高中数学 3-1-1课时演练（含解析）新人教版必修4

PAGE1-第三章3.11．coseq\f(π,12)的值为()A.eq\f(\r(6)＋\r(2),2) B.eq\f(\r(6)－\r(2),4)C.eq\f(\r(6)＋\r(2),4) D.eq\r(3)解析：coseq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,3)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).答案：C2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos60°＝eq\f(1,2).答案：B3．假设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝a，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝()A．－a B．aC．1－a D．1＋a解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))coseq\f(π,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))sineq\f(π,2)＝a.答案：B4．计算：sin80°cos55°＋cos80°cos35°＝______.答案：eq\f(\r(2),2)5．假设cos(α－β)＝eq\f(1,3)，那么(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝______.解析：将式子展开整理可得2＋2cos(α－β)＝2＋eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)6．假设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)).解：由诱导公式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝－eq\f(4,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα＝eq\f(3,5).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(3\r(3)－4,10).(时间：30分钟总分值：60分)知识点及角度难易度及题号根底中档稍难给角求值1、58给值求值14、67、10给值求角93一、选择题(每题4分，共16分)1．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：|a－b|＝eq\r(2－2cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝eq\r(2－2cos60°)＝1.答案：D2．假设sinαsinβ＝1，那么cos(α－β)的值为()A．0 B．1C．±1 D．－1解析：由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.答案：B3．假设cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角且α<β，那么α＋β的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)解析：sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<α－β<0)).sin2α＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).答案：C4．假设sinα＋sinβ＝eq\f(7,5)，cosα＋cosβ＝－eq\f(7,5)，那么cos(α－β)等于()A．－eq\f(24,25) B.eq\f(24,25)C．－eq\f(1,50) D.eq\f(1,50)解析：由sinα＋sinβ＝eq\f(7,5)，cosα＋cosβ＝－eq\f(7,5)，得2＋2sinα·sinβ＋2cosαcosβ＝eq\f(98,25)，∴2cos(α－β)＝eq\f(98,25)－2＝eq\f(48,25)，cos(α－β)＝eq\f(24,25).答案：B二、填空题(每题4分，共12分)5．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．解析：cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝cos43°cos77°－sin43°cos13°＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)6．已知α、β为锐角，sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，那么β＝______解析：∵α、β均为锐角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),7)))2)＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))2)＝eq\f(5\r(3),14)，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(5\r(3),14)＝eq\f(1,2).∵β为锐角．∴β＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，那么cosα的值为______．解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π，从而coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(3,5).∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).答案：eq\f(\r(2),10)三、解答题8．(10分)求函数y＝cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))(x∈R)的最大值和最小值．解：y＝cosx＋cosxcoseq\f(π,3)＋sinxsineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cosx＋sin\f(π,6)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).∵－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))≤1.∴ymax＝eq\r(3)，ymin＝－eq\r(3).9．(10分)已知cos(α－β)＝－eq\f(12,13)，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，且α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．解：由α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且cos(α－β)＝－eq\f(12,13)，得sin(α－β)＝eq\f(5,13)，由α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，且cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，得sin(α＋β)＝－eq\f(5,13).∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(5,13)＝－1.又∵α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))⇒2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).∴2β＝π，∴β＝eq\f(π,2).10．(12分)已知cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，cos2α＝－eq\f(5,13)，α、β均为钝角，求cos(α－β)的值．解：∵90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，∴180°＜α＋β＜360°，180°＜2α＜360°.∵cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)＜0，cos2α＝－eq\f(5,13)＜0.∴180°＜α＋β＜270°，180°＜2α＜270°，∴sin(α＋β)＝－eq\r(1－cos2α＋β)＝－eq\r(1－－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，sin2α＝－eq\r(1－cos22α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c