第1章 信号与系统的基本概念

*1信号与系统

电子教案蔡燕2010年9月*2学习目的与意义

“信号与系统”课程是高等院校本科电子信息类各专业的必修课，是“电路分析”课程后的又一门重要的主干课程，是今后从事相关电路设计、系统设计的重要理论基础。因此，长期以来都是电类、通信类、自动控制等专业硕士研究生入学专业考试课程之一。学好这门课程对今后参加实际工作或进一步深造有重大意义！*3本课程与其他课程的联系

★先修课程：大学物理、高等数学、电路分析、积分变换。★后续课程：数字信号处理、传感器原理及应用、自动控制原理、电子设计基础、电子系统设计、现代通信技术等专业课程。*4教材及教学资料（1）《信号与系统》（第二版），陈生潭等编，西安电子科大出版社，2001。（2）《信号与系统（第二版）》（上、下册），郑君里等编，高等教育出版社，2000。（3）《信号与系统》，ALANV.OPPENHEIM等编，刘树棠译，西安交通大学出版社；2001。（4）《信号与系统分析》，张明友等，电子科大出版社，（5）《信号与线性系统》，吴大正编，高等教育出版社，1986。（6）《信号与系统教程》，燕庆明编，高等教育出版社，2004。*5参考学时分配（68+12）

章次学时第1章信号与系统的基本概念8第2章连续信号与系统的时域分析8第3章连续信号与系统的频域分析14第4章连续系统的s域分析14第5章离散信号与系统的时域分析6第6章离散信号与系统的频域分析8第7章离散信号与系统的z域分析10合计68*6参考学时分配（68+12）

实验项目名称实验项目层次选做性质学时常用信号分类与观察基础必做2信号分解与合成基础必做2零输入响应零状态响应基础2选12卷积（Convolve）算法实验基础2信号的采样与恢复基础4选12无失真传输系统基础2模拟滤波器分析基础2二阶网络函数的模拟基础2一阶、二阶系统的特性测试综合3选14系统稳定性分析综合4系统极点对系统频响的影响综合4*7考核方式其中：出勤情况考核、作业情况考核占10%，实验考核占20%，期末考试考核占70%。考试（闭卷）。*8总体学习基本要求（1）掌握信号分析的方法，特别是要熟练掌握信号频谱的分析方法以及熟悉一般信号的时域特性与频域特性间的关系。（2）掌握线性时不变系统的分析法，特别要熟练掌握时域分析中卷积积分法和变换域分析法中的傅立叶变换法、拉普拉斯变换法和z变换法。（3）理解系统函数的性质，特别要充分理解系统函数极点和零点与系统的时域特性和频域特性的关系，并掌握系统稳定性的一般判别方法。（4）了解系统的状态空间描述方法和了解状态方程的解法。*9◆学习目标：第1章信号与系统的基本概念（1）了解信号的定义、分类和基本运算。熟悉信号的波形变换；翻转、平移和展缩。◆学习重点：常用信号的性质线性系统的性质及应用。（3）了解系统、系统的状态和状态变量、系统输入输出模型和状态空间模型的定义。（4）熟悉系统的基本特性（线性、时不变性和因果性）和分类。（5）初步理解线性时不变系统的同一观点和方法。（2）掌握信号、、和

