冀教版九年级数学上册 （相似三角形的判定）课件(第1课时)

第二十五章

图形的相似相似三角形的判定

第1课时1、根据相似三角形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？满足（1）三个角对应相等；（2）三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形.ABCB′C′A′知识回顾2、还有判断两三角形相似的方法吗?DE∥BC△ADE∽△ABCDEABCABCDE平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。思考:有没有其他更简单的办法判断两个三角形相似?学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干。

小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？？？？情景导入如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°;在Rt△DEF中,∠F=90°,∠D=30°,△ABC与△DEF相似吗？为什么？E30°FD30°CBA获取新知一起探究目前，要判定两个三角形相似，有哪些方法可以选择？试选择一个合适的方法来进行说明.方法一：相似三角形的定义分析:由已知容易推出三对角对应相等推理三边对应成比例时，可先设BC=a,,则AB=2a,AC=a设EF=b,则DE=2b,DF=b∴△ABC∽△DEF方法二：用“A”型把△DEF移动到△ABC内，由于∠ACB=∠DFE=90°可得EF//BC∴△ABC∽△DEF我们发现在两个直角三角形中有两个角对应相等，则这两个三角形是相似的.那么是不是任意的两个三角形，只要具备“两角对应相等”就会相似呢？一起探究画两个△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：BACC′A′B′问题：如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？BACC′A′B′证明：在△ABC的边AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E，已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC∽△A'B'C'.

EDBACC′A′B′

ED则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A'B'C，∴△A′B′C′∽△ABC.若△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△A′′B′′C′′，则△ABC∽△A′′B′′C′′.CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'相似三角形的判定定理一两角对应相等的两个三角形相似判定两个三角形相似，只需要找到两组对应角相等即可例1

（1）已知：如图，在△ABC中，点E、E、F分别在边AB，AC，BC上，且DE//BC,DF//AC.求证：△ADE∽△DBFABCFED由平行得出相等的角由平行，你还能想到什么？还有其他做法吗？A型例题讲解证明：∵DE∥BC.

∴∠ADE＝∠B.

又∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDF.∴△ADE∽△DBF.(2)如图：∠C=∠B,请找出图中的相似三角形，并进行证明.ABCEDF∵∠C=∠B,∠A=∠A∴△ABE∽ACD∵∠C=∠B,∠1=∠2∴△DBF∽ECF12公共角对顶角(3)已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.

求证：△ABD∽△BCDCBAD1证明：∵∠1+∠C=90°∠A+∠C=90°

∴∠1=∠A

又∠BDC=∠BDA=90°∴△ABD∽△BCD同角的余角相等（拓展一）图中有几对相似三角形.3对△ABC∽△BDC△ABC∽△ADB△BAD∽△CBD存在于哪两个三角形中？（拓展二）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.

求证:证明：∵∠ADB=∠ABC=90°∠A=∠A

∴△ADB∽△ABCCBAD观察已知线段BC、CD和所求线段AC存在于哪两个三角形中？（拓展三）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.

若BC=5，CD=2，求AC的长.证明：∵∠BDC=∠ABC=90°∠C=∠C∴△BCD∽△ACB∴2AC=25∴AC=12.5CBAD找相等的角常用的方法：

1.平行2.公共角3.对顶角4.同角（或等角）的余角（或补角）相等例2（课本75页“做一做”）已知：如图，点D在△ABC的边AB上，过点D作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条？请把这些直线画出来.ABC●D有3条直线，分别是DE、DF、DMEFM①过点DE//BC，交AC于点E②作∠ADF=∠C,③过点DM//AC，交AC于点M1.有一个角等于110°的两个等腰三角形(

)A.全等 B.相似C.既不相似也不全等 D.无法确定B随堂演练2.如图，已知

AB//DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对CABDC3.如图，点D在AB上，当∠

＝∠

(或∠

=∠

)时，△ACD∽△ABC.ACDACBB

ADB4.如图，在△ABC中,D为AB边上一点，且∠BCD=∠A,已知BC=,AB=3，则BD=______.38证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，

∠DAE=∠3+∠DAC，∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC，

∠E=180°－∠3－∠AOE，

∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.

∴△ABC∽△ADE.5.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．ABCDE132O两角分别相等的两个三角形相似．相似三角形的判定判定定理1课堂小结⑴.注意图形中的公共角、对顶角、直角.⑵.两直线平行时的同位角、内错角.⑶.等角的余角、等角的补角．第二十五章

图形的相似相似三角形的判定

第2课时判断两个三角形相似,你有哪些方法？方法1：通过定义（不常用）方法2：通过平行线方法3：两角对应相等A型

8型

知识回顾方法4：利用传递性三个角对应相等三条边对应成比例问题1有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似观察与思考问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？3355相似获取新知①任意画△ABC;②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且

③量出B′C′及BC的长，计算的值，并比较是否三边都对应成比例？④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？为什么？⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流.我发现这两个三角形是相似的画一画如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE//B′C′,交A′C′于点E.∵DE//B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△A′B′C′∽△ABC.BACB'A'DEC'验证猜想∵A′D=AB，∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∴33CC60°)4AB)【结论】判定两个三角形相似角必须两边的夹角.C′1.5B′260°A′

如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？一起探究你有疑问吗？判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.ABCDEF几何语言：∵

∠A=∠D.∴△ABC∽△DEF例1

已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°，

AB＝4cm，AC＝8cm，A′B′＝11cm，A′C′＝22cm.求证：△ABC∽△A′B′C′.例题讲解证明：∵∴又∵∠A＝∠A′＝60°，∴△ABC∽△A′B′C′.解：∵AE=1.5，AC=2例2如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.ACBED∴又∵∠EAD=∠CAB∴△ADE∽△ABC∴∴提示：解题时要找准对应边.证明：∵CD

是边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B

+∠BCD=90°.例3如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求证:∠ACB=90°．ABCD∵方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.1.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是

(

)A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD随堂演练2.如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是(

)C3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（

）A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.②