2020-2021学年湖南省怀化市新博览大联考高一（下）期末数学试卷解析版

2020-2021学年湖南省怀化市新博览大联考高一（下）期末数学

试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.已知向量a,b的夹角为a=（-3,4），a・b=10，则1b产（）

A.2近B.2yc.373D.472

2.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选

一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件

A：“他选择政治和地理”，事件8：“他选择化学和地理”，则事件A与事件8（）

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解

该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

例，得到如下饼状图：

则下面结论中正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入是建设前的1.25倍

C.新农村建设后，养殖收入不变

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为a,0,丫，则（）

A.cos2a+cos2p+cos2y=2B.cos2a+cos2p+cos2y—1

C.sin2a+sin2p+sin2y=2D.sin2a+sin2p+sin2y=3

5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%,用随机模拟的方法估计概

率，利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4,5,6表

示下雨，用7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907028191925277932218478569683630278027556730189139976123034,则这三天中恰有

两天下雨的概率约为()

「13

B.—D

A.202020-20

6.在△ABC中，若“cosA=6cosB,则△48C的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()

A.返nR3B.返7lR3C.金nR3D.在

248248

8.已知对任意平面向量获=(x,y),把旋绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量下=

(XCOS0-ysin0,xsinO+ycos。)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转。角得到点P.若平

面内点A(1,2),点B(1+72-2-2&),把点B绕点A顺时针方向旋转二“角后得

到点P,则点尸的坐标为()

A.(4,1)B.(0,-1)C.(-2,1)D.(2,5)

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是()

A.z的虚数部为-i

B.复数z在复平面内对应的点在第四象限

C.z的共软复数W=2+i

D.

10.某学校共3000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校园情况，对随机抽出的500

名学生进行调查，调查中使用了2个问题，问题1：你生日的月份是否为奇数？问题2：

你是否携带手机？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的硬币，被调查者背对着调

查人员掷一次硬币，如果正面朝上，则回答问题1；如果反面朝上，则回答问题2.共有

175人回答“是”，则下列说法正确的有()

A.估计被调查者中约有175人携带手机

B.估计本校学生约有600人携带手机

C.估计该学校约有20%的学生携带手机

D.估计该学校约有10%的学生携带手机

11.下列选项中正确的是（）

A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的,

且各个路口遇到红灯的概率都是《，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为金

327

B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为《，《，假

534

设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为•1

D

C.先后抛掷2枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,

6）骰子向上的点数分别为x,y,则logivy=l的概率为！

0

D.设2个独立事件F和G都不发生的概率为春，F发生G不发生的概率与G发生F不

发生的概率相同，则事件F发生的概率是三

9

12.如图，已知平行四边形48CZ）中，ZBAD=60a,AB=2AD,E为边AB的中点，将4

AOE沿直线OE翻折成△AOE.若M为线段4c的中点，则在△4OE翻折过程中，以

下命题正确的有（）

A.线段的长是定值

B.存在某个位置，使OEL4C

C.存在某个位置，使MB〃平面4OE

D.点4在某一圆上运动

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.

13.在水流速度为4%/人的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8b〃//?的速度航行，则

船实际航行的速度的大小为km/h.

14.己知数据Xi,X2,X3,X4,X5的平均数是3,方差为4,则数据5制-1,5X2-1，5X3-1,

5X4-1,5X5-1的平均数和方差分别是和.

15.定义域为口，切的函数y=/(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是/(x)图象

上任意一点，其中》=入。+(1-入)b其中入日0,1],向量屈=为市+(卜入)而(。是

坐标原点)，若不等式|而|《k恒成立，则称函数f(x)在■，句上人阶线性近似”.若

函数y=x-2在U，2J±“&阶线性近似”，则实数&的最小值为.

16.已知矩形ABC。，AD=3,AB=\,沿8。将△ABD折起成△4BO,若点A'在平面BCD

上的投影落在△BCQ的内部，则四面体A'BCD的体积的取值范围

为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(c+b-a,be),n=(3,a+b+c),

且m//n,

(1)求A的大小；

(2)若a=2«，aABC的面积为2次，求△4BC的周长.

18.如图，在正方体ABC£>-AiBiG。中.

(1)求证：AC_L面BDDi；

(2)求异面直线8。和AQi所成角的大小.

