收敛,求其极限.①1,2,3,…,n,

…②③④发散收敛发散收敛第63页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院64

4.收敛数列性质定理1.若数列{xn}收敛,

则其极限值唯一。（数列极限唯一性）定理2.若数列{xn}收敛,则数列{xn}有界。（收敛数列有界性）

注意此定理逆定理不成立,即

有界数列不一定收敛。如：xn=(−1)n+1发散,但有界。定理3.

单调有界数列必收敛。第64页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院65？？(1)

(2)

二、函数极限(1)

(2)(1)

(2)第65页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院66考查函数oxy第66页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院67定义第67页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院68对反正切函数第68页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院69指数函数oxy第69页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院70正弦函数第70页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院71

主要结论第71页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院720xy-1124当

x

无限趋近

1时,f(x)无限趋近于

4,即

x

与

1距离无限缩小时,f(x)与

4距离也无限缩小。。第72页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院73定义第73页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院74

显然f(x)在

x=x0

处有没有定义与

f(x)当

x→x0

时有无极限无关.第74页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院75左极限与右极限统称为单侧极限。

主要结论能够证实还可证实第75页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院76例：解：0xy1。第76页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院77例：0xy1。第77页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院78三、函数极限性质1.唯一性2.(局部)有界性3.(局部)保号性且

A>0,第78页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院794.迫敛性假如第79页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院801、无穷小四、无穷小与无穷大定义：若函数f(x)在自变量x

某个改变过程中以零为极限,则称在该改变过程中,f(x)为简称无穷小。无穷小量。如第80页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院81说明：(1)无穷小不是一个数(或一个很小数),

在自变量某一改变过程中,以零为极限如：(2)0是无穷小中唯一数。(3)讲到无穷小一定要和自变量改变过程联络在一起。不然会发生错误。

而是变量。第81页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院82推论1.有限个无穷小乘积是无穷小.无穷小性质:定理1.

有限个无穷小和还是无穷小.注意:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理2.

有界函数与无穷小乘积是无穷小.推论2.

无穷小与有极限变量乘积是无穷小.第82页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院83例第83页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院84无穷小与函数极限关系定理.反之亦成立.注：实际上在时上述结论也成立.第84页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院85无穷小比较x,x2,sinx当

x→0时都为无穷小,

两个无穷小之比极限各种不一样情况,反应了不一样无穷小趋向于零“快慢”程度不一样.第85页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院86定义：高阶无穷小；同阶无穷小；等价无穷小。第86页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院87第87页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院88定理.(等价无穷小代换定理）同理,有第88页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院89一些主要等价无穷小：第89页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院90求以下函数极限：第90页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院912、无穷大无穷大(量).第91页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院92(2)在如

f(x)为无穷大则是不存在,但为了方便起见,称其极限为无穷大,记为(3)说明：(1)

无穷大不是一个数,也是一个变量,是表示变量一个越来越大趋势.第92页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院93(4)当说f(x)是无穷大时,必须同时指出自变量x

改变过程.比如第93页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院94

无穷大与无穷小关系定理2.在自变量同一改变过程中,若

f(x)为无穷大,若

f(x)不为零且为无穷小,第94页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院951.3极限四则运算法则与两个主要极限第95页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院96

定理1若

limf(x)=A,limg(x)=B存在,则

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB.(C:常数)一、极限四则运算法则第96页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院97例1.解第97页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院98普通地,设多项式同理,设有理分式函数P(x),Q(x)均为多项式,第98页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院99例2.当

Q(x0)=0

时,则需详细问题详细讨论.第99页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院100例3.第100页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院101例4.第101页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院102用此性质可证实两个主要极限之一2、两个主要极限函数极限迫敛性假如第102页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院103主要极限(1)证作单位圆如图,∠AOD=xx显然：OABCD第103页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院104主要极限(1)xOABCD证毕第104页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院105主要极限（1）注意：2.主要极限(1)普通形式第105页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院106求以下极限：=1.=5.第106页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院107第107页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院108数列极限性质单调有界数列必有极限.用此性质能够证实以下主要极限：主要极限(2)更普通,有以下主要极限2：几个变形：1.2.第108页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院109求以下极限：第109页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院1101.4