的定义和性质，以及它们之间的关系。*101.0信号与系统1.信号的概念信息（information）：消息中的具体内容，是能消除那些不确定性内容的东西。信号（signal）：物质的运动形式或状态的变化。（声、光、电、力、振动、流量、温度…通过传感器转换为电信号）消息（message）：通过一定的媒体表达的感觉、思想、意见等（声音、文字、图像、符号…）2.系统的概念是指若干相互间有联系的事物组合而成并具有特定功能的整体。*111.0信号与系统3.信号与系统举例无线电广播系统的组成转换器(Ⅰ)发射机消息（广播节目）信号调制转换器(Ⅱ)接收机消息（广播节目）信号解调系统输入信号（激励）输出信号（响应）*121.1信号的描述与分类1.1.1信号的描述◆写出数学表达式（一般是时间的函数）◆绘出函数图象（一般称为波形）◆频谱分析（傅里叶级数）◆正交变换（傅里叶变换等）◆其他方法信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。*131.1.2信号的分类及表示方法1、确定信号与随机信号确定信号：表示为一确定时间的函数（规则）随机信号：信号在确定时刻没有确定的值，但在某一时间范围内服从特定规律。如：打靶、投硬币1.1信号的描述与分类*141.1.2信号的分类及表示方法2、连续信号与离散信号连续信号：在规定的时间内，除若干不连续点之外，任意确定时刻都有确定的函数值。离散信号：只在某些不连续的规定瞬间给出函数值，其他时间未定义。数字信号：离散信号的幅度也被限制为离散值。1.1信号的描述与分类*151.1信号的描述与分类012£­1£­2A£­Af1(t)to1tf2(t)oAtf3(t)t0(a)(b)(c)正弦信号阶跃信号指数信号连续信号举例*16离散（序列）信号举例012345678­2­4­6­8A­Akf1(k)……(a)­1­310234f3(k)k56A(c)­1­31234­10132f2(k)k(b)*171.1.2信号的分类及表示方法3、周期信号与非周期信号（非）周期信号：在一定时间内（不）反复重复的信号。如：※注意：当周期信号的最小正周期T、N→∞，周期信号将过渡为非周期信号。1.1信号的描述与分类*18信号的分类确定、非周期、连续确定、非周期、连续确定、周期、连续确定、周期、离散确定、周期、连续随机、非周期、连续*191.1.2信号的分类及表示方法3、周期信号与非周期信号1.1信号的描述与分类周期信号周期T（N）的计算周期信号均可以表示成正弦（余弦）信号的叠加（以后证明）如果包含有n个不同频率正弦（余弦）分量信号的复合信号是周期为T的周期信号，则其周期T必为各分量周期的整数倍，即有或。式中为各余弦分量的角频率，为复合信号的基波频率，为正整数。因此，只能找到n个不含整数公因子的正整数。使成立，就可以判定该信号为周信号，其周期为。*201.1信号的描述与分类周期信号周期T（N）的计算例题1.1-1判断下列信号是否为周期函数，是就确定其周期。解*211.1信号的描述与分类周期信号周期T（N）的计算例题1.1-1判断下列信号是否为周期函数，是就确定其周期。解*221.1信号的描述与分类周期信号周期T（N）的计算例题1.1-1判断下列信号是否为周期函数，是就确定其周期。解*231.1信号的描述与分类周期信号周期T（N）的计算例题1.1-1判断下列信号是否为周期函数，是就确定其周期。解不为整数故为非周期函数*241.1信号的描述与分类周期信号周期T（N）的计算例题1.1-1判断下列信号是否为周期函数，是就确定其周期。解*251.1.2信号的分类及表示方法4、能量信号与功率信号1.1信号的描述与分类在内信号的能量和功率分别是：瞬时功率：消耗能量：平均功率：离散信号能量：能量信号与功率信号（参见P618~20行）时限信号（有限时间内不为零）；周期信号；非周期信号；*1.2信号的基本特性信号的基本特性包括时间特性、频率特性、能量特性和信息特性。

在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率的正弦分量的线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。按照频率高低表示各正弦分量振幅和相位大小的图形称为信号的频谱。

任何信号通过系统时都伴随着一定能量或功率的传输，表明信号具有能量或功率特性。前面在时间域上定义了信号的能量和功率，实际上信号的能量和功率也可以在频率域定义。它们随频率分布的关系称为信号的能量谱和功率谱。26*271.3信号的运算1.3.1信号的相加相乘相加：其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。相乘：其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。*28连续信号的相加和相乘离散信号的相加和相乘f1(k)0123456­1­2­31f2(k)012345­1­2­31­1f1(k)+f2(k)012345­1-2­31­12012345­1­2­31f1(k).f2(k)kkkk*291.3信号的运算1.3.2信号的翻转、平移和展缩1、平移若将变换成称为平移。，向右移动。，向左移动。3002­2f

