相对论性辊轧件的水平振动

相对论性辊轧件的水平振动

0平整机振动机理及特性机械振动在实际生产中很常见，它经常影响机械系统的运行性能和产量。这是行业特别关注的问题。同时，这也是一个复杂的问题。国内外不少学者从不同的角度对其机理及特性做了大量的研究工作,如Nessier等人研究了辊系的弯曲振动特性以及平整机的5倍频程颤振,Bollinger和Rapsinskl研究发现了开卷与卷取传动系统的齿轮啮合激励引起平整机振动的现象,钟掘等在现场测试中发现平整机工作时产生自激振动。由于轧机工作界面运动状态和分布力的复杂性,至今人们仍未把握其振动机理和掌握其特性。本文从分析轧机工作界面运动状态与工作界面分布力之间关系出发,分析界面状态对振动的影响,着重分析单辊驱动轧机水平自激振动产生的条件及其机理。1uz1i—轧辊与轧件接触面切向力与接触面相对速度的关系轧辊与轧件之间接触面上的接点对运动关系为vsxi=(˙x1i-˙x2i)+(vxi∂uxi∂x+vyi∂uxi∂y+vzi∂uxi∂z)+∂uxi∂t(1)vsyi=(˙y1i-˙y2i)+(vxi∂uyi∂x+vyi∂uyi∂y+vzi∂uyi∂z)+∂uyi∂t(2)vszi=(˙z1i-˙z2i)+(vxi∂uzi∂x+vyi∂uzi∂y+vzi∂uzi∂z)+∂uzi∂t(3)式中vsxi,vsyi,vszi——接触体对沿x、y、z方向的滑动速度˙x1i,˙y1i,˙z1i——接触体对沿x、y、z的刚体速度vxi=12(˙x1i-˙x2i)vyi=12(˙y1i-˙y2i)vzi=12(˙z1i-˙z2i)uxi,uyi,uzi——接触体对沿x、y、z方向的变形位移差令s=√v2sxi+v2syi+v2szi(4)则轧辊与轧件在接触区的接触状态由s来判断{s=0粘着s≠0滑动(5)轧机在工作过程中,轧辊和轧件的切向滑动(水平方向的滑动)是起主要作用,这里忽略其他方向的滑动,则轧辊与轧件在接触点的滑动速度为vs=(˙x1i-˙x2i)+vxi∂uxi∂x+∂uxi∂t(6)式中(˙x1i-˙x2i)——刚体速度项vxi∂uxi/∂x——变形梯度项∂uxi/∂t——变形速度项由式(6)可推知:在一定的轧制压力下,当轧辊与轧件水平刚体速度差值大于某一值时,整个接触区都处于滑动状态,整个接触区由粘着与滑动共存过渡到全滑动,由kaller理论推知:当整个接触区由粘着与滑动共存过渡到全滑动时,接触区的摩擦力即切向力由最大静摩擦力降到动摩擦力。根据试验轧辊与轧件之间接触面的摩擦因数为0.10~0.35时,当相对速度率为0.02~0.10时,接触面由粘着状态(粘滑状态)转向滑动状态,接触区的摩擦力即切向力由最大静摩擦力降到动摩擦力,摩擦力发生突变。由最大静摩擦力状态转变为动摩擦力的条件为:轧辊与轧件水平刚体速度差值大于某一值˜v。2相对速度函数单辊驱动轧机从动辊的力学模型表示于图1。辊子质量为m,辊子的水平支承刚度为k,粘性阻尼系数为c,带材以恒速v运动,引起辊子质心位移z,辊子与带材的摩擦力是相对速度(˙z+ωR-v)的非线性函数,记作F(˙z+ωR-v)。辊子质心运动微分方程为m⋅⋅z+c˙z+kz+F(˙z+ωR-v)=0(7)没有接触面摩擦时的固有频率和阻尼比分别为ˉω=[km]12ζ=c2√mk引入量纲一的时间ˉτ和量纲一的位移ˉxˉτ=ˉωtˉx=zˉωωR-vωR-v≠0则可将运动方程式(7)写成量纲一的方程⋅⋅ˉx+2ζ˙ˉx+ˉx+1mˉω(ωR-v)F(˙ˉx+1)=0(8)方程式(8)就是轧辊水平振动的非线性动力学方程。3辊子质心动力的变化由于接触界面的摩擦力与相对速度的关系很复杂,且因具体情况而异,又不易测量准确。因而很难给出合适解析式。为了进行定性分析,将摩擦力分为两部分。第一项是恒定的动摩擦力。第二项是随相对速度变化的附加项。二者均与接触面上的正压力成比例,分别记为μF和Δ˜μ(˙z+ωR-v)ˉF。