湖北省荆州市李庙中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

湖北省荆州市李庙中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，给出下列命题：

①若，则；②若ab≠0，则；③若，则；

其中真命题的个数为(A)3

(B)2

(C)1

(D)0参考答案：C.当时，，所以①为假命题；当与异号时，，，所以②为假命题；因为，所以，③为真命题.2.已知长方体ABCD–A1B1ClD1的各个顶点都在表面积为16的球面上，且AB=AD，AA1=2AD，则D1-ABCD的体积为A．

B．C．

D．

参考答案：B【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积设AD=x，长方体的外接球的半为R，

则AD2+AB2+=（2R2），4πR2=16π，

∴x2+(x)2+（2x）2=4R2，R2=4．化为8x2=16，解得x=，

∴四棱锥D1-ABCD的体积V=AA1?SABCD=×2×x2=．

故选：B．【思路点拨】设AD=x，长方体的外接球的半为R，利用AD2+AB2+=（2R2），4πR2=16π，解出x，R，再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．

3.已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]参考答案：B【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．4.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为

（

）A.6

B.7

C.8

D.23参考答案：D略5.不等式的解集是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.在ΔABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB<csinC，则ΔABC的形状是(A)锐角三角形

（B)直角三角形(C)钝角三角形

（D)正三角形参考答案：C略7.已知集合A=B=则B的子集个数为

（

）

A．4

B．8

C．16

D．15参考答案：C8.若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（）A．B．C．4D．5参考答案：D略9.为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是（

）A．沿轴向右平移个单位

B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位

D．沿轴向左平移个单位参考答案：D10.(8)函数y=f（x）的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=…=f(xn)/xn,则n的取值范围为(A)

{2,3}

(B){2,3,4}(C){3,4}

(D){3,4,5}参考答案：B表示到原点的斜率；表示与原点连线的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则

.参考答案：12.已知离心率为2的双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=，则p的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，A，B两点的纵坐标分别是y=±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，∴×p×=，得p=2．故答案为2．13.在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为

．参考答案：14.y=sin(ωx+)ω>0与y=a函数图象相交有相邻三点,从左到右为P、Q、R，若PQ=3PR，则a的值______________。参考答案：略15.若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为．参考答案：π

考点：参数方程化成普通方程；弧长公式．专题：直线与圆．分析：根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线Γ的普通方程，得出是一段圆弧，再利用弧长公式求其长度即可．解答：解：由（θ为参数且），即，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．其中得∴曲线Γ表示一段圆心角为，半径为3的圆弧，如图．其弧长为l=αR==π．故答案为：π．点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及参数方程化成普通方程，属于基础题．16.（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为

．参考答案：16【考点】二项式系数的性质．【分析】（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，分别令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，进而得出．【解答】解：（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．∴（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为=16．故答案为：16．17.将一块边长为6cm的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为cm3．参考答案：【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出×6=a+，a=2，计算出a，代入公式即可．【解答】解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=a+，a=2∴正四棱锥的体积是a2×a=cm3，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

参考答案：解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.19.定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】圆方程的综合应用．【专题】新定义；转化思想；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标．【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=±，即有所求直线为y=±（x﹣2）；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．则有圆C的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径为1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，即有或，解得或．则存在这样的点P（1，﹣1）和（﹣，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．20.在直角坐标系xoy中，直线l：，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：，若直线与y轴正半轴交于点M，与曲线C交于A、B两点，其中点A在第一象限．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数tM（用α表示）；（Ⅱ）设曲线C的左焦点为F1，若|F1B|=|AM|，求直线l的倾斜角α的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由，得ρ2+2ρ2sin2θ=3，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程；由题意可知点M的横坐标为0，代入，由此能求出点M对应的参数tM．（Ⅱ）直线过定点，将代入，得，由此利用|F1B|=|AM|，能求出直线l的倾斜角α的值．【解答】解：（Ⅰ）由得ρ2+2ρ2sin2θ=3，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴曲线C的直角坐标方程为．…，又由题意可知点M的横坐标为0，代入，∴…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定点，将代入，化简可得，设A、B对应的参数分别为t1，t2，∵|F1B|=|AM|，∴|t1+t2|=|tM|，sinα=，∴0，∴α=．…21.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi（1≤i≤8，i∈N），设样本平均数为，求|xi﹣|≤0.5的概率．参考答案：【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用频数等于频率乘以样本容量求出n的值，据总的轿车数量求出z的值．（Ⅱ）先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．（Ⅲ）利用平均数公式求出数据的平均数，通过列举得到该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据，