函数连续性与间断点一、函数连续性增量概念：设变量

u从它一个初值

u1变到终值u2,则

u2－u1叫做变量

u增量.记作

△u.即

△u=u2－u1注意：增量

△u可正可负也可为零。第110页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院111设

y=f(x)在

x0

某个邻域内有定义,假如当自变量

x在x0处取得增量△x变为f(x0+△x),则对应函数值从f(x0)变为x0+△x时,称f(x0+△x)－f(x0)为对应

即

△y=f(x0+△x)－f(x0).函数增量,记为

△y,第111页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院112设

y=f(x)在

x0

某个邻域内有定义,定义假如当自变量

x在x0增量△x

趋于零时,对应函数增量

△y=f(x0+△x)－f(x0)也趋于零,那么就称y=f(x)在

x0点连续.点

x0称为y=f(x)连续点.即若则

y=f(x)在

x0点连续.第112页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院113连续等价定义假如

y=f(x)满足(1)在点

x0

某个邻域内有定义,则

y=f(x)在

x0点连续.函数在一点连续三要素第113页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院114称

f(x)在点

x0

处左连续;称

f(x)在点

x0

处右连续。主要结论：

f(x)在x0

点连续充要条件是f(x)在

x0

点既是左连续又是右连续.第114页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院115

如f(x)在(a,b)内每一点都连续,则称f(x)为(a,b)内连续函数,或称f(x)在(a,b)内连续.

如f(x)在(a,b)内连续,且在a

点右连续,在b

点左连续,则称f(x)为[a,b]上连续函数,或称f(x)在[a,b]上连续.连续函数图形是一条连续而不间断曲线.

易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续.第115页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院116哥尼斯堡七桥问题

普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地灵，市民普遍兴趣数学。1736年，该市一位市民向大数学家欧拉提出以下问题：从家里出发，七座桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？第116页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院117xy0例1：在

x=0处,均为连续函数；=f(0),证第117页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院118

讨论在x=1处例2:解=f(1)所以f(x)在x=1处不是右连续,而只在x=1处左连续。。使函数不连续点称为间断点。左右连续性。xy112第118页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院119解而第119页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院120二、初等函数连续性定理2：设

f(x),g(x)在点

x0

处连续，则(1)f(x)±g(x)在点

x0

处也连续；(2)f(x)·g(x)在点

x0

处也连续；在点

x0

处也连续。定理1：基本初等函数在其定义域内是连续。定理3：连续函数复合函数是连续。第120页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院121例：解：第121页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院122初等函数在其定义区间内都是连续。定义区间：指包含在定义域内区间。1.

初等函数在其定义区间内任何一点极限值2.

初等函数定义区间就是该函数连续区间。就是函数在该点函数值。定理4：第122页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院123例：解所以连续区间为：第123页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院124三、函数间断点及其分类设

f(x)在点

x0

某一去心邻域内有定义,(1)f(x)在点

x0

没有定义;(2)f(x)在点

x0有定义,但(3)f(x)在点

x0有定义,且则称

f(x)

在

x0

处不连续。在以前提下,

如

f(x)有以下三种情形之一：

而点

x0

称为

f(x)不连续点或间断点。第124页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院125例1.所以x=0为间断点。=1若令

f(0)=1,则

x=0为

f(x)连续点。例2.所以x=0为间断点。若令

f(0)=1,则

x=0为

f(x)连续点。上述两例中间断点称为可去间断点。

因为

f(x)

在

x

=0处无定义,第125页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院126例3.所以x=0是其间断点。因为间断点处左、右极限存在,则称间断点

x=0为跳跃间断点。第126页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院127例4.∵f(x)在

x

=0处无定义,∴间断点：x=0.考查极限则称间断点

x=0为无穷间断点。xy0第127页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院128例5.间断点：x=0.不存在,且在

x=0附最近回振荡,则称间断点

x=0为振荡间断点。xy第128页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院129由以上讨论,可将间断点分为两类:1.则称

x0

为第一类间断点；2.不是第一类间断点称为第二类间断点。如：

可去、跳跃间断点。如：

无穷、振荡间断点。设x0是

f(x)间断点,第129页2023年9月16日上海交通大学继续教育学院