由上面分析轧辊与轧件接触面切向力与接触面相对速度的关系得知:轧辊接触界面的摩擦力由静摩擦力到动摩擦力的条件为z˙+ωR-v＞v˜引入量纲一位移变为x¯+1＞q(9)式中q=v/(ωR-v)轧辊接触界面的摩擦力由静摩擦力到动摩擦力的转变过程较快,可以抽象化为瞬时实现的过程,如此就可以把摩擦力的附加项Δμ˜(z˙+ωR-v)F¯引起的辊子质心动量变化mΔz˙看成是瞬时力作用的结果。若用δ(t)表示单位脉冲函数,其定义为∫-∞∞δ(t-ζ)φ(t)dt=φ(ζ)式中φ(ζ)——任意函数可将摩擦力附加项写成ΔμFδ(t)。为了确定常数Δμ,可利用有限动量原理得mΔz˙=∫t0t0+ΔtΔμF¯δ(t-t0)dt式中t0——静摩擦转变为动摩擦的起始瞬间Δt——完成静摩擦到动摩擦转变的微小时间间隔Δz˙——摩擦力转变阶段辊子质心速度增量,看成是可测的摩擦力的第一项,当作常数,可用阶跃函数表示,记作ΔμFH(t-t0)。综合以上分析,从静摩擦到动摩擦转变阶段的摩擦力的近似解析式可表示为F(t)=-μF¯Η(t-t0)-ΔμF¯δ(t-t0)(10)将式(9)代入运动方程式(8)得x¯⋅⋅+2ζx¯˙+x¯=μF¯mω¯(ωR-v)Η(τ-τ0)+ΔμF¯mω¯(ωR-v)δ(τ-τ0)(11)设转变起始瞬时为τ0,转变前辊子质心的位移和速度分别为x¯(τ0¯)和x¯˙(τ0¯)。将式(11)拉氏变换并经整理后,得到量纲一的位移x¯和量纲一的速度x¯˙的象函数。X¯0(s)=μF¯mω¯(ωR-v)(s2+2ζs+1)+ΔμF¯mω¯(ωR-v)(s2+2ζs+1)+(s+2ζ)x¯(τ0-)+x¯˙(τ0-)(s2+2ζs+1)X¯1(s)=μF¯mω¯(ωR-v)(s2+2ζs+1)+ΔμF¯mω¯(ωR-v)(s2+2ζs+1)+(sx¯˙(τ0-)+x¯˙(τ0-)(s2+2ζs+1)再用拉氏变换的初值定理,导出从静摩擦到动摩擦的转变过程完成的量纲一的位移和速度x¯(τ0+)=x¯(τ0-)x¯˙(τ0+)=x¯˙(τ0-)+ΔμF¯mω¯(ωR-v)(12)由此可见,经过由静摩擦到动摩擦的转变,辊子质心的位移不变化,速度增加。引入量纲一的常数d=ΔμF¯mω¯(ωR-v)(13)按式(12)写出从静摩擦到动摩擦转变阶段辊子质心位移和速度增量的解析式Δx¯(τ0)|x¯˙(τ0-)=q=0x¯⋅⋅(τ0-)＞0Δx¯˙(τ0)|x¯˙(τ0-)=q=dx¯⋅⋅(τ0-)＞0(14)Δx¯(τ0)|x¯˙(τ0-)=q=0x¯⋅⋅(τ0-)＜0Δx¯˙(τ0)|x¯˙(τ0-)=q=dx¯⋅⋅(τ0-)＜0(15)4区内相轨迹方程的求解令dx¯dτ=ydydτ=-1mω¯(ωR-v)F(y+1)-2ζy-x¯将以上二式相除,得一阶方程dydx=-F(y+1)-mω¯(ωR-v)(2ζy+x)mω¯(ωR-v)y(16)式中F(y+1)——分段线性函数,表达式为F(y+1)={μF¯y+1＞q(μ+Δμ)F¯y+1=q,y＞0-(μ+Δμ)F¯y+1=q,y＜0-μF¯y+1＜q(17)相平面(x,y)上的直线L:y=-1+q,将相平面划分为区域Ⅰ和Ⅱ。利用式(16)和式(17)可写出这两个区域的相轨迹方程dydx¯=-x-b-2ζyy在Ⅰ区内‚y＞-1+q(18)dydx¯=-x+b-2ζyy在Ⅱ区内‚y＞-1+q(19)式中量纲一的参数b¯=μF¯mω¯(ωR-v)(20)积分式(18)和式(19),得到相轨迹的方程在Ⅰ区域内的相轨迹方程为y2+2ζ(x¯+b¯)y+(x¯+b¯)2=C10exp{2ζ(1-ζ2)12arctan[y+ζ(x¯+b¯)(1-ζ2)12(x¯+b¯)]}(21)用极坐标(ρ,φ)代替直角坐标,经过变换得到更简洁的形式ρ=C1exp[ζφ(1-ζ2)12]φ=-[(1-ζ2)12τ+φ0](22)ζ>0时的相轨迹是趋向焦点(-b,0)的对数螺旋线,ζ=0时的相轨迹是中心为(-b,0)的圆,其方程为y2+(x¯+