(t)t02f

(t­2)t0­2t4f

(t+2)­403­3f

(k)kf

(k­2)f

(k+202­2k02­2k46­4­64(a)(b))信号的平移1.3信号的运算*311.3信号的运算1.3.2信号的翻转、平移和展缩2、翻转（反褶、折）若将变换成称为翻转。翻转的效果是相当于录音磁带反向播放！*3202­2­41f

(t)t02­21f

(­t)t02­21t44f

(­t)02­2­41f

(k)k02­21f

(­k)k02­21kf

(­k)44(a)(b)信号的翻转1.3信号的运算*331.3信号的运算1.3.2信号的翻转、平移和展缩3、展缩（尺度）若将变换成称为展缩。展缩的效果是相当于录音磁带变速播放！，压缩a倍。，扩展1/a倍。*341.3信号的运算信号的展缩02­1f

(t)t1­2102­1f

(2t)t1­2102­4t4­21)21(f(a)(b)(c)*351.3信号的运算例1.3-1：已知的波形如图所示，请画出的波形。解：（1）（2）（3）练习*361.3.3信号的导数与积分导数：积分：信号不可导的情况1.3信号的运算*371.3.3信号的导数与积分(a)信号f(t)

(b)信号的微分(c)信号的积分f

(t)­1t12­212­1­20012­1­21­2­1123123450)()1(tf-)()1(tf(a)(b)(c)tt微分取出“变化”的信息！积分取出“恒定”的信息！1.3信号的运算*381.3.4信号的差分和迭分1、差分运算（相当与连续信号的微分！）序列的差分是该序列的后项与前项（或前项与后项）之差，构成一个新的序列。一阶前向差分：一阶前后差分：二阶前向差分：二阶后向差分：1.3信号的运算*391.3.4信号的差分和迭分1、差分运算（相当与连续信号的微分！）图1.3-11信号的差分1.3信号的运算f

(k)­2­110­323456k1.52.5211­2Δf

(k)­210­323456k­11023456k0.51­231­1.5­273110.5­2­1.5­2(a)(b)(c)1f

(k)Ñ*401.3.4信号的差分和迭分2、迭分运算（相当与连续信号的积分！）序列的迭分是该序列的前k项之和（累加），构成一个新的序列。1.3信号的运算*411.3.4信号的差分和迭分2、迭分运算（相当与连续信号的积分！）离散信号的迭分f

(k)­2­11023456ky(k)­2­11023456k22­1­1­2…­213321­11(a)(b)11.3信号的运算*421.4.2连续时间阶跃信号1、定义1.4阶跃信号和冲激信号1单位阶跃信号11*431.4.2连续时间阶跃信号2、应用：表示分段函数1.4阶跃信号和冲激信号周期信号非周期信号­11f3(t)0t123­1­2­11f1(t)0tsin

w0t­11sin

w0tf2(t)0tt0*441.4.2连续时间冲激信号1.4阶跃信号和冲激信号1、定义令：则：显然：单位冲激信号*451.4.2连续时间冲激信号1.4阶跃信号和冲激信号2、其他定义只要其他面积为1的函数也可以表示为冲激函数。三角形脉冲：双边指数脉冲：钟形脉冲：抽样信号：*461.4阶跃信号和冲激信号1.4.3函数的性质1、与的关系（1）1*471.4阶跃信号和冲激信号1.4.3函数的性质2、的筛选性显然：同理：*481.4阶跃信号和冲激信号1.4.3函数的性质3、是偶函数证明：同理：（1）*491.4阶跃信号和冲激信号1.4.3函数的性质4、的性质证明：（1）（1）（-1）*501.4阶跃信号和冲激信号1.4.3函数的性质4、的尺度变换证明：可以证明：例题1.4-2P221.4阶跃信号和冲激信号1.4.4阶跃序列和脉冲序列1、单位阶跃序列01234­1­2e