19.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了

调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照

[0,0.5),[0.5,1),…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中。的值；

(2)估计居民月均用水量的众数，平均数；

(3)某市政府为了节约用水，制定阶梯水价，即制定每人的月均用水量的标准为〃1吨,

用水量不超过根的部分按平价收费，超出部分议价收费，市政府希望使至少80%的居民

用户生活用水费支出不受影响(即月人均用水量不超过小吨)，求整数机的最小值.

20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为“、b、c.已知“=3,c=近,5=45°.

(1)求sinC的值；

4

(2)在边BC上取一点。，使得cos/A3C=-卷，求tan/D4c的值.

5

21.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面48CD是菱形，平面A8CZ),PA=AB=2,PD

的中点为凡

(1)求证：PB〃平面ACF.

(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

①四棱锥P-ABCD的体积为辈，②尸C与平面ABCD所成的角为三，③BD=2«.

36

若,求二面角尸-4C-D的余弦值.

22.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式

为：个税税额=应纳税所得额X税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳

税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其

他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，专项扣除包括个人缴纳

的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金，专项附加扣除

涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款或者住房租金、赡养老人等六项，税率

和速算扣除数如表.

级数全年应纳税所得额所在区间税率（％）速算扣除数

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,42000012531920

・・・.・・・・・・・・

（1）小李全年综合所得收入额为149600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、

失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别为8%,2%,1%,9%,

专项附加扣除是43200元，依法确定的其他扣除是2560元，那么他全年应缴纳多少综合

所得个税？

（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某100个不同层次员工的全年综

合所得额，并制成下面的频数分布表：

全年综合所得额（元）(36000,60000)[60000,108000)[108000,132000)

人数304010

全年综合所得额（元）[132000,156000)[156000,180000)[180000,240000)

人数875

①从全年综合所得额在［36000,60000）及［60000,108000）的人群中按分层抽样抽取7

人，再从中抽取2人做新纳税法知识问卷调查，求至少有1人的全年综合所得额在［60000,

108000）元的概率.

②该企业准备在2021年暑假招聘一批新员工，招聘人员在介绍公司员工的收入时，用众

数，平均数和中位数，哪个更合适呢？（直接给出结果，不用说明理由.）

参考答案

一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分).

JT_

1.已知向量a，b的夹角为a=(-3,4)，a・b=10，则lb尸()

A.2近B.273C.373D.472

解:一='(-3)2+42=5,

T]-

又丁向量a，b的夹角为N"，a*b=10,

.•.5后|8$千=10,，%|=2&,

故选：A.

2.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选

一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件

A：“他选择政治和地理”，事件8：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B()

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

解：2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，

即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，

共有12种选课模式.某同学己选了物理，

记事件A：“他选择政治和地理”，事件8：“他选择化学和地理”，

则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，

故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确.

故选：A.

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解

该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

例，得到如下饼状图：

建设前经济收入建设后经济收入

构成比例构成比例

则下面结论中正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入是建设前的1.25倍

C.新农村建设后，养殖收入不变

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解：设建设前农村的经济收入为1,由题意，建设后的经济收入为2,

对于A,种植收入由建设前的lX60%=0.6,变为建设后的2X37%=0.74,种植收入增

力□，故选项4错误；

对于8,其他收入由建设前的1X4%=O.O4,变为建设后的2X5%=0.1,

则°.:故选项3错误；

0.04

对于C,养殖收入由建设前的1X3O%=O.3,变为建设后的2X30%=0.6,故选项C错误;

对于D,新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和是经济收入的30%+28%=0.58%

>0.5,故选项。正确.

故选：D.

4.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为a,p,Y，则（）

A.cos2a+cos2p+cos2y=2B.cos2a+cos2p+cos2y=:1

C.sin2a+sin2p+sin2y=2D.sin2a+sin2p+sin2y=3

解：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,

则体对角线d=Va2+b2+c2-

AiB

由题意可得，cosa=cos/BD1二”，

11DUj

BD

cosB二cos/DBDI,

1DU।

BCi

cosY=cos/D[BC1而可

AB2+BD2+BC2222222

旷E2+2R+，(ac)(ab)(bc)

所以cos2a+cos2p+cos-y=----1--------------------1---=--------+---------+--------+--------+--------+-------=

BD/

2(a2+b2+c2)

-------2-----=2，

dZ

故选项A正确，选项B错误;

Mi

由题意,sina=sinZAjBD[二

BDj

DD[

sinp=sinZ^DiBD=

1DnU]

DiCi

sinY=sinZD1BC1=-vFr-

11DU।

A|D/+DD|2+D1C|2a2+b2+c2

所以sin2a+sin2p+sin2Y=­=1»

d2

故选项c,。错误;

5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%,用随机模拟的方法估计概

率，利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4,5,6表

示下雨，用7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907028191925277932218478569683630278027556730189139976123034,则这三天中恰有

两天下雨的概率约为（）

A.11B.Ac.型D.工

20202020

解：由题意，模拟三天中恰有两天下雨的结果，

经随机模拟产生了20组随机数，这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：028,

191,925,932,218,569,683,027,139,共9组随机数,

所以所求概率为之.

