第一章 1.4.1 第2课时　空间中直线、平面的平行

第一章1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的平行点击此处进入图书配套内容内容概览教材认知掌握必备知识点击进入合作探究形成关键能力点击进入【素养导引】1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系(数学抽象)2.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系(逻辑推理)教材认知掌握必备知识空间向量与平行关系线线平行设u1,u2

分别是不重合的直线l1,l2

的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔_______,使得u1=λu2

线面平行设u

是直线l

的方向向量,n是平面α

的法向量,l⊄α,则l∥α⇔______⇔u·n=0面面平行设n1,n2

分别是不重合的平面α,β

的法向量,则α∥β⇔_______⇔∃λ∈R,使得n1=λn2∃λ∈Ru⊥nn1∥n2【批注】1.平行关系的坐标表示:(1)若两条不重合的直线l1,l2

的方向向量分别为u1=(a1,b1,c1),u2=(a2,b2,c2),则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2).(2)设直线l

的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α

的法向量为u=(a2,b2,c2),则l∥α⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(3)若平面α

的法向量为u=(a1,b1,c1),平面β

的法向量为v=(a2,b2,c2),则α∥β⇔u∥v⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2).2.用向量法证明线线平行时,除了说明“∃λ∈R,使得u1=λu2”,还要说明两直线不重合.3.用向量法证明面面平行时,除了说明“n1∥n2”,还要说明两个平面不重合.[诊断]1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (

)(2)两直线的方向向量平行,则两直线平行. (

)(3)直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线与平面平行. (

)提示:(1)两条直线平行,它们的方向向量就是共线的,所以方向要么相同,要么相反.(2)两直线的方向向量平行,只能说明两直线平行或重合.(3)直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线与平面可能平行,也可能在平面内.√××2.(教材改编题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,M,N分别为A1B和AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (

)A.相交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内学习任务一

线线平行(逻辑推理)1.(多选题)直线a,b的方向向量分别为m=(1,-2,-2),n=(-2,4,4),则a与b的位置关系可能是 (

)A.平行 B.重合C.垂直 D.夹角为60°【解析】选AB.因为n=-2m,所以m∥n,所以a与b的位置关系为平行或重合.合作探究形成关键能力2.在长方体ABCD-A1B1C1D1

中,E,F

分别是面对角线B1D1,A1B

上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1

.求证:EF∥AC1

.学习任务二

线面平行(逻辑推理)【典例1】(一题多解)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,PC与平面ABCD所成角是45°,F是AD的中点,M是PC的中点.求证:DM∥平面PFB.【补偿训练】

在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=4,AD=2,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.【证明】因为EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,所以EF⊥AE,EF⊥BE.又因为AE⊥EB,所以EB,EF,EA两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,学习任务三

面面平行(逻辑推理)【典例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点,求证:平面BMN∥平面PCD.【解题思维】观察平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点联想根据上述关系建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标转化转化为求平面BMN与平面PCD的法向量,进而利用法向量的关系解决问题

【证明】建立如图空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1),即EF