b¯)2=C12(23)在Ⅱ区域内的相轨迹方程为y2+2ζ(x¯-b¯)y+(x¯-b¯)2=C20exp{2ζ(1-ζ2)12arctan[y+ζ(x¯-b¯)(1-ζ2)12(x¯-b¯)]}(24)用极坐标(ρ,φ)代替直角坐标,经过变换得到更简洁的形式ρ=C2exp[ζφ(1-ζ2)12]φ=-[(1-ζ2)12τ+φ0](25)ζ>0时的相轨迹是趋向焦点(b,0)的对数螺旋线,ζ=0时的相轨迹是中心为(b,0)的圆,其方程为y2+(x¯-b¯)2=C22(26)当相轨迹穿过分区线L进入区域Ⅰ时,按式(13),相点沿y轴方向的上升量Δy=d(27)当相轨迹穿过分区线L进入区域Ⅱ时,按式(14),相点沿y轴方向的下降量Δy=-d(28)5u3000相轨迹的移动为了分析轧辊水平振动,在相平面上作其相图。为此把参数b和d当作参变量,不断地改变其数值,按以上4种相轨迹方程作数值计算,并把各段相轨迹连接起来,得到两种不同类型的相轨迹,分别表示于图2a和b,其图中的4个点对相平面的拓扑结构有重要影响,它们分别是A(-b,0),G(b,0),B(d+b,-1+q),E(-d-b,-1+q),它们都表示在图上。考察图2a,从不同相点P1和P2出发,绘出区域Ⅰ内的相轨迹,与分区线L的交点分别在B点两侧。由P2出发的相轨迹与L相交后,沿L移到E(相点沿移动的力学意义是轧辊与轧件之间两接触面相对静止)。P1出发的相轨迹与L相交后,将进入区域Ⅱ,但最终也要沿L线移动到E点。然后沿y轴方向上升到K点,ED间距为d。由此可见,由不同点出发的相轨迹汇集到E点后,就成为同一条以A点为焦点的对数螺旋线了。相点趋近A点的力学意义是轧辊与轧件之间两接触面没有相对运动。这时主动力与摩擦阻力平衡,与此相应的轧辊水平方向不发生自激振动。观察图2b,除A点附近的小区域外,不论从何处出发的相轨迹都要与分区线L相交,然后沿L移动到E点。由E沿y轴方向上升到K点。过K点的相轨迹与L相交于Q1点,继续沿L线移动到E。这样就形成一条封闭的相轨迹S1——极限环。显然,该极限环外的相轨迹都汇集到它上面。极限环内区域可分为两部分。因为从A点出发向外延伸的对数螺旋线中必有一条与分区线L相切于Q0点。过Q0点再延伸这条对数螺旋线,使其与L相交于另一点Q2。在线段Q0Q2和这条对数螺旋线构成另一条封闭曲线,记为S2,由于S2外面的相轨迹都要汇集到极限环S1上,因而S1是稳定的极限环,与其对应的周期运动就是轧辊相对于轧件忽粘忽滑运动。在S2之内的相轨迹都趋向焦点A。与此相应,轧辊相对于轧件静止,即粘着。这意味着扰动很小时不会产生自激振动。如果能忽略轧机系统的粘性阻尼,其相轨迹为同心圆族,如图3所示。考察图3a,除阴影区外,极限环S的两侧相轨迹都趋近它,它是稳定的极限环,相应的周期运动是忽粘忽滑的运动。分析图3b,沿L直线移动到E点,沿y轴方向上升到K点,然后沿与L线不相交的圆运动。该圆外面的极限环都趋近于它,但其内部的相轨迹是圆,并不趋向于它。因此,它是半稳定的极限环。6含自激振动条件的情况分析首先分析无粘性阻尼的情况。按照图3a,出现极限环的充分必要条件是过点的相轨迹的半径大于1-q。由此可导出轧辊水平方向产生忽粘忽滑运动的参数条件(1-d)2+d2＞1-q(29)将式(12)代入上式可得参数条件ΔμF¯mω¯(ωR-v)=ΔμF¯m12k12(ωR-v)＞1-q(30)由上式能得出如下结论(1)轧辊与轧件之间接触面上的静摩擦因数和动摩擦因数的差值越大,越容易发生自激振动。(2)轧制力增加,发生自激振动倾向增加。(3)轧辊的质量越小,越容易发生自激振动。(4)降低轧辊水平支承刚度,发生自激振动倾向增加。(5)减小轧辊速度与轧件速度差,也容易产生自激振动。现在再来分析有粘性阻尼的情况。按照图2a,过点的相轨迹与分界线相切是发生自激振动的临界参数条件。确定次临界条件的常规方法是将式(21)的y对x求导数,并令其等于零,导出一个方程。在将它与式(21)联立求