20

故选：B.

6.在△A8C中，若“cosA=6cosB,则△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

解：由正弦定理一--=化简已知的等式得:sinAcos/i=sinBcosB,

sinAsinB

...sin2A=sin28,又A和B都为三角形的内角，

jr

，2A=2B或2A+2B=n,即A=B或A+8=——，

2

则AABC为等腰或直角三角形.

故选：D.

7.半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()

A.迎TTR3B.退TTR

C.SRR'D.遮TT/?3

248248

解：2nr=TtR,所以?,则九=』史,

所以兀「之打R3

22

故选：A.

8.已知对任意平面向量标=(x,y),把屈绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量下=

(xcos0-ysinQ,xsinO+^osQ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转。角得到点P.若平

TT

面内点A(1,2),点8(1+&,2-2&),把点B绕点A顺时针方向旋转一“角后得

到点P,则点P的坐标为()

A.(4,1)B.(0,-1)C.(-2,1)D.(2,5)

解：由已知可得族=(&，-2&),

将点B(1+&,2-2&),绕点A顺时针旋转工,

得族=(&cosf--2&sinf-,-&sinf--2料00$弓-)=(-1,-3)

VA(1,2),

：.P(0,-1)

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z满足（1+i）z=3+i（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z的虚数部为-i

B.复数z在复平面内对应的点在第四象限

C.z的共粗复数z=2+i

D.|z|=V5

解:由(1+i)z—3+i,得3+i=(3+i)(1-i)

1+i(1+i)(l-i)

2

3-3i+i-i4-2i行.

•••z的虚部为-1,故A错误；

复数z在复平面内对应的点的坐标为（2,-1）,在第四象限，故B正确；

z的共辄复数W=2+i,故C正确；

|z|=722+（-1）2=V5,故0正确.

故选：BCD.

10.某学校共3000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校园情况，对随机抽出的500

名学生进行调查，调查中使用了2个问题，问题1：你生日的月份是否为奇数？问题2：

你是否携带手机？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的硬币，被调查者背对着调

查人员掷一次硬币，如果正面朝上，则回答问题1；如果反面朝上，则回答问题2.共有

175人回答“是”，则下列说法正确的有（）

A.估计被调查者中约有175人携带手机

B.估计本校学生约有600人携带手机

C.估计该学校约有20%的学生携带手机

D.估计该学校约有10%的学生携带手机

解：正面向上和反面向上的概率都是0.5,所以500人中大约有250人选择问题1；

生日为奇数的概率约为祟•=0.51，所以回答问题1的250人中大约有250X0.51-128

365

人回答“是”；

所以样本中携带手机的人数约为175-128=47人，所以可以估计学校中约有

叁7X3000—600，占20%；

故选：BC.

11.下列选项中正确的是（）

A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的,

且各个路口遇到红灯的概率都是《，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为金

327

B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为《，!，义，假

534

设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为•1

5

C.先后抛掷2枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,

6）骰子向上的点数分别为x,y,则log绅=1的概率为!

6

D.设2个独立事件尸和G都不发生的概率为《，尸发生G不发生的概率与G发生产不

9

发生的概率相同，则事件F发生的概率是看

解：对于人某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相

互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是我，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯

的概率为玲）2x4J,故A正确;

3327

对于甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为《，《，4-

534

假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为

1-(1--1")X(1-1)X(]1-■故B正确；

Q1

对于c：log缈=1基本事件(1,2)(2,4)(3,6)故概率为：号—7,故C错误;

3612

，]

对于＜P(F)・P(G)节，解得尸(尸)=P(G)=[•，故。错误;

P(F)•[1-P(G)]=P(G)•[1-P(F)]

故选：AB.

