第二节数列极限的定义

第二节数列极限的定义第1页，课件共53页，创作于2023年2月一、概念的引入一尺之椎，日取其半，永世不竭.

第2页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：播放——刘徽第3页，课件共53页，创作于2023年2月正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积第4页，课件共53页，创作于2023年2月二、数列的定义第5页，课件共53页，创作于2023年2月注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列实质上是定义在正整数集上的函数：

xn=f(n)，n

Z+第6页，课件共53页，创作于2023年2月问题:当n无限增大时,xn的变化趋势如何？第7页，课件共53页，创作于2023年2月例如第8页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限播放第9页，课件共53页，创作于2023年2月把n无限增大这个重要的变化过程记为n

。第10页，课件共53页，创作于2023年2月第11页，课件共53页，创作于2023年2月问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.第12页，课件共53页，创作于2023年2月注意：定义

若存在常数a，使对任意的

>0，总存在自然数N>0，当n>N时，恒有|xn

a|<

，则称常数a是数列当n

时的极限(limit)或者称数列收敛于a.如果数列没有极限,就说数列是发散的.第13页，课件共53页，创作于2023年2月注意

数列极限的定义未给出求极限的方法.第14页，课件共53页，创作于2023年2月几何意义:推论第15页，课件共53页，创作于2023年2月例1证所以,第16页，课件共53页，创作于2023年2月例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.第17页，课件共53页，创作于2023年2月例3证第18页，课件共53页，创作于2023年2月例4证第19页，课件共53页，创作于2023年2月例5证第20页，课件共53页，创作于2023年2月用定义证明xn=a，就是证明对

>0，N存在.证明的过程就是寻找N的过程，证明的方法是从分析|xn

a|<

出发，找出n与

(

)的关系：n>

(

)于是可取

[

(

)]为N。由于N不唯一，故可把|xn

a|适当放大，得到一个新的不等式，再找N。第21页，课件共53页，创作于2023年2月四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界第22页，课件共53页，创作于2023年2月定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.第23页，课件共53页，创作于2023年2月第24页，课件共53页，创作于2023年2月2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.第25页，课件共53页，创作于2023年2月3.子列的收敛性定理3如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.在数列中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序，这样得到的数列称为原数列的子数列。第26页，课件共53页，创作于2023年2月四.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;第27页，课件共53页，创作于2023年2月思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立第28页，课件共53页，创作于2023年2月思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第29页，课件共53页，创作于2023年2月从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为第30页，课件共53页，创作于2023年2月练习题第31页，课件共53页，创作于2023年2月2、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽第32页，课件共53页，创作于2023年2月2、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽第33页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：——刘徽第34页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：——刘徽第35页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：——刘徽第36页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”3、割圆术：——刘徽第37页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”4、割圆术：——刘徽第38页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：——刘徽第39页，课件共53页，创作于2023年2月“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：——刘徽第40页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第41页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第42页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第43页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第44页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第45页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第46页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第47页，课件共53页，创作于2023年2月三、数列的极限第48页，课件共53页，创作于2023年2月