(k)1…k2、单位脉冲序列0123­1­2­31kd

(t)511.4阶跃信号和冲激信号1.4.4阶跃序列和脉冲序列01234­1­2e

(k)1…k0123­1­2­31kd

(k)显然：且有：52*1.5系统的描述1.5.1系统模型输入信号（激励）输出信号（响应）1、系统模型系统531.5系统的描述1.5.1系统模型2、系统分类1）连续时间系统与离散时间系统连续时间系统的电路模型是微分方程（RLC电路）。离散时间系统的电路模型是差分方程（计算机）。2）即时（无记忆）系统与动态（记忆）系统即时系统：系统输出只与当时时刻的输入有关。3）集总系统与分布系统集总系统：器件参数不变，常系数微分方程。分布系统：器件参数变化，偏微分方程。动态系统：系统输出与当时时刻的输入和以前的输入有关。541.5.2系统的输入输出描述1.5系统的描述1.系统的初始观察时刻t=t0历史输入（信号）当前输入（激励信号）551.5.2系统的输入输出描述1.5系统的描述2.连续系统的输入输出方程56例1.5-1（激励）（响应）一阶系统57例1.5-22.连续系统的输入输出方程1.5.2系统的输入输出描述1.5系统的描述（激励1）（响应）（激励2）二阶系统58同理，对于n阶系统有：2.连续系统的输入输出方程1.5.2系统的输入输出描述1.5系统的描述n阶系统微分方程简写为：1.5系统的描述3.离散系统的输入输出方程1.5.2系统的输入输出描述例1.5-3考察一个银行存款本息总额的计算问题。储户每月定期在银行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为β，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。显然，k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项：(1)前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)；(2)y(k-1)的月息βy(k-1)；(3)第k个月存入的款额f(k)。于是有：一阶差分方程591.5系统的描述3.离散系统的输入输出方程1.5.2系统的输入输出描述例1.5-4某养兔场每对异性兔子每月可繁殖一对新生兔(异性)，隔一个月后新生兔便具有生育能力。若开始养兔场有M对异性新生兔，第k个月从外地收购f(k)对异性新生兔，问k个月后养兔场的兔子对总数是多少?二阶差分方程60

设k个月后养兔场的兔子对总数为y(k)。因为在第k个月，有y(k-2)对兔子具有生育能力，它们由原来的y(k-2)对变成2y(k-2)对，其余的［y(k-1)-y(k-2)］对兔子没有生育能力，再考虑外购新生兔f(k)对，故第k个月月末的兔子对总数为y(k)=2y(k-2)+［y(k-1)-y(k-2)］+f(k)y(k)-y(k-1)-y(k-2)=f(k)在第n个节点，由KCL列方程：整理：同理，在第n-1个节点：差分方程的应用：梯形电阻网络电压的计算1.5系统的描述3.离散系统的输入输出方程1.5.2系统的输入输出描述同理，对于N阶离散系统有：62N阶离散系统差分方程简写为：1.5.4系统的框图表示1.5系统的描述1.系统的基本运算单元A、加减运算关系B、乘法运算关系631.5.4系统的框图表示1.5系统的描述1.系统的基本运算单元C、数乘运算关系D、延迟（时）运算关系641.5.4系统的框图表示1.5系统的描述1.系统的基本运算单元E、积分乘运算关系F、移位运算关系651.5.4系统的框图表示1.5系统的描述2.系统的方框图表示实例例1.5-6某连续系统的输入输出方程为：试画出该系统的框图表示。661.5.4系统的框图表示1.5系统的描述2.系统的方框图表示实例例1.5-7某连续系统的输入输出方程为：试画出该系统的框图表示。671.5.4系统的框图表示1.5系统的描述2.系统的方框图表示实例一般地：681.5.4系统的框图表示1.5系统的描述2.系统的方框图表示实例例1.5-8某离散系统的方框图如图所示，试写出输入输出差分方程。DD＋y(k)f

(k)­a1­a0＋b1x(k)x(k­1)x(k­2)­b069*70

设系统的输入为f(.)（也称激励），输出为y(.)（也称响应），则模型为：1.6系统的特性和分类1.6.1线性特性系统记为：若：、，、为任意常数，有则系统是线性（L）系统，即线性系统满足齐次性、可分解性（叠加原理）线性系统的三个条件：P.33*71■判断线性系统的方法①直接观察法

若系统以线性代数方程或线性微（积）分方程描述的是线性系统。如：线性系统非线性系统②定义计算（证明）法板书证明1.6系统的特性和分类*72②定义计算（证明）法例1：证明是线性系统，其中a是常数。例2：判断