12.如图，已知平行四边形A8CZ）中，ZBAD=60Q,AB=2AD,E为边A8的中点，将4

AOE沿直线OE翻折成△AQE.若M为线段AC的中点，则在△ACE翻折过程中，以

下命题正确的有（）

A.线段8M的长是定值

B.存在某个位置，使。E，4c

C.存在某个位置，使MB〃平面4CE

D.点4在某一圆上运动

解：

A、取DC的中点N,连接NM、NB,则MN//A\D,且MN=」A£>=定值；NB〃DE,

2

且NB=DE=定值,所以定值，

由余弦定理得，MB2=MI^+N序-2MN,NBcos/MNB,所以BM的长为定值，即A选项

正确；

B、假设存在某个位置，使。EJ_AC.设48=240=2,由/84。=60°可求得£>E=1,

F，所以CE2+D£2=CD2,即CEA.DE,

因为4CCCE=C,所以。面ACE,因为AEu面4CE,所以。ELAE,与已知相

矛盾，即3选项错误；

C、由①可知，MN//A\D,NB//DE,且MNCNB=N,AiDC]DE=D,所以面〃面

A\DE,所以MB〃面4。区即C选项正确.

D、取中点为0,。4为定值，所以4在以。为圆心，04为半径的圆上.即。选

项正确.

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.

13.在水流速度为4如遇的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8k〃//2的速度航行，则

船实际航行的速度的大小为_如写_也7//7.

解：由题意，如图，示表示水流速度，而表示船在静水中的速度,

则正表示船的实际速度.

则I丞1=4,I而=18,NAOB=90°

•'•IOd=V42+82~W51

实际速度为4\而加皿.

故答案为：4%而.

14.已知数据Xl,X2,X3,X4,X5的平均数是3,方差为4,则数据5X1-1,5X2-1,5X3-1,

5x4-1,5x5-1的平均数和方差分别是14和100.

解：因为数据为，X2,X3,X4,X5,的平均数是3,方差为4,

则数据5XI-1,5X2-1,5X3-1,5x4-1,5X5-1的平均数为5X3-1=14,

方差为52X4=100.

故答案为：14,；100.

15.定义域为[a,句的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是/(x)图象

上任意一点，其中犬=入”+(1-入)6其中入日0,IJ,向量祈=入赢+(1-入)而(。是

坐标原点)，若不等式|而|《k恒成立，则称函数八X)在口，加上'”阶线性近似”.若

函数y=x-2在[1，21±"阶线性近似”，则实数后的最小值为

X

【解答】解析：|诵|《k恒成立，即I而lmax《k,

由题意知A(1,-1),B(2,1),则直线A8的方程为y=2x-3,

因为向量加=入赢+(1-入)而，所以N,A,8三点共线，

结合入6。1]可知N在线段AB：y=2x-3,x&[\,2]上，

由题意M,N横坐标相等，

•'«|MN|=|(2x-3)|=|x+-^--31>

Vxefl,2],X-*Y€[2V2»3],

p

•••|MN|=3-(x^)<3-2V2>

故答案为：3-2后.

16.已知矩形A8CQ,AC=3,AB=\,沿BQ将△ABO折起成若点4在平面8C£>

上的投影落在△BCD的内部，则四面体488的体积的取值范围为(返，之国).

一3一20—

解：如图1所示,

当A在平面BCD上的投影在BD上时,点A倒平面BCD的距离为A'0=吗”=)工,

BDV10

此时三棱锥4'-BCD的体积最大，最大值为O=5X《X3X1X

332

3_3V10

V1020'

如图2所示，

当A'在平面BCO上的投影在8c上时，点4到平面BCD的距离为A'M,

由AO=A'O=-J=,A'B=l,求得BO=d〃B2&0

所以tan/CBO=^=上，OM^—BO=—i=,

BC333V10

A'M=dk。2_01=I91_2A/2

V10-903

此时三棱锥A'-BCD的体积最小，最小值为V„„„=^-5ABCDM,C=£x)X3XIX

OO

2近.—近

33

所以四面体A8C3的体积的取值范围是（哮，延G）.

320

故答案为：（返，色叵）.

320

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=lc+b-a,be)，n=(3,a+b+c)，

且m4n-

(1)求A的大小；

(2)若a=2«，ZVIBC的面积为么n，求△ABC的周长.

解：(1)由m=(c+b-a,be)，n=(3,a+b+c)，且m#rr

22

得(c+b-a)(c+b+a)-3bc=Of即(c+b)-a-3bc=O,

222

整理得c^+b2-a2=bc,cosA=_———

2bc2

又Ae(0,IT),；.A=60°；

⑵..•S='^bc"sinA=/bc'.bc—i,

又“2=12=62+/-2bc*cosA—b2+c2-be,

(b+c)2-3/?c=12,即(b+c)2=36,/.h+c—6,

...△ABC的周长为6+2加.

18.如图，在正方体ABCD-AiBiGG中.

（1）求证：AC上面BDDi；

（2）求异面直线3。和A2所成角的大小.

解：（1）证明：根据题意，正方体ABCQ-4&G。中，。。|1_底面ABCD,贝lj

AC,

底面ABC。是正方形，则AUL8D,

又由。。iC8。=。，且。Ou面BO。，ACc[SiBDD\,

则4。，面8。£>|；

（2）连接8。和GO,易得BG〃A9,则直线B。和BG所成的角就是异面直线BO和

AD\所成角,

在△B3G中，易得BD=BCi=GD=&BC,则N£>BCi=60°,

故异面直线8。和A。所成角60°.

19.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了

调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照

[0,0.5）,[0.5,1）,…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中a的值；

（2）估计居民月均用水量的众数，平均数；

（3）某市政府为了节约用水，制定阶梯水价，即制定每人的月均用水量的标准为加吨,

用水量不超过，，的部分按平价收费，超出部分议价收费，市政府希望使至少80%的居民

用户生活用水费支出不受影响（即月人均用水量不超过，〃吨），求整数，〃的最小值.

解：(1)由频率分布直方图可得，(0.08+0.16+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04)X0.5

=1,解得a=0.30；

(2)由频率分布直方图可知，众数为2.25,

平均数为

7=(0.25X0.08+0.75X0.16+1.25X0.30+1.75XQ.42+2.25XQJ+2.75x

0.30+3.25X0.12+3.75X0.08+4.25X0.04)X0.5=2.03；

(3)由频率分布直方图可知，前5组［0,2.5］的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42+0.50)

X0.5=0.73<0.8,

又第6组(2.5,3］的频率为0.15,

故前6组的频率之和为0.88>0.8,满足题意,

又，”是整数，所以整数，”的最小值为3.

20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知。=3,c='巧，B=45°.

⑴求sinC的值;

22=

解：(1)因为。=3,c=0,8=45°.，由余弦定理可得：/?=^/a+c-2accosB

^9+2-2X3xV2><2y=V5>

由正弦定理可得一r二=—3不，所以sinC=W・sin45°=返返=返

smCsinBb依•25

所以sinC=±l

(2)因为cosN4OC=-所以sinNA£)C=｛「cos2/ADC："^

在三角形AOC中，易知C为锐角，由(1)可得cosC=47^"^=2等

所以在三角形AOC中，sinZDAC=sin(NAOC+NC)=sinZADCcosZC+cosZADCsin

25_

因为/QACE(0,4)，所以cosND4C=4I_sij/DAC：曰&

2251

Sin2DAC

所以tanZDAC=；=—.

cosZDAC11

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ是菱形，平面ABCD,PA=AB=2,PD

的中点为F.

(1)求证：PB〃平面ACE

(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

①四棱锥P-ABCD的体积为则i,②FC与平面ABCD所成的角为工，③BD=2«.

36

若,求二面角F-AC-O的余弦值.

【解答】(1)证明：连接BD交AC于0,连接尸0,

因为F为的中点，。为8。的中点，贝lJOF〃PB,

因为PBC平面ACF,OFu平面ACF,

所以P8〃平面ACR

(2)若选①:

因为PAL平面ABCD,则PA为四棱锥P-ABCD的高，

又PA=AB=2,底面ABCQ是菱形，

因为四棱锥P-ABCD的体积为生巨，

3

所以岁总”丽叩，

解得SABCD=2百，即W^V'AB'BOsinNABG

故sin/ABC=",所以/ABC=60°.

2

若选②：

取AD的中点Q,连接尸Q,CQ,因为居Q分别为PD,AD的中点,

所以尸Q〃PA且FQ=*PA，

因为PA_L平面ABC£>,则尸。J_平面ABCD,

则NFCQ即为FC与平面A8C。所成的角，

又FC与平面ABCD所成的角为冗名，

6

所以在Rt^FQC中，FQ=1,/FCQ=m，则CQ=«,

6

在△CQ。中，。£>=1,CO=2,CQ=M，则/AOC=60°,即NABC=60°,

若选③：

因为BD=2«，

222

则在△8。中，由余弦定理可得，cosZBCD=BC<D-BD

2BC*CD

222

2+2-(2A/3)=1.

2X2X2=V

所以NBCZ)=120°,

故/ABC=60°.

所以选择①②③，所得结论都是NABC=60°